初中数学北师大版九年级下册2 圆的对称性教案

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 圆的对称性教案，共8页。教案主要包含了探索圆心角定理，教学反思等内容，欢迎下载使用。
3.2 圆的对称性教学目标：知识与技能:通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.过程与方法:通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.情感态度与价值观:（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学过程：（一）复习导入，创设情境上节课我们学习了圆的相关概念：圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”.还有弦、直径、半圆、等圆、等弧的概念以及点与圆的位置关系如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．提问：1.什么是轴对称图形?把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形。2. 什么是中心对称图形？把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。那么圆的对称性是怎样的呢？今天我们就一起来探究圆的对称性。 (二)引入新课，探索新知数学活动一：认识圆的对称性教师引导学生在纸上画两个大小相同的圆，然后将其剪下来，引导学生思考：利用折叠的方法1、问题1：请同学们进行动手操作，折一折，说说圆是什么样的图形?我们试着将其中一个圆折叠，我们发现完全重合。板书：圆是轴对称图形，（验证方法：折叠）  问题2：它的对称轴是什么?最后师生共同得出：所有经过圆心的直线都是对称轴板书：其对称轴是任意一条过圆心的直线。问题3：你能找到多少条圆的对称轴？（对称轴有多少条?）        对称轴有无数条引导学生思考：怎样将圆平均分成2等分，4等分、8等分?进一步提问还可以将圆平均分成多少等分?最后师生共同得到：将圆沿直径对折平均分成2等分，再对折一次，平均成4等分，再对折就可以将圆平均分成8等分，再对折，就可以平均分成16等分了，再对折32等分等等。 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?   2、问题4：将现在老师把这两个圆放在一起，并将圆心固定，会怎么样?               重合问题5：若将其中一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，两个圆是否还会重合?      预设：都能与原来的图形重合通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形。板书：圆是中心对称图形，问题6：对称中心是什么?板书：对称中心是圆心。进一步引导学生思考与圆的对称性有关的性质有哪些?引出课题。数学活动二、探索圆心角定理对于导入中的问题，教师引导学生画两个完全相同的圆，然后将其中的一个圆剪下一个扇形AOB，引导学生将扇形AOB放在另外一个圆上，将顶点放在圆心上，画出扇形AOB，然后再引导学生将其旋转，再画出扇形A'OB'，请同学们观察前后两个扇形，并思考：这两个扇形的中的圆心角、弦、弧有怎样的等量关系呢?结论可能有：1）．∠AOB=∠A′O′B′．2）．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′和∠OAB =∠O′A′B′．3）．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′．4）．由旋转法可知弧=  弧 提问1：那怎样验证呢？刚才到的=理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′；这样便得到半径OB与O′B′重合；因为点A和点A′重合，点B和点B′重合；所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合；即AB＝A′B′．提问2：扇形的大小由什么确定?扇形的大小由圆心角确定。提问3：能否用一句话说说上述的发现。预设：如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。提问4：在同一个圆呢?还是在两个圆中?若在两个圆中存在，这两个圆是什么关系。师生共同总结得出：板书：在等圆和同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如下图示.虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′≠,   提问4：下面我们共同想一想上述结论中的条件和结论。预设：条件是在同圆或等圆中，圆心角相同，结论是：①所对的弧相等，②所对的弦相等。  板书：在同圆或等圆中          弧相等       相等的圆心角            弦相等 注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．   如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．预设1：在同圆或等圆中，所对的弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。预设2：在同圆或等圆中，所对的弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。板书：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等． (三)课堂练习例1：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且，BE与CE的大小有什么关系？为什么？ （过程见课本）    例2．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？ 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到    = 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF    理由是：∵∠AOB=∠COD    ∴AB=CD    ∵OE⊥AB，OF⊥CD   ∴AE=，CF=   ∴AE=CF    又∵OA=OC   ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD理由是： ∵OA=OC，OE=OF      ∴Rt△OAE≌Rt△OCF    ∴AE=CF   又∵OE⊥AB，OF⊥CD   ∴AE=，CF=  ∴AB=2AE，CD=2CF         ∴AB=CD    ∴=，∠AOB=∠COD (四)小结作业提问：今天有什么收获? 答案：通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理 课后作业：思考当直径与弦垂直时，那所对的弧有什么关系?【答辩题目解析】圆的每一条直径都是其对称轴，所以圆的对称轴有无数条。2.垂径定理是什么?【参考答案】垂直于弦的直径平分这条直线，并且平分这条弦所对的两条弧。四、教学反思本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态课件及引导，让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣.（1）情景引入中运用媒体形象直观的展现了圆心角、弧、弦之间的关系，激发学生的学习兴趣，并让学生体会到数学对称之美（2）在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时，教师应用白板的旋转功能让学生观察——猜想——证明——归纳的数学过程，让学生既轻松又形象直观地获得了新知.总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.