2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题（4月5月）含解析

这是一份2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题（4月5月）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共10小题；每小题只有一个正确答案，共30分）
1. |﹣3|的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D.
2. 为了贯彻提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为（   ）
A. 1.497×105                       B. 14.97×104                       C. 0.1497×106                       D. 1.497×106
3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A. B. C. D.
4. 下列中，必然（ ）
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. a是实数，︱a︱≥0
C. 某运动员跳高的成绩是20.1米
D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
5. 如图，AB∥CD，若∠1=60°，则∠2等于 （ ）

A. 60º B. 90º C. 120º D. 150º
6. 下列计算正确的是（   ）
A. x4+x4=x16                    B. （﹣2a）2=﹣4a2                    C. x7÷x5=x2                    D. m2•m3=m6
7. 下列说确的是（ ）
A. 长方体的截面一定是长方形
B. 了解一批日光灯的使用寿命适合采用的方式是普查
C. 一个圆形和它平移后所得的圆形全等
D. 多边形的外角和没有一定都等于360°
8. 把没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点A、B、C都在上，若∠ACB＝46°，则∠AOB的度数是

A. 23° B. 46° C. 60° D. 92°
10. 为确保信息，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是(　　)
A. 3，－1 B. 1，－3 C. －3，1 D. －1，3
二、填 空 题（共5小题；共15分）
11. 因式分解：x2﹣3x=_____．
12. 如果∠A＝36°18′，那么∠A的补角为_____．
13. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学根据上表分析得出如下结论：（l）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班（每分钟输入汉字超过150个为）的人数多于甲班的人数；（3）甲班的成绩波动比乙班的成绩波动小、上述结论中正确的是______.（填序号）
14. 已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=________.

15. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是__________．

三、解 答 题（共10小题，满分75分）
16. 计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|﹣3|
17. 计算：
18. 保护环境，让我们从分类做起．某区环保部门为了提高宣传实效，抽样了部分居民小区一段时间内生活的分类情况（如图1），进行整理后，绘制了如下两幅尚没有完整的统计图：

根据图表解答下列问题：
（1）请将图2﹣条形统计图补充完整；
（2）在图3﹣扇形统计图中，求出“D”部分所对应的圆心角等于 度；
（3）在抽样数据中，产生有害共有 吨；
（4）发现，在可回收物中废纸约占，若每回收1吨废纸可再造好红外线0.85吨．假设该城市每月产生的生活为10000吨，且全部分类处理，那么每月回收的废纸可再造好纸多少吨？

19. 如图，从地面上点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果到1m）．备用数据：，
20. 问题背景：数学课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一张，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两张，且．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．
解决问题：

下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．
（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么四边形，并加以证明；
（2）“希望”小组提出问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．
自主创新：
（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（没有必解答）
你提出的问题：________．
21. （2016广东省茂名市）如图，函数y=x+b的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．
（1）求反比例函数表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．

22. 为顺利通过“文明城市”验收，盐城市政府拟对部分地区进行改造，根据市政建设需要，须在16天之内完成工程．现有甲、乙两个工程队，经知道：乙队单独完成此工程的时间是甲队单独完成此工程时间的2倍，若甲、乙两队合作只需12天完成．
（1）求甲、乙工程队单独完成这项工程各需要多少天?
（2）两队合作完成此项工程，若甲队参与施工a天，乙队参与施工b天，试用含a的代数式表示b；
（3）若甲队每天的工程费用是0.6万元， 乙队每天的工程费用是0.25万元，请你设计一种，既能按时完工，又能使工程费至少?
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．

24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．




























2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）

一、选一选（共10小题；每小题只有一个正确答案，共30分）
1. |﹣3|的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：∵|﹣3|=3，而3的相反数为﹣3，
∴|﹣3|的相反数为﹣3．故选B．
2. 为了贯彻提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为（   ）
A. 1.497×105                       B. 14.97×104                       C. 0.1497×106                       D. 1.497×106
【正确答案】A

