北师大版九年级下册2 圆的对称性教案及反思

教学目标

1.理解圆的轴对称性和圆的中心对称性，并能根据对称性掌握圆的相关性质．

2.理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解

决有关问题. [来

教学重难点

重点：理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的对应关系．

难点：应用圆心角、弧、弦之间的对应关系解决有关问题.

教学过程

导入新课

师：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下什么是轴对称图形？

生：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

师：我们是用什么方法研究了轴对称图形？

生：折叠.

师：圆是轴对称图形吗？

设计意图：通过问题的形式直入正题，让学生对本节课探究的内容一目了然．

探究新知

一、预习新知

多媒体展示

问题：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

学生凭借经验猜想：圆是轴对称图形，有无数条对称轴．

让学生拿出课前准备好的圆形纸片进行折叠，边动手边思考，把一个圆对折以后，圆的两部分能够完全重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．

教师点评：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

想一想：

师：我们来做一个实验，将准备好的两张等圆纸片⊙O、⊙O′重叠在一起，使圆心完全重合(如图)，然后固定圆心．

师：将其中一个圆旋转180°，两个圆还能重合吗？由此可以得到什么？

生：能够重合，可以得到：旋转180°能重合，所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

师：将其中一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？由此可以得到什么？

生：能够重合，可以得到旋转任意一个角度也能重合，所以圆不管怎么旋转都是不变的．

师：很好，所以圆具有旋转不变性，而且当圆旋转180°时，圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师，通过设计连续的问题情境容易激发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习了圆的意义，又探索出圆的对称性．

二、合作探究

多媒体展示教材做一做

在等圆☉O和☉O'中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示)，将两圆重叠、并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O'A'重合，你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．

学生分小组进行实验操作，小组内交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后，请各小组组长汇总，最后代表展示．

∵半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′，

∴半径OB与O′B′重合．

∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，

∴ 与重合，弦AB与弦A′B′重合．

∴ ＝，AB＝A′B′.

师：由此我们能得到什么结论？

生：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

师：同学们思考一下，如果不加“同圆或等圆中”这个条件，会有什么结果？

生：如果没有这个条件，两弧就不一定完全重合，两弦就不一定相等了．

师：我们来换一下条件想一想，在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你又能得出什么结论？

学生思考、猜想后得出结论，然后互相交流、讨论，统一想法．

要求学生说明得出的结论的理由.

最后师生共同总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

教师强调：

(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

设计意图：“学起于思，思起于疑，无疑则无知”，所以通过让学生提出疑难，再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理，从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的推论．

典型例题

【例1】如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝，BE与CE的大小有什么关系？为什么？

【问题探索】根据圆心角、弦、弧之间的关系可得＝，再结合已知条件＝，即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论．

【解】BE＝CE．

理由如下：

∵∠AOD＝∠BOE，∴＝．

又∵＝，∴＝，∴BE＝CE．

【总结】解此类题时，应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断．

【例2】如图所示，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．[来源

【问题探索】由∠AOB＝120°，C是的中点，可想到连接OCOA＝AC＝BC＝OB四边形OACB是菱形．

【解】四边形OACB是菱形．

理由如下：如图，连接OC.

∵∠AOB＝120°，C是的中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.

又∵CO＝BO，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.

同理可得，△OCA是等边三角形，∴OA＝AC.

又∵OA＝OB，

∴OA＝AC＝BC＝BO，

∴四边形OACB是菱形．

【总结】解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连接弧中点和圆心)解决问题．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

课堂练习

1.下列命题中，正确的是(　　)

A.圆只有一条对称轴

B.圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C.圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D.圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴

2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则优弧所对的圆心角为(　　)

A.45°                  B.90° 

C.135°                  D.270°

3.如图，在⊙O中，AB＝CD，∠1＝50°，则∠2=°．

参考答案

1.D　2.D3.50

课堂小结

(学生总结，老师点评)

圆的对称性

板书设计

第三章　圆

2　圆的对称性

1.(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

(2)圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

圆心角、弧、弦之间相等关系定理的推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

教学反思

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