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2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共76页。试卷主要包含了填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x≥1 C. x≠1 D. x≠0
2. 如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（ ）
A. GH B. EF C. CD D. AB
3. 2018年4月18日，被“中国天眼”的望远镜发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4. 下列图形能折叠成三棱柱的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，直线点，，°，°，则等于( )
A. ° B. ° C. ° D. °
6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ）
A. B. C. D.
7. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. “单词的记忆效率“是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中小华，小红小刚和小强四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ）
A. 小华 B. 小红 C. 小刚 D. 小强
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
10. 如图，是⊙的直径，是⊙上一点，，，则图中阴影部分的面积为__________．
11. 如果，那么代数式的值是__________．
12. 如图，四边形与四边形是以为位似的位似图形，满足，，，分别是，，的中点，则__________．
13. 2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威•太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威•太湖之光”浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威•太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为__________．
14. 袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看没有到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
15. 下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：以为斜边的一个等腰直角三角形．
作法：如图，
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，的长为半径作圆，交直线于点；
（4）连接，．
则即为所求作三角形．
请回答：在上面作图过程中，①是直角三角形的依据是________；②是等腰三角形的依据是__________．
16. 在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是____________.
三、解 答 题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题6分；第27～28小题，每小题7分）
17. 计算：．
18. 解没有等式，并把解集在数轴上表示出来.
19. 如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，AD=3，E 为 AB 上一点，AE=4，ED=5，求 CD的长.
20. 关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个的值，使方程的两个根中只有一个根小于.
21. 如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.
（1）求的值；
（2）若，求证：四边形是矩形.
22. 已知直线过点，且与函数的图象相交于两点，与轴、轴分别交于点，如图所示，四边形均为矩形，且矩形的面积为.
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求直线的解析式及线段的长；
（3）如图是小芳同学对线段的长度关系的思考示意图.记点的横坐标为，已知当时，线段的长随的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当时，线段的长随的增大而 . （填“增大”、“减小”或“没有变”）
23. 如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点.
（1）连接，则= ；
（2）求证：与相切；
（3）点在上，，交于点.若，求的长.
24. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图.
（1）根据折线图把下列表格补充完整；
运动员
平均数
中位数
众数
甲
8.5
9
乙
8.5
（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由.
25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目
收费标准
3公里以内收费
13元
基本单价
2.3元/公里
……
……
备注：出租车计价段里程到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元）.
（1）下表是y随x的变化情况
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
…
（2）在平面直角坐标系中，画出当时随变化的函数图象；
（3）运营行驶公里（）的平均单价记为（单位：元/公里），其中.
①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若运营行驶公里的平均单价没有大于行驶任意（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中轴上表示出（没有包括端点）之间的幸运里程数的取值范围.
26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，其中，以点为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，如图所示.
（1）若，则点的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点，使得点在同一条抛物线上？若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由.
27. 如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于.
（1）连接，则之间的数量关系是 ；
（2）若，求的大小（用的式子表示）
（3）用等式表示线段和之间数量关系，并证明.
28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．
（1）写出函数的限减系数；
（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．
（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持没有变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x≥1 C. x≠1 D. x≠0
【正确答案】C
【分析】根据分式有意义的条件，列出没有等式，求解即可.
【详解】根据分式有意义的条件可知：
解得：
故选C.
考查分式有意义的条件：分母没有为零.
2. 如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（ ）
A. GH B. EF C. CD D. AB
【正确答案】A
【详解】分析:根据垂径定理可知，圆心到弦距离是最长的，弦的长度反而是最短的.
详解：根据垂径定理可知，圆心到弦的距离是最长的，弦的长度反而是最短的.
故选A.
点睛：考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
3. 2018年4月18日，被“中国天眼”的望远镜发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00519＝5.19×10−3，
故选：B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列图形能折叠成三棱柱的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】分析: 根据三棱柱的特点可得三棱柱是由两个三角形，三个矩形围成．
详解：A 可以折叠成三棱柱，故此选项正确；
B. 可以折叠成三棱锥，故此选项错误；
C. 可以折叠成四棱锥，故此选项错误；
D.没有能折叠成几何体，故此选项错误；
故选A.
点睛：考查展开图折叠成几何体，关键是掌握三棱柱的特点.
5. 如图，直线点，，°，°，则等于( )
A. ° B. ° C. ° D. °
【正确答案】C
【详解】分析: 利用三角形的内角和定理求出∠C，再根据两直线平行，内错角相等可得
详解：∵°，°，
∴
∵DE∥BC，
∴
故选C.
点睛：考查平行线的性质以及三角形的内角和，掌握平行线的性质是解题的关键.
6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，
tan∠ABC=，
∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=．
故选D．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
7. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先根据数轴判定的范围，再进行判断即可．
【详解】由图可知： 又，
或
A．与0无法进行比较.故错误，没有符合题意．
B．,无法判断，故错误，没有符合题意．
C．正确，符合题意．
D．没有一定，故错误，没有符合题意．
故选C．
8. “单词的记忆效率“是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中小华，小红小刚和小强四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ）
A. 小华 B. 小红 C. 小刚 D. 小强
【正确答案】C
【分析】根据小华，小红，小刚和小强四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况的图表，回答问题即可．
【详解】解：由图可得：小华同学的单词的记忆效率，但复习个数最少，小强同学的复习个数最多，但记忆效率，小红和小刚两位同学的记忆效率基本相同，但是小刚同学复习个数较多，所以这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是小刚．
故选C．
本题考查函数的图象，正确理解题目的意思是解题的关键．
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
【正确答案】3（a+1）2
【分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解.
