初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积教案设计

课题

3.9　弧长及扇形的面积

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．

数学思考

　　经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养自主探索的能力．

问题解决

　　在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识能力、空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想．

情感态度

　　使学生了解计算公式的同时体会公式的变式，养成独立思考、合作交流的良好学习习惯.

教学

重点

　　会利用弧长及扇形的面积公式解决问题．

教学

难点

　　探索弧长及扇形面积的计算公式，利用公式解决问题．

教具

多媒体课件

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

复习回顾：(多媒体出示问题)

1．已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？

2．什么叫圆心角？圆的圆心角是多少度？

处理方式：问题由学生口答完成．

　　回顾相关知识点，为本节课的学习做好铺垫.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

活动内容：回答下列问题．

问题1：同学们，春天到了，春季运动会也将在近期举行．很多同学是不是跃跃欲试呢？在运动会中你认为最精彩、最让人兴奋的项目是什么？(赛跑、掷铅球、跳高等)

问题2：在田径200米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？(学生疑惑不解)

带着这样的疑问，让我们一起走进今天的学习．(教师板书课题：9　弧长及扇形的面积)

图3－9－8

从学生熟悉的200米跑运动员的起点位置引入本课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，也为新课的学习做好铺垫．

活动

二：

实践

探究

交流

新知

　　我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算呢？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积公式，并应用它们来解决一些简单的实际问题．

【探究1】弧长的计算公式(多媒体出示问题)

如图3－9－9，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.

图3－9－9

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

活动

二：

实践

探究

交流

新知

(学生先独立思考，然后讨论、交流，最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定)

引导学生推导：

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝·2πR＝.

我们发现，弧长公式与半径R、圆心角n°有着密切的关系．现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流，然后尝试回答)．

因为处于外跑道运动员所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道运动员所跑的“弧长”大于内跑道运动员所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的运动员起点要比内跑道运动员的起点靠前．

这样我们将“200米弯道跑”的问题就转化为“弧长”的问题了，请同学们认真体会这种转化思想的应用．

处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时予以引导．让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解．

【探究2】扇形面积的计算公式——S扇形＝πR2(多媒体出示问题)

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

(学生先独立思考，然后讨论、交流，最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定)

解：(1)如图3－9－10①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π m2.

图3－9－10

(2)如图3－9－10②，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π m2，1°的圆心角对应的扇形面积是整个圆面积的，即×9π＝(m2)，n°的圆心角对应的扇形面积是n×＝(m2).

由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？

学生讨论、交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·＝.

本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系.

类比弧长计算公式的探索过程，引导学生探索扇形面积的计算公式，教会学生用类比的思想方法去模拟解决实际问题，锻炼学生的能力.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n°为圆心角．

【探究3】扇形面积的计算公式——S扇形＝lR(多媒体出示问题)

上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角对应的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°和半径R有关系，那么l和S之间有什么关系吗？换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．(学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流)

解：∵l＝πR，S扇形＝πR2，

πR2＝R·πR.

∴S扇形＝lR.                                     图3－9－11

由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积计算公式吗？(能)若已知圆心角和半径，选择公式S扇形＝πR2，若已知弧长和半径，选择S扇形＝lR.

试一试：

(1)已知扇形的圆心角是150°，弧长为20π cm，则扇形的面积为__240π_cm2__．

(2)已知扇形的弧长为20π cm，面积是240π cm2，则该扇形的圆心角为__150°__．

处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积计算公式加以记忆．对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调.

由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1　(教材例1)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算图3－9－12中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm).

图3－9－12

解：∵R＝40 mm，n＝110，

∴的长＝πR＝×40π≈76.8(mm).

因此，管道的展直长度约为76.8 mm.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

例2　(教材例2)扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．(4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用)

安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演．学生完成后，老师予以讲评．

解：的长＝π×12≈25.1(cm)．

S扇形＝π×122≈150.7(cm2)．

因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2.

让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用．实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．

【拓展提升】

例3　若圆的半径为6 cm，则长为8π的弧长所对的圆心角为__240__°.

例4　长为6.28 cm的弧所对的圆心角是60°，则该弧所在圆的半径为__6_cm__．(π取3.14)

例5　如图3－9－13，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，分别以A，B，C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是__－π__．

图3－9－13图3－9－14

例6　在直径为24 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于(C)

A．24π cm　B．12π cm　C．10π cm　D．5π cm

例7　如图3－9－14，将直径AB为6的半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B到达点B′处，则图中阴影部分的面积是(A)

A．6π  B．5π  C．4πD．3π

拓展提升，有助于巩固所学知识，提高学生思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于发散学生思维，让学生的学习积极性和主动性都得到提高.

活动

四：

课堂

总结

反思

【当堂训练】

1．已知扇形的圆心角为60°，且半径为5，则扇形的弧长为(B)

A.5π　　　B.π　　　C．π　　　D.π

2.如果一个扇形的半径是2，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小是(C)

A.45° B．60°  C．90°  D．120°

3.如图3－9－15，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A′的位置，则图中阴影部分的面积为(B)图3－9－15

A.π    B．2π    C.     D．4π

活动

四：

课堂

总结

反思

4.如图3－9－16，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为____．

图3－9－16图3－9－17

5.如图3－9－17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为____．

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.

学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.

【课堂小结】

同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长得最快的植物，数学的学习也是如此．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

学生畅谈自己的收获！

课堂小结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.

【板书设计】

提纲挈领，重点突出.

【教学反思】

①[授课流程反思]

在结合跑道的弯道问题激发学生兴趣后，再进行相关知识的复习与回顾，更有利于知识的衔接.

②[讲授效果反思]

本节课的重点是引导学生分析、使用相关的公式，尤其是公式的变形.

活动

四：

课堂

总结

反思

　　③[师生互动反思]

学生对基本公式的回顾、交流比较充分，教师通过问题的探究过程引导学生学习公式的变形及应用，相应习题的变形多样有利于学生对知识的灵活使用．

④[习题反思]

　　反思，更进一步提升.