【详解】【分析】将一个数字表示成 a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法.
【详解】149700=1.497×105 .
故选A
本题考核知识点：科学记数法. 解题关键点：理解科学记数法的意义.
3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积=6××62×2=．
故选C．
考点：由三视图判断几何体．
4. 下列中，必然是（ ）
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. a是实数，︱a︱≥0
C. 某运动员跳高的成绩是20.1米
D. 从车间刚生产产品中任意抽取一个，是次品
【正确答案】B

【分析】一定会发生的事情称为必然．依据定义即可解答．
【详解】解：A、是随机，故没有符合题意，
B、是必然，符合题意，
C、是没有可能，故没有符合题意，
D、是随机，故没有符合题意．
故选B．
5. 如图，AB∥CD，若∠1=60°，则∠2等于 （ ）

A. 60º B. 90º C. 120º D. 150º
【正确答案】C

【详解】解：依题意知AB∥CD，故∠1的对顶角与∠2为同旁内角互补，且对顶角相等．
则∠2=180°-∠1=120°．
故选：C
本题考查平行线的性质，本题难度较低，主要考查学生对平行线性质的学习．
6. 下列计算正确的是（   ）
A. x4+x4=x16                    B. （﹣2a）2=﹣4a2                    C. x7÷x5=x2                    D. m2•m3=m6
【正确答案】C

【详解】【分析】根据二次根式运算法则即可解答.
【详解】
x4+x4=2x4 ,故选项A错；（﹣2a）2=4a2，故选项B错;
x7÷x5=x2 ，故选项C正确；m2•m3=m5，故选项D错.
故选C
本题考核知识点：二次根式运算. 解题关键点：熟记二次根式运算法则.
7. 下列说确的是（ ）
A. 长方体的截面一定是长方形
B. 了解一批日光灯的使用寿命适合采用的方式是普查
C. 一个圆形和它平移后所得的圆形全等
D. 多边形的外角和没有一定都等于360°
【正确答案】C

【详解】试题分析：A、长方体的截面没有一定是长方形，错误；B、日光灯的使用寿命适合抽样，错误；
C、利用平移的性质判断即可；D、多边形的外角和是确定的，错误．
考点：（1）多边形内角与外角；（2）截一个几何体；（3）平移的性质；（4）全面与抽样
8. 把没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：解没有等式组
解得
∴1＜x≤3
因此，没有等式组的解集1＜x≤3表示在数轴上为C．
故选C．
本题考查解一元没有等式组，先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）．
没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9. 如图，点A、B、C都在上，若∠ACB＝46°，则∠AOB的度数是

A. 23° B. 46° C. 60° D. 92°
【正确答案】D

【详解】试题分析：优弧所对应的圆周角为，所以优弧的圆心角为
考点：圆周角和圆心角的转换关系
点评：本题难度没有大，同一段弧，圆周角为圆心角的一半
10. 为确保信息，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是(　　)
A. 3，－1 B. 1，－3 C. －3，1 D. －1，3
【正确答案】A

【分析】根据题意可得方程组，再解方程组即可．
详解】由题意得：，
解得：，
故选A．
二、填 空 题（共5小题；共15分）
11. 因式分解：x2﹣3x=_____．
【正确答案】x（x﹣3）

【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.

12. 如果∠A＝36°18′，那么∠A的补角为_____．
【正确答案】143°42′

【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可求解．
【详解】解：∵∠A=36°18′，
∴∠A的补角=180°-36°18′=143°42′．
故答案为143°42′．
本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟记概念是解题的关键．
13. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学根据上表分析得出如下结论：（l）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班（每分钟输入汉字超过150个为）的人数多于甲班的人数；（3）甲班的成绩波动比乙班的成绩波动小、上述结论中正确的是______.（填序号）
【正确答案】（1），（2）.

【分析】平均水平的判断主要分析平均数；人数的判断从中位数没有同可以得到；波动大小比较方差的大小．
【详解】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，则说明乙班的波动小，所以（3）错误．
（1）（2）正确．
故答案为（1）(2).
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
14. 已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=________.