【详解】3a2＋6a＋3＝．
故答案为．
考点：分解因式．
10. 如图，是⊙的直径，是⊙上一点，，，则图中阴影部分的面积为__________．
【正确答案】6π
【详解】分析:根据扇形的面积公式进行计算即可.
详解：
阴影部分的面积为:
故答案为
点睛：考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
11. 如果，那么代数式的值是__________．
【正确答案】4
【详解】分析:根据分式混合运算的步骤对所求代数式进行化简，再把代入进行运算即可.
详解：原式
把代入，
故答案为4.
点睛：考查分式混合运算，掌握运算法则是解题的关键.
12. 如图，四边形与四边形是以为位似的位似图形，满足，，，分别是，，的中点，则__________．
【正确答案】
【详解】分析:根据位似图形的性质进行回答即可.
详解：四边形与四边形是以为位似的位似图形，
，，分别是，，的中点，
故答案为
点睛：考查位似图形的性质，位似图形的对应边之比等于位似比.
13. 2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威•太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威•太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威•太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为__________．
【正确答案】
【分析】根据“天河二号的运算时间-神威•太湖之光的运算时间=18.75秒”可列方程．
【详解】解：设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，则“神威•太湖之光”的浮点运算速度为2.74x亿亿次/秒，
根据题意，得：，
故．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
14. 袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看没有到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
【正确答案】4
【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
【详解】解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，
∴摸到红球的频率=，
∵袋子中共有20个小球，
∴这个袋中红球约有个，
故答案为4．
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：以为斜边的一个等腰直角三角形．
作法：如图，
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，的长为半径作圆，交直线于点；
（4）连接，．
则即为所求作的三角形．
请回答：在上面的作图过程中，①是直角三角形的依据是________；②是等腰三角形的依据是__________．
【正确答案】 ①. 直径所对的圆周角为直角 ②. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【详解】分析:首先作了线段AB的垂直平分线PQ,直角三角形外接圆的圆心就在斜边的中点处，接下来以为圆心，的长为半径作圆，交直线于点；是直径所对的圆周角，则同时点在线段的垂直平分弦上，则即为所求.
详解：在上面的作图过程中，①是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角,
②是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
故答案为 (1). 直径所对的圆周角为直角； (2). 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
点睛：考查了圆周角定理以及线段垂直平分弦的作法以及性质，比较综合.
16. 在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是____________.
【正确答案】
【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=-2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
【详解】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=-2交于C，D两点，则点A（-2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，
∴m的取值范围是2.5≤m≤3，
故2.5≤m≤3．
本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要旋转的角度和图形的性质来求出旋转后的点的坐标．
三、解 答 题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题6分；第27～28小题，每小题7分）
17. 计算：．
【正确答案】
【详解】分析: 按照实数的运算顺序进行运算即可.
详解：原式=
=.
点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
18. 解没有等式，并把解集在数轴上表示出来.
【正确答案】
【详解】分析:去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出没有等式的解集，再把解集在数轴上表示即可.
详解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项，合并得 .
系数化为1，得 .
没有等式的解集在数轴上表示如下：
点睛：考查解一元没有等式，掌握运算步骤是解题的关键.
19. 如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，AD=3，E 为 AB 上一点，AE=4，ED=5，求 CD的长.
【正确答案】CD=3.
【详解】分析:根据勾股定理的逆定理证明.根据角平分线的性质即可求的长．
详解：∵，，，
∴.
∴.
∴.
∵.
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴.
点睛：考查勾股定理的逆定理以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
20. 关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个的值，使方程的两个根中只有一个根小于.
【正确答案】（1）证明见解析（2）m=4
【详解】分析: （1）证明根的判别式即可.
求出方程的两根分别为：3，，写出满足题意的的值即可.
详解：（1）证明：依题意，得.
∵，
∴方程总有实数根.
(2) ∵原方程有两个实数根3，，
∴取，可使原方程的两个根中只有一个根小于.
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个没有相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
21. 如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.
（1）求的值；
（2）若，求证：四边形是矩形.
【正确答案】（1） （2）证明见解析
【详解】分析: （1）根据AB∥CD，得到∠ABE=∠EDC.证明△ABE∽△FDE.得到.进一步说明AB=DF.再证明△ABG∽△CDG，.
根据AB∥CF，AB=CF，证明四边形ABCF是平行四边形. 证明∠CFA=90°.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明..
详解：（1）∵ AB∥CD，
∴ ∠ABE=∠EDC.
∵ ∠BEA=∠DEF，
∴ △ABE∽△FDE.
∴ .
∵ E是BD的中点，
∴ BE=DE.
∴ AB=DF.
∵ F是CD的中点，
∴ CF=FD.
∴ CD=2AB.
∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，
∴ △ABG∽△CDG.
∴ .
（2）证明：∵ AB∥CF，AB=CF，
∴ 四边形ABCF是平行四边形.
∵ CE=BE，BE=DE，
∴ CE=ED.
∵ CF=FD，
∴ EF垂直平分CD.
∴ ∠CFA=90°.
∴ 四边形是矩形.
点睛：属于综合题，考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定等，综合性比较强，难度适中．
22. 已知直线过点，且与函数的图象相交于两点，与轴、轴分别交于点，如图所示，四边形均为矩形，且矩形的面积为.
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求直线的解析式及线段的长；
（3）如图是小芳同学对线段的长度关系的思考示意图.记点的横坐标为，已知当时，线段的长随的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当时，线段的长随的增大而 . （填“增大”、“减小”或“没有变”）
【正确答案】（1）3（2） （3）增大
【详解】分析: （1）设点B的坐标为（x，y），由题意得：，.根据矩形OMBF的面积为3，即可求出.
