北师大版九年级下册1 圆教案设计

3.6 直线和圆的位置关系

第1课时直线和圆的位置关系、切线的性质定理

课标要求

1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系

2．理解切线的性质定理．

【教学重点】

理解直线与圆的三种位置关系，切线的性质定理

教学过程

一、情景导入，初步认识

1．我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？

2．本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．

【教学说明】

由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律．

二、思考探究，获取新知

探究1：直线和圆的位置关系

1．你看过日出吗？你知道太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种不同位置关系吗？

2．如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？

【归纳结论】

直线和圆有一个公共点，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．

3．设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d和r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d和r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？

【归纳结论】

直线l和⊙O相交⇔d<r，如图(a)所示；

直线l和⊙O相切⇔d＝r，如图(b)所示；

直线l和⊙O相离⇔d>r，如图(c)所示．

探究2：切线的性质定理

如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

【归纳结论】

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

三、运用新知，深化理解

1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A．相离B．相切C．相交D．无法判断

分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d<r；相切：d＝r，相离：d>r，即可选出答案．

解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6>5，即：d<r，

∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C.

2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为(　　)

A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm

分析：r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．

解析：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm；

由勾股定理，得：AB2＝32＋42＝25，∴AB＝5cm；

又∵AB是⊙C的切线，设切点为D，∴CD⊥AB，∴CD＝r.

∵S△ABC＝AC·BC＝AB·r.∴r＝2.4cm，故选B.

答案：B

四、师生互动，课堂小结

1．直线与圆的位置关系有哪些？

2．切线的性质定理是什么？

课后作业

作业：教材“习题3.7”中第1题．

第2课时切线的判定定理

课标要求

【知识与技能】

通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理．

【过程与方法】

经历探索切线的判定的过程，培养学生的观察能力、说理意识、逻辑思维能力．

【情感态度】

在探索学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、逻辑性、趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．

【教学重点】

理解切线的判定定理．

【教学难点】

切线的判定定理的应用．

教学过程

一、情景导入，初步认识

当你在下雨天快速转动雨伞(圆)时雨水飞出，让你感受到直线与圆的哪种位置关系？

上节课我们学习了直线与圆的三种关系、切线的性质定理．这节课我们来学习切线的判定定理．

【教学说明】

借助情景，创设轻松地学习氛围．

二、思考探究，获取新知

1．已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线l？(请你自己动手完成)

2．观察

(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系？

(2)二者位置有什么关系？为什么？

3．由此你发现了什么？

【归纳结论】

过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．

【教学说明】

培养学生的归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延．

三、运用新知，深化理解

1．下列直线中一定是圆的切线的是(　　)

A．与圆有公共点的直线　　　　B．到圆心的距离等于半径的直线

C．垂直于圆的半径的直线　　　D．过圆的直径端点的直线

解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．A有可能是割线，B距离就表明垂直关系，距离又等于半径就表明经过半径的外端．所以是对的，C也有可能是割线，D过圆的直径端点的直线不一定垂直．

答案：B

2．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线．

分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，

所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，

所以∠ATB＝45°.

由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB.

证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°.

∴∠ATB＝∠ABT＝45°，

∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°，

∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课后作业

布置作业：教材“习题3.8”中第1题．

第3课时三角形的内切圆

课标要求

1．学会作三角形的内切圆．

2．理解三角形内切圆的有关概念．

【教学重点】

三角形内切圆的概念和画法．

【教学难点】

三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程．

教学过程

一、情景导入，初步认识

低碳达人李明在一家木料厂上班，在去年的哥本哈根气候大会召开以后，李明更加觉得自己要为节能低碳出一份力．于是他就想对厂里的三角形废料迸行加工：裁出一块圆形用料，且使得圆的面积最大．应该怎样画出裁剪图？

【教学说明】

数学来源于生活，如果设计的问题情境脱离了实际，那么学生就会觉得自己所学习的数学是没什么用的．

二、思考探究，获取新知

探究1：如果最大的圆存在，它与三角形的各边有怎样的位置关系？

其位置关系与三角形三边的情况，有如下四种：

那种情况圆的面积最大？

探究2：如何作出这个圆呢？

分析：确定一个圆需要什么条件，我们如何去确定这些条件？

解：作法：略．

【归纳结论】

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

【教学说明】

从上面的探究过程中，我们发现：一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它．

三、运用新知，深化理解

1．下列说法中，正确的是(　　)

A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线

B．圆有且只有一个外切三角形

C．三角形有且只有一个内切圆

D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等

解析：A有可能是割线；B外切三角形是指三角形的三边与圆相切，这样的三角形有无数个；C内切圆的圆心是三角形三角的角平分线的交点，这样的交点只有一个，所以正确；D应该是到三边的距离相等．故选C.

2．如图，⊙O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是________．

解析：根据切线的性质可得∠OFC＝∠OEC＝90°且∠ACB＝90°.

所以四边形OECF是矩形．再根据三角形的内心可得OE＝OF.

所以四边形OECF是正方形．

答案：正方形

3．如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DO＝DB.

证明：连接OB，

∵点O是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∵∠2＝∠5，∴∠1＝∠5.∵∠BOD＝∠1＋∠3，

∠OBD＝∠5＋∠4，

∴∠BOD＝∠OBD.∴DO＝DB.

【教学说明】

引导学生思考，最后师生共同完成．

四、师生互动，课堂小结

1．会作三角形的内切圆；

2．掌握内心概念和性质；

3．利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题．