【正确答案】45°

【详解】试题分析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，
∴∠DCE=×90°=67.5°，∠ECB=22.5°
∴∠EBC=∠ACB=90°-∠ECB=67.5°
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°.
考点：本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理
点评：解答本题的关键是掌握矩形的四个角都是90°，三角形的内角和为180°.
15. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是__________．

【正确答案】

【详解】解：根据将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2位置可知：∠BA1O1=90°，
∴∠OAB=90°，
当y=1时，x=，即AB=，
∴∠AOB=60°，
如图，延长A2O2交x轴于E，则∠OEO2=90°，

∴OO2=2++1=3+，
sin∠OO2E=sin60°=，
∴OE=（3+）=（+1），
∴点A2的横坐（+1），
同理可得：点A4的横坐标3（+1），
点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．
故答案为6+6．
三、解 答 题（共10小题，满分75分）
16. 计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|﹣3|
【正确答案】-4

【分析】分别进行乘方、二次根式、零指数幂和值的化简等运算，然后合并求解．
【详解】解：原式=﹣4+2+1﹣3
=﹣4
本题主要考查实数的计算，其中-22与要注意区分．
17. 计算：
【正确答案】b2-a

【详解】试题分析：根据完全平方和公式和单项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可；
试题解析：
原式=
= .
18. 保护环境，让我们从分类做起．某区环保部门为了提高宣传实效，抽样了部分居民小区一段时间内生活的分类情况（如图1），进行整理后，绘制了如下两幅尚没有完整的统计图：

根据图表解答下列问题：
（1）请将图2﹣条形统计图补充完整；
（2）在图3﹣扇形统计图中，求出“D”部分所对应的圆心角等于 度；
（3）在抽样数据中，产生的有害共有 吨；
（4）发现，在可回收物中废纸约占，若每回收1吨废纸可再造好红外线0.85吨．假设该城市每月产生的生活为10000吨，且全部分类处理，那么每月回收的废纸可再造好纸多少吨？
【正确答案】（1）见解析；（2）36（3）3（4）918（吨）．

【分析】（1）由统计图中的信息可知D类5吨，占总数的10%，由此可计算出的总量，统计图中的信息即可计算出ABC各类的吨数，并将条形统计图补充完整；
（2）由“D类占总数的10%”可得，扇形统计图中D类所对应的圆心角为：360°×10%=36°；
（3）由（1）中的计算结果可知在抽样数据中有害的数量；
（4）由题意可得：该城市每月回收的废纸可再造纸：10000×54%××0.85（吨）．
【详解】（1）由题意可得该小区总量为：5÷10%=50（吨）；
∴A类有：50×54%=27（吨）；B类有：50×30%=15（吨）；
∴C类有：50-27-15-5=3（吨）；
由此，补充完整条形统计图如下：

（2）扇形统计图中，D类所对应的圆心角为：360°×10%=36°；
故答案为36
（3）由（1）中计算可知，在抽样数据中，有害有3吨；
故答案为3
（4）由题意可得，该城市每月回收的废纸可再造纸的数量为：10000×54%××0.85=918（吨）．
答：该城市每月产生的生活回收的废纸可再造纸918吨．

19. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ高度（结果到1m）．备用数据：，
【正确答案】（1）30°；（2）9m．

【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

20. 问题背景：数学课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一张，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两张，且．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．
解决问题：

下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．
（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么四边形，并加以证明；
（2）“希望”小组提出的问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．
自主创新：
（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（没有必解答）
你提出的问题：________．
【正确答案】.