（2）点B的横坐标为3，点B在双曲线上，点B的坐标为（3，1），用待定系数法即可求出直线的解析式，直线l与x轴交于点C（4，0），根据勾股定理即可求出线段的长；
画出示意图即可判断.
详解：（1）设点B的坐标为（x，y），由题意得：，.
∵ 矩形OMBF的面积为3，
∴ .
∵ B在双曲线上，
∴ .
（2）∵ 点B的横坐标为3，点B在双曲线上，
∴ 点B的坐标为（3，1）.
设直线l的解析式为.
∵ 直线l过点，B（3，1），
∴ 解得
∴ 直线l的解析式为.
∵ 直线l与x轴交于点C（4，0），
∴ .
（3） 增大
点睛：属于反比例函数和函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义等，熟练掌握它们的图象与性质是解题的关键.
23. 如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点.
（1）连接，则= ；
（2）求证：与相切；
（3）点在上，，交于点.若，求的长.
【正确答案】（1）60（2）证明见解析（3）
【详解】分析:连接 根据 即可求出
连接，证明.得到.进而证明∥.根据平行线的性质得到.即可证明与相切；
连接，，根据于，.求出.
.根据圆周角定理求出，根据即可求出的长.
详解：（1） 60 ；
（2）连接，
∵，是的直径，
∴.
∵是的中点，
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴∥.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴与⊙相切．
（3）连接，，
∵于，
∴是中点.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
由（1）可知.
∴.
在中，，，，
∴.
在中，，，，
∴.
由（1）知，
∴.
在中，，，，
∴．
点睛：考查垂径定理的性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定等，综合形比较强，对学生综合能力要求较高.
24. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图.
（1）根据折线图把下列表格补充完整；
运动员
平均数
中位数
众数
甲
8.5
9
乙
8.5
（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由.
【正确答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】分析: （1）把数据从小到大排列，根据中位数和众数的概念求解即可.
（2）答案没有，言之有理即可.
详解：（1）补充表格：
运动员
平均数
中位数
众数
甲
8.5
9
9
乙
8.5
8.5
7和10
（2）答案没有，可参考的答案如下：
甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出9环及以上的次数更多，打出7环的次数较少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；
乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出10环次数和7环次数都比甲多，说明乙射击时起伏更大，但也更容易打出10环的成绩.
点睛：考查折线统计图，平均数，中位数以及众数，看懂折线统计图是解题的关键.
25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目
收费标准
3公里以内收费
13元
基本单价
2.3元/公里
……
……
备注：出租车计价段里程到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元）.
（1）下表是y随x的变化情况
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
…
（2）在平面直角坐标系中，画出当时随变化的函数图象；
（3）运营行驶公里（）的平均单价记为（单位：元/公里），其中.
①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若运营行驶公里的平均单价没有大于行驶任意（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中轴上表示出（没有包括端点）之间的幸运里程数的取值范围.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）① ；②见解析
【分析】（1）根据计费标准完成表格即可.
（2）根据（1）中的表格画出图象即可.
（3）①根据把x=3，3.4和3.5分别代入计算w1，w2，w3的值，并作比较；
②根据幸运里程数的概念进行回答即可.
【详解】解：（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元．且计费以元为单位得出
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
17
18
…
（2）如图所示：
（3）①当x=3时，，
当x=3.4时，，
当x=3.5时，
则 ；
②轴上表示出（没有包括端点）之间的幸运里程数的取值范围如上图所示.
属于新定义问题，考查函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，其中，以点为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，如图所示.
（1）若，则点的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点，使得点在同一条抛物线上？若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由.
【正确答案】（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）（2）没有存在
【详解】分析: （1）根据平行四边形对边相等的性质即可得到点的坐标.
（2）没有存在. 假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）. 而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.根据为抛物线的顶点.设出抛物线的方程，把点B的坐标代入得.把点的坐标代入得到，与矛盾. 所以没有存在满足条件的C点.
详解：（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）
（2）没有存在. 理由如下：
假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.
由题意得：（-4，n），（0，n），（-2，）.
注意到在抛物线的对称轴上，故为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是.
当时，，代入得.
所以.
令，得，解得，与矛盾.
所以没有存在满足条件的C点.
点睛：考查平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，此题综合性较强，难度较大，注意数形思想的应用．
27. 如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于.
（1）连接，则之间的数量关系是 ；
（2）若，求的大小（用的式子表示）
（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明.
【正确答案】（1）；（2）（3）．
【分析】（1）连接，，易证是等边三角形，则根据点与点关于对称，则根据等量代换可知；
（2）根据，求出.因为点与点关于对称，得到，.则.，，在以为圆心，为半径的圆上.根据圆周角定理有.
（3）.理由如下：连接，延长，交于点，证明，
得到.根据，即可得到.
【详解】（1）连接DE,DF
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵CE=CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=DC，
∵点C与点F关于BD对称，
∴DF=DC，
∴DF=DE，
故答案为DE=DF；
（2）如图：
∵是等边三角形，
∴.
∵，
∴.
∵点与点关于对称，
∴，.
∴.
由（1）知.
∴，，在以为圆心，为半径的圆上.
∴.
（3）.理由如下：
连接，延长，交于点，
∵是等边三角形，
∴，.
∵点与点关于对称，
∴，.
∴.
∴.
设，
则.
∴.
∴.
∴.
