初中数学北师大版九年级下册1 圆第2课时教案

教学目标

1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.

2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.

教学重难点

重点：切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.

难点：三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活运用.

教学过程

导入新课

直线和圆的位置关系的性质与判定：

d＞r　直线 l和⊙O相离；

d＝r　　直线 l和⊙O相切；

d＜r　　直线 l和⊙O相交．

上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，知道了直线和圆有三种位置关系，会判断直线和圆属于哪一种位置关系.判断直线和圆相切的方法有两种，但是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件．

探究新知

一、   圆的切线的判定

探究1  如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？

你能写出一个命题来表述这个事实吗?

(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化?

(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?

在教学中，教师可以引导学生，拿笔当直线l，让笔绕着点A旋转．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．学生得到的结论：

    生1：如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l１的距离为d1，d1<r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d=r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切：当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l2的距离为d2，d2<r，这时直线l2与⊙O的位置关系是相交．

生2：当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．

生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

得出结论：

定理  经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

∵ AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,

∴ CD是⊙O的切线.

这个定理实际上就是

d=r直线和圆相切的另一种说法.

例1.如图，AT是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB．

求证：AB是⊙O的切线．

分析：AB经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB.又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°.由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．

证明：∵ AB=AT，∠ABT＝45°，∴ ∠ATB＝∠ABT＝45°．

∴ ∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB＝90°．

∴ AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．

例2.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连接PE.求证：PE与⊙O相切．

证明：连接OP，BP（图略），则OP＝OB，∴ ∠OBP＝∠OPB.

∵ AB为直径，∴ ∠APB＝90°，∴ BP⊥AP.在Rt△BCP中，

∵ E为斜边BC的中点，∴ PE＝BC＝BE，∴ ∠EBP＝∠EPB，

∴ ∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，即∠OBE＝∠OPE.

∵ BC与⊙O相切于点B，∴ AB⊥BC，∴ OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．

总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

二、三角形的内切圆

探究2  如图，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切.

分析：在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆．

解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；(2)过点I作BC的垂线，垂足为D；(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆．

思考：这样的圆可以作出几个呢?为什么?

因为BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.

定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.

做一做

分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.

结论：内心均在三角形内部

课堂练习

1.如图，P为圆O外一点，OP交圆O于点A，且OA＝2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：

甲：以点P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点B，则直线PB即为所求；

乙：作OP的中垂线，交圆O于点B，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确? (　　)

A．两人皆正确   B．两人皆错误

C．甲正确，乙错误  D．甲错误，乙正确

2.如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA，BC，AC于点E，F，D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝(　　)

A．40°B．50°

C．60°D．70°

3.如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是；

（2）若∠A=80°，则∠BOC= ；

（3）若∠BOC=110°，则∠A=.

4.如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为的中点，AC，BD相交于点E，AP交BD的延长线于点P，∠PAC＝2∠CBD.

求证：AP是⊙O的切线．

5.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.

(1)若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数；

(2)求证：DE＝DB.

参考答案

1.B2.A3.120°　130°　40°

4.证明：∵ D为的中点，∴ ∠CBA＝2∠CBD.

又∵ ∠PAC＝2∠CBD，∴ ∠CBA＝∠PAC.

∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠CAB＋∠CBA＝90°，

∴ ∠CAB＋∠PAC＝90°，

即∠PAB＝90°，∴ PA⊥AB，∴ AP为⊙O的切线．

5.(1)解：∵ 点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°，

∴ ∠CAD＝∠BAC＝35°，∴ ∠CBD＝∠CAD＝35°.

(2)证明：∵ 点E是△ABC的内心，

∴ ∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.

∵ ∠CBD＝∠CAD，∴ ∠CBD＝∠BAD.

∵ ∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∠CBE＋∠CBD＝∠DBE，

∴ ∠DBE＝∠BED，∴ DE＝DB.

课堂小结

（学生总结，老师点评）

1.圆的切线的判定定理.

2.三角形的内切圆.

板书设计

第三章　圆

6　直线和圆的位置关系

第2课时　切线的判定及三角形的内切圆

1.圆的切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.

教学反思

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