【详解】【分析】模仿（1）和（2）提出：当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积．
【详解】（1）证明：作FG⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，
∴四边形GFCD是矩形，
∴GD=FC=b，
∴FD=FD′，
∴D′G=DG=b，
∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，
∵BE=FC=b，
∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，
∴AD′=EF，
∵AD′∥EF，
∴四边形AEFD′是平行四边形
（2）解：由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，
∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，
∴∠MBF′+∠BF′M=90°，
∴∠BMF′=90°，
由勾股定理得，BE==2，
∵点M为BE中点，
∴BM=， 
∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，
∴△BMF′∽△BCE，
∴ ，
∴，
∴BF′=，
∵BF=BC+CF=8，
∴F′F=BF﹣BF′=，
∴△DCF平移得距离为；
（3）提出的问题：
当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积．
如图，

∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，
∴FC=BE=F′N=1，
∴EF′=1，
∴EH=F′H=EF′=，
∵GH∥AB，
∴
∴ ，
∴GH= ，
∴S△GEF′=×EF′×GH=.
本题考核知识点：图形变换中的实践探究. 解题关键点：突出问题，解决问题.
21. （2016广东省茂名市）如图，函数y=x+b的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．

【正确答案】（1），，；（2）（，2）．

【详解】试题分析：（1）由点A的坐标反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；再将点A、B坐标分别代入函数y=x+b中得出关于a、b的二元方程组，解方程组即可得出结论；（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M．由A、O两点关于直线l对称，可得出点M为线段AO的中点，再点A、O的坐标即可得出结论．
试题解析：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k=﹣1×4=﹣4， ∴反比例函数解析式为y=﹣
把点A（﹣1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中，
得：，解得：．
（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示． ∵A、O两点关于直线l对称，
∴点M为线段OA的中点， ∵点A（﹣1，4）、O（0，0）， ∴点M的坐标为（﹣，2）．
∴直线l与线段AO的交点坐标为（﹣，2）．

考点：（1）反比例函数与函数的交点问题；（2）解二元方程组；（3）待定系数法求函数解析式
22. 为顺利通过“文明城市”验收，盐城市政府拟对部分地区进行改造，根据市政建设需要，须在16天之内完成工程．现有甲、乙两个工程队，经知道：乙队单独完成此工程的时间是甲队单独完成此工程时间的2倍，若甲、乙两队合作只需12天完成．
（1）求甲、乙工程队单独完成这项工程各需要多少天?
（2）两队合作完成此项工程，若甲队参与施工a天，乙队参与施工b天，试用含a的代数式表示b；
（3）若甲队每天的工程费用是0.6万元， 乙队每天的工程费用是0.25万元，请你设计一种，既能按时完工，又能使工程费至少?
【正确答案】（1）甲单独完成需18天，则乙单独完成需36天；（2）；（3）甲队施工10天，乙队施工16天，能按时完工，同时工程费用至少.

【详解】（1）设甲单独完成这项工程需要x天，则乙单独完成需要2x天，根据两队合作12天完成，可得出方程，解出即可．
（2）列出关于a、b的方程即可解决问题．
（3）根据题中的没有等关系建立没有等式组，解之即可解决问题．
解：（1）设甲单独完成需x天，则乙单独完成需2x天，由题意得：

解之得：
经检验：是原方程的解
∴甲单独完成需18天，则乙单独完成需36天
（2）由题意知：

（3）∵需要在16天内完成
∴ 解之得：
设施工所需的总费用为w万元，则


∴
∵，∴w随着a增大而增大
∴当时，施工总费用
即甲队施工10天，乙队施工16天，能按时完工，同时工程费用至少
点睛：本题主要考查用函数、方程建模解决实际问题.寻找题中的相等关系及没有等关系是解题的关键所在.
23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．

【正确答案】（1）详见解析；（2）2﹣

【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣×OB2=2﹣．
本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

【正确答案】（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出△PMC≌△P，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；
（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，∴点C的坐标为（0，1）．
∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．
（2）如图，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠P，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△P，∴PM=PN．
设点P（a，a）．
∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．
解得a=2，∴P（2，2）．

（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．
（i）当时，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．
（ii）当时，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．
当点Q在点A右侧时，综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．

考点：1．相似形综合题；2．分类讨论．


















2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（5月）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 的相反数是（　　）
A B. 2 C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为（ ）
A. 1×106 B. 100×104 C. 1×107 D. 0.1×108
4. 如图所示的几何体的俯视图为(　　)