由（2）知.
∴.
∴，.
四边形中，.
∴.
∴是等边三角形.
∴，.
∵，
∴.
在与中，
∴.
∴.
∵，
∴．
本题属于综合题，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等, 题目比较典型，综合性比较强，难度较大．
28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．
（1）写出函数的限减系数；
（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．
（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持没有变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．
【正确答案】（1）2；（2）（3）
【分析】根据题目中限减函数以及限减系数的定义分析即可.
若，则，和是函数图象上两点，，与函数的限减系数没有符，接下来分和两种情况进行讨论即可.
首先写出翻折后新函数的函数解析式，根据限减函数的定义进行判定即可.
【详解】解：（1）函数的限减系数是2；
（2）若，则，和是函数图象上两点，，与函数的限减系数没有符，∴．
若，和是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，
∵，且，
∴，与函数限减系数没有符.
∴．
若，和是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，
∵，且，
∴，当时，等号成立，故函数的限减系数．
∴取值范围是．
（3）设P（n，−n2），则翻折后的抛物线的解析式为y＝x2−2n2，
对于抛物线y＝−x2，（m−1，−（m−1）2），（m，−m2）是抛物线图象上两点，
由题意：−m2＋m2−2m＋1≥−1，解得m≤1，
对于抛物线y＝x2−2n2，（m，m2−2n2），（m＋1，（m＋1）2−2n2）是抛物线图象上两点，
由题意：（m＋1）2−2n2−（m2−2n2）≥−1，
解得m≥−1，
∴满足条件的P点横坐标n的取值范围：−1≤n≤1．
属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键.
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 在2018政府工作报告中，多次提及大数据、人工智能等关键词，数年的爆发式发展，我国人工智能在2017年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能核心产业规模超1500亿元，将150000000000用科学记数法表示应为
A. 1.5×102 B. 1.5×1010 C. 1.5×1011 D. 1.5×1012
2. 如果代数式的结果是负数，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠﹣1 D. x＜2且x≠﹣1
3. 下列各式计算正确是（）
A. B. C. D.
4. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为（）
A. B. C. D.
5. 如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）
A. B. C. D.
6. 数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（ ）
A. 点A的左侧 B. 点A点B之间
C. 点B点C之间 D. 点C的右侧
7. 如图，已知点A，B，C，D是边长为1的正方形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，以下的树状图是所有可能发生的结果，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为1的线段的概率为（）
A. B. C. D.
8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，如图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说没有合理的是（ ）
A. 出发后最快选手与最慢的选手相遇了两次
B. 出发后最快的选手与最慢的选手次相遇比第二次相遇的用时短
C. 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑
D. 跑的最慢的选手用时4′46″
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 两个三角形相似，相似比是 ,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是________.
10. 写出一个没有过原点，且y随x的增大而增大的函数_________.
11. 如果3a2＋4a－1＝0，那么(2a＋1)2－(a－2)(a＋2)结果是______．
12. 某生产商生产了一批节能灯，共计10000个，为了测试节能灯的使用寿命（使用寿命大于等于6000小时为合格产品），从中随机挑选了100个产品进行测试，有5个没有合格产品，预计这批节能灯有_________个没有合格产品.
13. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．
14. 某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为_____________________.
15. 如图：已知，对应的坐标如下，请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识若干次图形变化，使得点A与点E重合、点B与点D重合，写出一种变化的过程_____．
16. 以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
步：如图，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；
第二步：点E在线段MD上，将△ECD沿EC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP可得△BCP是等边三角形
问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC；依据________________________.
三、解 答 题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解没有等式组：
19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.
求证： AE=BE.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数与反比例函数（k≠0）的图象相交于点 .
（1）求k的值；
（2）点是y轴上一点，过点P且平行于x轴的直线分别与函数、反比例函数的图象相交于点、，当时，画出示意图并直接写出a的取值范围.
21. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
22. 已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式．
23. 如图，BC为⊙O的直径，CA是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接CD,∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若BD=DC，求的值．
24. 在“朗读者”节目的影响下，某中学在暑期开展了“好书伴我成长”读书，并要求读书要细读，最少要读完2本书，最多没有建议超过5本．初一年级5个班，共200名学生，李老师为了了解学生暑期在家的读书情况，给全班同学布置了一项作业：了解初一年级学生暑期读书情况.班中三位同学各自对初一年级读书情况进行了抽样，并将数据进行了整理，绘制的统计图表分别为表1、表2、表3.
表1：在初一年级随机选择5名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
1
1
1
表2：在初一年级“诵读班”班随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
0
1
4
15
表3：在初一年级随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
8
6
4
问题1：根据以上材料回答：三名同学中，哪一位同学的样本选取更合理，并简要说明其他两位同学选取样本的没有足之处；
老师又对合理样本中的所有学生进行了“阅读动机”的调研，并制作成了如下统计图.
问题2：通过统计图的信息你认为“阅读动机”
在“40%”的群体，暑期读几本书的可能性大，并说出你的理由.
25. 如图，，在射线AN上取一点B，使，过点作于点C，点D是线段AB上的一个动点，E是BC边上一点，且,设AD=x cm，BE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
（1）取指定点作图.根据下面表格预填结果，先通过作图确定AD=2cm时，点E的位置，测量BE的长度．
①根据题意，在答题卡上补全图形；
②把表格补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表：
2
3
2.9
3.4
3.3
2.6
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
③建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（2）画出的函数图象，解决问题：当时，的取值约为__________.
26. 在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为．
（1）当该抛物线过原点时，求的值；
（2）坐标系内有一矩形OABC其中、．
①直接写出C点坐标；
②如果抛物线与该矩形有2个交点，求的取值范围．
27. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.
（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；
（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.
28. 在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“”表示.
现请在以W（-3，0）为圆心，半径为2的⊙W圆上，根据以下条件解答所提问题：
（1）已知弦MN长度为2.
①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的的长度；
②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的的取值范围.
（2）已知点,点N为⊙W上的一动点，有直线，求到直线的的值.
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（5月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 在2018政府工作报告中，多次提及大数据、人工智能等关键词，数年的爆发式发展，我国人工智能在2017年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能核心产业规模超1500亿元，将150000000000用科学记数法表示应为
A. 1.5×102 B. 1.5×1010 C. 1.5×1011 D. 1.5×1012
【正确答案】C
【详解】分析：
按照科学记数法的定义进行解答即可.
详解：
.
故选C.
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
2. 如果代数式的结果是负数，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠﹣1 D. x＜2且x≠﹣1
【正确答案】B
【详解】分析：
根据使分式值为负数的条件进行分析解答即可.
详解：
∵无论取何值，代数式的值都大于0，
∴要使代数式的值为负数，需满足：，
解得.
故选B.
点睛：本题解题需注意两点：（1）代数式的值恒为正数；（2）要使分式的值为负数，需满足分子和分母的值一个为正数，另一个为负数.
3. 下列各式计算正确的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因为中两个项没有是同类项，没有能合并，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算正确；
D选项中，因为，所以D中计算错误.
故选C.
点睛：熟记“整式的相关运算法则”，是正确解答本题的关键.
4. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：
如下图，由已知条件易得∠AOC=120°，∠BOC=108°，由此可得∠AOB=132°，再AO=BO即可得到∠ABO=∠BAO=(180°-132°)÷2=24°.
详解：
∵下图中的两个正多边形是边长相等的正六边形和正五边形，
∴∠AOC=180°-（360°÷6）=120°，∠BOC=180°-（360°÷5）=108°，
∴∠AOB=360°-120°-108°=132°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=（180°-132°）÷2=24°.
故选A.
点睛：熟记“正多边形的每个内角相等、多边形的外角和为360°及等腰三角形的性质”是正确解答本题的关键.
5. 如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据展开图中四个面上的图案各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可.
【详解】A. 因为A选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点没有在阴影三角形的边上,与展开图没有一致,故没有可能是A:
B. 因为B选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点没有在阴影三角形的边上，与展开图没有一致,故没有可能是B ;
C .因为C选项中的几何体能够看见的三个面上都没有阴影图家,而展开图中有四个面上有阴影图室，所以没有可能是C.
D. 因为D选项中的几何体展开后有可能得到如图所示的展开图,所以可能是D ;
故选D.
本题考查了学生的空间想象能力, 解决本题的关键突破口是掌握正方体的展开图特征.
6. 数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（ ）
A. 点A的左侧 B. 点A点B之间
C. 点B点C之间 D. 点C的右侧
【正确答案】C
详解】分析：
根据题中所给条件A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.
详解：
A选项中，若原点在点A的左侧，则，这与已知没有符，故没有能选A；
B选项中，若原点A、B之间，则b>0，c>0，这与b·c<0没有符，故没有能选B；
C选项中，若原点在B、C之间，则且b·c<0，与已知条件一致，故可以选C；
D选项中，若原点在点C右侧，则b<0，c<0，这与b·c<0没有符，故没有能选D.
故选C.
点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0，原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的点所表示的数的值越大”是正确解答本题的关键.
7. 如图，已知点A，B，C，D是边长为1的正方形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，以下的树状图是所有可能发生的结果，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为1的线段的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：
由题意可知，共有6种等可能结果，其中所得线段长度为1的有4中，由此即可求得所求概率为.
详解：
∵A、B、C、D四点是边长为1的正方形的四个顶点，
∴AB=BC=CD=DA=1，AC=BD=，
∴由题意可得：共有6种等可能结果，其中所得线段长度为1的有4种，
∴P（取得的线段长度为1）=.
故选D.
点睛：由题意知道共有6条线段，且其中有四条线段长度为1是解答本题的关键.
8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，如图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说没有合理的是（ ）
A. 出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次
B. 出发后最快的选手与最慢的选手次相遇比第二次相遇的用时短
C. 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑
D. 跑的最慢的选手用时4′46″
【正确答案】D
【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由图象可得，
出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次，故选项A正确，
出发后最快的选手与最慢的选手次相遇比第二次相遇的用时短，故选项B正确，
最快的选手到达终点时，最慢的选手还有2×200＋15＝415米未跑，故选项C正确，
跑的最快的选手用时4′46″，故选项D错误，
故选D．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形的思想解答．
错因分析 中等题.失分原因：没有弄清x、y所表示的含义，未明确函数图象所表示的情境.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 两个三角形相似，相似比是 ,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是________.
【正确答案】36
【详解】分析：
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
详解：
设较大三角形的面积为x，则由题意可得：
，解得.
故36.
点睛：熟记：相似三角形的性质：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键.
10. 写出一个没有过原点，且y随x的增大而增大的函数_________.
【正确答案】答案没有，如：
【详解】分析：
所学过的函数的图象和性质任写一个符合要求的函数即可.
详解：
由题意可知，这样的函数有很多，如：
函数.
故本题答案没有，如.
点睛：熟悉所学过的函数的图象特征和性质是正确解答本题的关键.