A. B. C. D.
5. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）

A. 10，15 B. 13，15 C. 13，20 D. 15，15
6. 如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)

A. B. 2 C. 2 D. 4
7. 若的每条边长增加各自的得,则的度数与其对应角的度数相比（ ）
A. 增加了 B. 减少了 C. 增加了 D. 没有改变
8. 如果点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是直线y＝kx－b上的两点，且当x1＜x2时，y1＜y2，那么函数y＝的图象位于(　　)
A. 一、四象限 B. 二、四象限 C. 三、四象限 D. 一、三象限
9. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）

A. 92° B. 108° C. 112° D. 124°
10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是

A ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 如图示在△ABC中∠B= ．

12. 《“”贸易合作大数据报告(2017)》以“”贸易合作现状分析和趋势预测为核心，采集调用了8000多个种类，总计1.2亿条全球进出口贸易基础数据…，1.2亿用科学记数法表示为__________．
13. 化简：＝____________.
14. 当 __________时，二次函数 有最小值___________．
15. 方程3x(x-1)=2(x-1)根是____________
16. 如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，则∠ADE＝________．

17. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上概率是___．
18. 已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为_________．
三、解 答 题(共66分)
19 (1)计算：|－|－＋20170； (2)解方程.
20. 如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．

21. 某报社为了解市民对“核心观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷，结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据结果绘制了如下两幅没有完整的统计图．
(1)这次的市民人数为________人，m＝________，n＝________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样的结果，估计该市大约有多少人对“核心观”达到“A.非常了解”的程度．

22. 某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨．批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨；
(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量没有多于粗加工数量的三倍．为获得利润，精加工数量应为多少吨？利润是多少？
23. 如图，在四边形中，，，没有平行于，过点作交的外接圆于点，连接.

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，求证：平分.
24. 如图是小米洗漱时的侧面示意图．洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，≈1.41，结果到0.1）

25. 定义：如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点没有重合），如果的三边满足，则称点为抛物线的勾股点。 
()直接写出抛物线的勾股点的坐标； 
()如图，已知抛物线：与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； 
()在()的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标.











2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（5月）
一、选一选(每小题3分，共30分)
1. 的相反数是（　　）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D

【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．

2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】依据积的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：A．
本题主要考查了幂的乘方法则，幂的乘方的底数指的是幂的底数；“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
3. C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为（ ）
A. 1×106 B. 100×104 C. 1×107 D. 0.1×108
【正确答案】A

【详解】试题分析：将100万用科学记数法表示为：1×106．故选A．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4. 如图所示的几何体的俯视图为(　　)

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】从上往下看，易得一个正六边形和圆．
故选D．
5. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）

A. 10，15 B. 13，15 C. 13，20 D. 15，15
【正确答案】D

【分析】将五个答题数，从小到大排列，5个数中间的就是中位数，出现次数至多的是众数.
【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数15，众数是15，
故选D.
本题考查中位数和众数概念，熟记概念即可解答.
6. 如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)

A. B. 2 C. 2 D. 4
【正确答案】C

【分析】根据平行四边形性质可得出CD=AB=、∠D=∠CAD=45°，由等角对等边可得出AC=CD=，再利用勾股定理即可求出BC的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD==2．
故选C
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，根据平行四边形的性质∠ABC=∠CAD=45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．
7. 若的每条边长增加各自的得,则的度数与其对应角的度数相比（ ）
A. 增加了 B. 减少了 C. 增加了 D. 没有改变
【正确答案】D

【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答.
【详解】∵△ABC的每条边长增加各自的10%得，
∴△ABC与的三边对应成比例，
∴△ABC∽△
∴∠=∠B.
故选D.
本题考察了相似三角形性质的应用，解决本题的关键是确定两三角形相似.
8. 如果点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是直线y＝kx－b上的两点，且当x1＜x2时，y1＜y2，那么函数y＝的图象位于(　　)
A. 一、四象限 B. 二、四象限 C. 三、四象限 D. 一、三象限
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据题意可得函数为增函数，即k＞0.对于反比例函数y=而言，当k＞0时，图象位于一、三象限.
考点：(1)、函数的性质；(2)、反比例函数的性质
9. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）