11. 如果3a2＋4a－1＝0，那么(2a＋1)2－(a－2)(a＋2)的结果是______．
【正确答案】6
【详解】分析：
先由可得，然后将式子化简整理，再代值计算即可.
详解：
∵，
∴，
∴
=
=
=
=.
故6.
点睛：熟悉“完全平方公式和平方差公式”，并能由此把化简整理为是正确解答本题的关键.
12. 某生产商生产了一批节能灯，共计10000个，为了测试节能灯的使用寿命（使用寿命大于等于6000小时为合格产品），从中随机挑选了100个产品进行测试，有5个没有合格产品，预计这批节能灯有_________个没有合格产品.
【正确答案】500
【详解】分析：
由题意可得：样本的没有合格率为：5%，由此即可估计这批节能灯的没有合格数量为：10000×5%=500.
详解：
∵抽查的100个产品中，没有合格的有5个，
∴没有合格率为：5%，
∴这10000个节能灯中没有合格产品约有：10000×5%=500（个）.
故答案为500.
点睛：理解样本合格率和总体合格率间的关系，并能由已知条件得到样本的合格率为5%是正确解答本题的关键.
13. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．
【正确答案】5
【详解】分析：
由⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8可得BE=4，设OB=x，则由CE=2可得OE=x-2，由此在Rt△OBE中由勾股定理建立方程解得x的值，即可得到OB的长.
详解：
∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8，
∴BE=4，∠OEB=90°，
设OB=x，则OC=x，
∵CE=2，
∴OE=x-2，
∵在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，
∴，解得：，
∴OB=5.
故5.
点睛：由“垂径定理”得到BE=4，并由此由勾股定理在在Rt△OBE中建立其“以OB长度为未知数的方程”是正确解答本题的关键.
14. 某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为_____________________.
【正确答案】
【分析】由题意可得购买西《西游记》共花费了80x元，购买《三国演义》共花费100（x+16）元，然后根据：购买《西游记》花费的钱+购买《三国演义》花费的钱=12000即可列出对应的方程了.
【详解】设《西游记》每套x元，根据题意可得：
100（x+16）+80x=12000.
故100（x+16）+80x=12000.
本题考查了一元方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
15. 如图：已知，对应的坐标如下，请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识若干次图形变化，使得点A与点E重合、点B与点D重合，写出一种变化的过程_____．
【正确答案】答案没有（例：先将△ABC以点B为旋转顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位即可）．
【分析】根据“平移”、“轴对称”和“旋转”的性质进行分析解答即可．
【详解】解：根据题意，可按下列方式变换使点A与点E重合，点B与点D重合：
（1）先将△ABC以点B为旋转顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位，并向下平移2个单位即可；
（2）先将△ABC向右平移2个单位，再向下平移2个单位，然后将所得△ABC绕点B顺时针旋转90°即可；
……
故本题答案没有，如：先将△ABC以点B为旋转顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位即可．
本题考查熟悉“平移”、“轴对称”和“旋转”这三种图形变换的性质，并认真观察所给图形的位置特征，是正确解答这类题的关键．
16. 以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
步：如图，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；
第二步：点E在线段MD上，将△ECD沿EC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP可得△BCP是等边三角形
问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC；依据是________________________.
【正确答案】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【详解】分析：
根据折叠的性质进行分析解答即可.
详解：
∵将正方形ABCD对折，折痕为MN，
∴MN垂直平分BC，
∵点P在MN上，
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
点睛：熟悉：折叠的性质：“把图形沿着某条直线对折后，对应点的连线被折痕垂直平分”和线段垂直平分线的性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是正确解答本题的关键.
三、解 答 题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【正确答案】3 .
【详解】分析：
代入30°角的余弦函数值，“负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和值的意义”进行计算即可.
详解：
原式
.
点睛：熟记：“角的三角函数值”、“零指数幂的意义：”和“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
18. 解没有等式组：
【正确答案】≤x＜6
【详解】分析：
按解一元没有等式组的一般步骤解答即可.
详解：
解没有等式得，，
解没有等式得，，
∴原没有等式组的解集是：．
点睛：掌握“解一元没有等式组的方法”是解答本题的关键.
19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.
求证： AE=BE.
【正确答案】见解析
【分析】由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，∠CAB=∠BDE可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE⊥AB，再由∠DAB=∠B证得AD=BD即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.
【详解】证明：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CAB=∠BDE，
∴∠BDE +∠B=90°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥AB，
∵∠DAB=∠B，
∴DA=DB，
∴AE=BE.
由∠CAB=∠BDE∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE⊥AB是解答本题的关键.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数与反比例函数（k≠0）的图象相交于点 .
（1）求k的值；
（2）点是y轴上一点，过点P且平行于x轴的直线分别与函数、反比例函数的图象相交于点、，当时，画出示意图并直接写出a的取值范围.
【正确答案】（1）4（2）或
【详解】分析：
（1）将点M（2，2）代入反比例函数的解析式中即可求得k的值；
（2）由题意可知，过P点所作的直线与直线y=x的交点需在与反比例函数的交点的左侧，由此画出对应的图象即可求得a的取值范围.
详解：
（1）∵过点M（2，2），
∴k=2×2=4；
（2）由题意可知，过P点所作的直线与直线y=x的交点需在与反比例函数的交点的左侧，由此作出如下图形：
由图可知：a的取值范围为：或.
点睛：解第2小题时需注意：直线y=x和反比例函数的图象都是关于原点对称的，因此它们的交点也是关于原点对称的，由此可知所求的取值范围需分如图所示的两段分析讨论，没有要忽略了其中任何一段.
21. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF的值，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM的值，进而得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．
试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE= BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= =，即D，F两点间的距离为．
点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．
22. 已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式．
【正确答案】（1）证明见解析（2）y=a-4
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析证明即可；
（2）根据（1）中所得结果一元二次方程的求根公式求出x1和x2，代入y=ax2-2x1即可得到所求函数关系式．
【详解】解：（1）∵在关于x的一元二次方程：中：
∴ 原方程有两个没有相等的实数根．
（2）∵由（1）可得：△=4，
∴由一元二次方程的求根公式可得：．
∴ 或，
∵，
∴ ， ，
∴ ，
即所求函数关系式为.
解答本题有两个要点：（1）熟记“一元二次方程的求根公式：在一元二次方程中，当△=时，方程的根为：”；（2）由得到，由此得到， .
23. 如图，BC为⊙O的直径，CA是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接CD,∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若BD=DC，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）如下图，由已知易得∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，由此可得∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°∠1=∠2，可得∠3=∠5，∠3=∠4可得∠4=∠5，从而可得CE=CF；
（2）由（1）中所得∠1=∠2，∠3=∠5可得△ADF∽△ACE，由此可得 由BD=DC，∠BDC=90°可得tan∠ABC=，再证∠ACD=∠ABC即可得到tan∠ACD=，这样在Rt△ACD中，可得sin∠ACD=，由此即可得到.
【详解】（1）∵BC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90° ，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4
∴∠4=∠5，
∴ CF=CE ；
（2）由（1）可知∠1=∠2，∠3=∠5，
∴△ADF∽△ACE，
∴，
∵BD=DC，∠BDC=90°，
∴tan∠ABC=，
∵∠ABC+∠BAC=90°, ∠ACD+∠BAC=90°
∴∠ACD=∠ABC，
∴tan∠ACD=，
∴sin∠ACD=，
∴.
（1）解第1小题时，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到∠ADC=∠ACE=90°从而得到∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°，并由∠1=∠2得到∠3=∠5是解答本小题的关键；（2）解第2小题时，由已知条件证得tan∠ABC= ，证∠ACD=∠ABC得到tan∠ACD= ，进而得到sin∠ACD=是解答本小题的关键.
24. 在“朗读者”节目的影响下，某中学在暑期开展了“好书伴我成长”读书，并要求读书要细读，最少要读完2本书，最多没有建议超过5本．初一年级5个班，共200名学生，李老师为了了解学生暑期在家的读书情况，给全班同学布置了一项作业：了解初一年级学生暑期读书情况.班中三位同学各自对初一年级读书情况进行了抽样，并将数据进行了整理，绘制的统计图表分别为表1、表2、表3.
表1：在初一年级随机选择5名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
1
1
1
表2：在初一年级“诵读班”班随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
0
1
4
15
表3：在初一年级随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
8
6
4
问题1：根据以上材料回答：三名同学中，哪一位同学的样本选取更合理，并简要说明其他两位同学选取样本的没有足之处；
老师又对合理样本中的所有学生进行了“阅读动机”的调研，并制作成了如下统计图.
问题2：通过统计图的信息你认为“阅读动机”
在“40%”的群体，暑期读几本书的可能性大，并说出你的理由.
【正确答案】见解析
【详解】分析：
（1）根据样本容量的大小和样本的代表性进行分析判断即可；
（2）根据每种阅读动机所占的比例计算出各自的人数，各种阅读动机可能的阅读本数进行分析即可.
详解：
（1）第三位同学的样本选取更合理，理由如下：
第三位同学的样本：是从初一全体学生中随机选取的20名学生，样本个体具有代表性，且样本容量与其他两位同学相比也合理；
位同学主要问题是：样本容量太小；
第二位同学虽然样本容量合适，但是样本中的个体没有具有代表性；
（2）由表中数据可得：
阅读动机属于A类的人数为：20×15%=3（人）；
阅读动机属于B类的人数为；20×25%=5（人）；
阅读动机属于C类的人数为：20×40%=8（人）；
阅读动机属于D类的人数为：20×20%=4（人）；
而属于A类的同学一般只会完成规定任务的最少数量：读2本书；
属于D类的同学一般会多读书，会完成规定任务的最多数量：读5本书；
属于B类的同学一般会完成任务或多一点：读2本书或3本书；
属于C类的同学一般会比任务多读一些书：读3本或4本书；
综上所述，阅读动机属于C类的同学读4本书的可能性.
点睛：读懂题意，清楚“抽取样本时，怎样才能使样本更合理和具有代表性”是解答本题的关键.
25. 如图，，在射线AN上取一点B，使，过点作于点C，点D是线段AB上的一个动点，E是BC边上一点，且,设AD=x cm，BE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
（1）取指定点作图.根据下面表格预填结果，先通过作图确定AD=2cm时，点E的位置，测量BE的长度．
①根据题意，答题卡上补全图形；
②把表格补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表：
2
3
2.9
3.4
3.3
2.6
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
③建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（2）画出的函数图象，解决问题：当时，的取值约为__________.
【正确答案】见解析
【详解】分析：
（1）①按题中要求借助于刻度尺和量角器规范的补全图形即可；②在所画图形中测量出BE的长度的近似值并填入表中的空格处即可；
（2）在方格纸中建立好平面直角坐标系，然后根据表中所给x与y的对应值描出相应的点，并将所描的点用“平滑的曲线”连接即可得到所求图象；
（3）由AD=BE可得y=x，由此可知所求的x的值是直线y=x与（2）中所画函数图象的交点的横坐标，故在（2）中建立的坐标系中画出直线y=x，即可由图象得到所求的x的值.