A. 92° B. 108° C. 112° D. 124°
【正确答案】B

【分析】直接利用互余的性质再圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，
∴∠ABC＝36°，
∵＝，
∴2∠ABC＝∠COE＝72°，
又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，
∴∠F＝360°−90°−90°−72°＝108°．
故选B．
此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠COE的度数是解题关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是

A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【正确答案】C

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB没有会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH∙PC，故④正确；
故选C．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 如图示在△ABC中∠B= ．

【正确答案】25°

【详解】∵∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；
故答案为25°．
12. 《“”贸易合作大数据报告(2017)》以“”贸易合作现状分析和趋势预测为核心，采集调用了8000多个种类，总计1.2亿条全球进出口贸易基础数据…，1.2亿用科学记数法表示为__________．
【正确答案】1.2×108

【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．可得1.2亿用科学记数法表示为1.2×108．
故答案为1.2×108．
考点：科学记数法
13. 化简：＝____________.
【正确答案】1

【详解】根据分式的混合运算，先算括号里面的，再算乘法化简即可得===1.
故答案为1.
14. 当 __________时，二次函数 有最小值___________．
【正确答案】 ①. 1 ②. 5

【详解】解：∵
∴当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5
15. 方程3x(x-1)=2(x-1)的根是____________
【正确答案】x1=1，x2=.

【详解】试题解析：3x(x-1)=2(x-1)
3x(x-1)-2 (x-1) =0
（3x-2）(x-1)=0
3x-2=0，x-1=0
解得：x1=1，x2=.
考点:解一元二次方程---因式分解法.
16. 如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，则∠ADE＝________．

【正确答案】75°##75度

【详解】解：∵BD＝BC，
∴∠ACE=∠BDC=25°，
∴∠ABD=2∠ACE=50°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD=∠BAD=50°，
∴ ∠ADE=∠BAD+∠ACE=50°+25°=75°，
故答案为75°．
17. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___．
【正确答案】．

【详解】试题分析：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
18. 已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为_________．
【正确答案】7.5

【详解】因为双曲线既关于原点对称，又关于直线y=±x对称，矩形既是轴对称图形又是对称图形，所以可知点C与点A关于原点对称，点A与点B关于直线y=x对称，由已知可得A（2，0.5），∴C（-2，-0.5）、B（0.5，2），从而可得D（-0.5，-2），
∴，，
继而可得S矩形ABCD=AB·CD=7.5．

本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x对称，矩形既是轴对称图形又是对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键.
三、解 答 题(共66分)
19. (1)计算：|－|－＋20170； (2)解方程.
【正确答案】(1) 1－3；(2) x＝－1.

【详解】试题分析:(1)考查实数的计算, |－|－＋20170=,
(2)先将方程两边同时乘以约去分母得:,解得,再代入检验.
(1)原式＝-4＋1＝1-3.
(2)方程两边同乘以2x(x-3)得，x-3＝4x，解得x＝-1
检验：当x＝-1时，2x(x-3)≠0，
∴原方程的根是x＝-1.
20. 如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．

【正确答案】CD∥AB，CD＝AB，证明见解析.

【分析】试题分析:根据CE＝BF,可求证CF=BE,再根据∠CFD＝∠BEA,DF＝AE,
可证△DFC≌△AEB,利用全等三角形的性质可得: CD＝AB,∠C＝∠B,根据平行线的判定可证CD∥AB.
CD∥AB，CD＝AB，
证明如下：∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，∴CF＝BE.
在△DFC和△AEB中，∴△DFC≌△AEB(SAS)，
∴CD＝AB，∠C＝∠B，∴CD∥AB.
【详解】请在此输入详解！
21. 某报社为了解市民对“核心观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷，结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据结果绘制了如下两幅没有完整的统计图．
(1)这次的市民人数为________人，m＝________，n＝________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样的结果，估计该市大约有多少人对“核心观”达到“A.非常了解”的程度．

【正确答案】(1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“核心观”达到“A.非常了解”的程度．

【分析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次的市民人数，据此可得项目A，C的百分比；（2）根据对“核心观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“核心观”达到“A非常了解”的程度的人数．
【详解】试题分析：
试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，
（2）对“核心观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，
补全条形统计图如下：

（3）100000×32%=32000（人），
答：该市大约有32000人对“核心观”达到“A．非常了解”的程度．
22. 某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨．批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨；
(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量没有多于粗加工数量的三倍．为获得利润，精加工数量应为多少吨？利润是多少？
【正确答案】(1)批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨；(2)精加工数量为75吨时，获得利润，利润为85000元．

【详解】试题分析：（1）设批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．构建方程组即可解决问题．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．由m≤3，解得m≤75，利润w=1000m+400=600m+40000，构建函数的性质即可解决问题．
试题解析：（1）设批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．
由题意，
解得，
答：批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．
由m≤3，解得m≤75，
利润w=1000m+400=600m+40000，
∵600＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=75时，w有值为85000元．
考点：1、函数的应用；2、二元方程组的应用
23. 如图，在四边形中，，，没有平行于，过点作交的外接圆于点，连接.

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，求证：平分.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据圆周角定理得到，所以，根据平行线的判定和性质定理得到，再根据两组对边分别平行判定平行四边形；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，根据同圆中，等弦的弦心距相等得到，再由角平分线的判定定理证明．
【详解】证明：（1）∵，，
∴
∵，
∴.
∴
∴
∴四边形是平行四边形
（2）如图所示，过点作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，垂足分别为，.

∵四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴
∴，
∴平分
本题考查了平行四边形的判定和性质，弦心距的性质，角平分线的判定，圆中常用的辅助线是向弦作垂线，需要熟练掌握.
24. 如图是小米洗漱时的侧面示意图．洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，≈1.41，结果到0.1）

【正确答案】（1）140.3cm；（2）14.7cm

【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；
（2）求出OH、PH的值即可判断；
【详解】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．

∵EF+FG＝160，FG＝100，
∴EF＝60，
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin80°≈98
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝60•cos45°＝30≈42.3，
∴MN＝FN+FM≈140.3，
∴此时小米头部E点与地面DK相距约为140.3cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24，
∵EM＝60•sin45°≈42.3，
∴PH≈42.3，
∵GN＝100•cos80°≈18，CG＝15，
∴OH＝24+15+18＝57，OP＝OH﹣PH＝57﹣42.3＝14.7，
∴他应向前14.7cm．
本题考查解直角三角形的应用，解提的关键是将题目抽象为数学问题，作辅助线构造出直角三角形．
25. 定义：如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点没有重合），如果的三边满足，则称点为抛物线的勾股点。 
()直接写出抛物线的勾股点的坐标； 
()如图，已知抛物线：与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； 
()在()的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标.

【正确答案】（1）；（2）；（3）Q有3个: 或或.

【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；
（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，得到,
从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．
【详解】解:
(1)抛物线的勾股点的坐标为；
(2)抛物线过原点,即点, 如图,作轴于点G, 

∵点P的坐标为,
∴
∴,
∴在中, ,
∴,，即点B的坐标为（4,0）
∴没有妨设抛物线解析式, 
将点代入得: ,即抛物线解析式为.
(3)①当点Q在x轴上方时,由知点Q的纵坐标为, 
则有, 
计算得出: (与P点重合，没有符合题意,舍去), 
∴点Q的坐标为; 
②当点Q在x轴下方时,由知点Q的纵坐标为, 
则有, 
计算得出: ,
 ∴点Q的坐标为或；
综上,满足条件的点Q有3个: 或或.
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及含30°的直角三角形的性质.