详解：
（1）①利用刻度尺、量角器在AN上截取AD=2cm，AB=6cm，过点B作BC⊥AM于点C，连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，补全图形如下图所示：
② 在①中所得图形中用刻度尺测量BE的长度得到BE的长度约为：3.5cm，将所得数据填入表格中补全表格如下：
2
3
2.9
3.4
3.5
3.3
2.6
1.6
0
③在方格纸中建立如下的坐标系，根据表格中的数据描点，连线，得到如下所示的y与x间的函数的图象（图中的黑色曲线）：
（3）由AD=BE可得y=x，
∴AD=BE时的x的取值是直线y=x与（1）中所画y与x的函数图象的交点的横坐标，
在（1）中所画的坐标系中画出直线y=x（如上图所示），由图可知直线y=x与（1）中所画的y与x的函数图象的交点的横坐标约为3.2，
∴当AD=BE时，x的取值约为3.2.
点睛：（1）能规范的利用作图工具画出准确的图形，并进行测量，熟悉描点法画函数图象的方法是正确解答第1小题的关键；（2）由AD=BE得到y=x，并由此知道求AD=BE时的x的值，就是求直线y=x与第1小题中所画函数图象的交点的横坐标是正确解答第2小题的关键.
26. 在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为．
（1）当该抛物线过原点时，求的值；
（2）坐标系内有一矩形OABC,其中、．
①直接写出C点坐标；
②如果抛物线与该矩形有2个交点，求的取值范围．
【正确答案】（1）m=0；（2）①（0，2）；②当或时，图象与矩形有2个交点．
【分析】（1）根据题意将原点的坐标（0，0）代入抛物线中，即可解得m的值；
（2）①由已知条件矩形的性质可得OC=AB=2，由此可得点C的坐标为（0，2）；
②由可知，抛物线的开口向上，顶点在x轴上；由此可知：当抛物线对称轴右侧的图象过点C时，抛物线与矩形只有1个交点，而当抛物线过原点是，抛物线和矩形有两个交点，即当抛物线对称轴右侧的图象过线段OC上的点（没有包括点C）时，抛物线与矩形有两个交点；同理当抛物线对称轴左侧的图象过线段AB上的点（没有包括点B）时，抛物线与矩形也有两个交点，这样已知条件即可求得对应的m的取值范围了．
【详解】解：（1）∵ 的图象过原点，
∴，
解得；
（2）①∵点A、B的坐标分别为（4，0）和（4，2），
∴AB=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
②由于，
∴该函数图象开口向上，顶点在x轴上，
如下图所示：当对称轴右侧的图象过点时图象与矩形有1个交点，
此时：，解得（舍去）或，
当抛物线过原点时，抛物线与矩形有2个交点，
此时：由（1）可得，
∴当，时图象与矩形有2个交点；
同理：当图象过点时解得，
当图象对称轴左侧部分过是，解得，
∴当时，抛物线与矩形也有两个交点；
综上所述，当或时，抛物线与矩形有2个交点．
解第2小题时需注意：要分抛物线对称轴右侧的图象和矩形OABC有两个交点和抛物线对称轴左侧的图象和矩形OABC有两个交点两种情况进行分析讨论，解题时没有要忽略了其中任何一种情况．
27. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.
（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；
（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.
【正确答案】（1）=（2）
【详解】分析：
（1）①按照题中要求补全图形即可；②如图1，连接AM，由已知条件易得MF是AE的垂直平分线，由此可得MA=ME，由四边形ABCD是正方形易得点A和点C关于BD对称，由此可得MA=MC，从而可得ME=MC，进而可得∠MEC=∠MCE；
（2）如图2，由已知易得∠MAD=∠MCD∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°，由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°，由此可得∠MAE+∠MEA=90°，从而可得∠AME=90°，点F是AE的中点可得MF=AE，在Rt△ABE中，BF=AE即可得到BF=MF.
详解：
（1）①按题要求补全图形如下图所示：
②∠MEC=∠MCE，理由如下：
如图1，连接AM，
∵点F是AE的中点，FM⊥AE，
∴MA=ME，
∵点A、点C是关于正方形ABCD对角线BD所在直线的对称点，
∴MA=MC，
∴ME=MC，
∴∠MEC=∠MCE；
（2）如图2，FB=FM，理由如下：
∵点M在正方形ABCD的对角线BD，
∴，
∴=，
∵=，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∴，
∵ 点F是AE的中点，
∴
∵ 在△ABE中，∠ABE=90°，点F是AE的中点，
∴ ，
∴ .
点睛：熟悉“正方形的对称性、线段垂直平分线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”是正确解答本题的关键.
28. 在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“”表示.
现请在以W（-3，0）为圆心，半径为2的⊙W圆上，根据以下条件解答所提问题：
（1）已知弦MN长度为2.
①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的的长度；
②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的的取值范围.
（2）已知点,点N为⊙W上的一动点，有直线，求到直线的的值.
【正确答案】（1）①；②；（2）d中的值为.
【详解】分析：
（1）①如图3，连接PW、OP、MW，由已知易得PW=，∠PWO=90°，OW=3，这样在Rt△PWO中由勾股定理即可求得此时点P到原点O的弦中距d中=；②由题意可知，当弦MN在⊙W上运动时，点P的运动路线是以点W为圆心，PW为半径的圆，如图4，画出对应的图形，由图PW=，即可得到此时点P到原点O的弦中距d中的取值范围了；
（2）由题意易得当点N在⊙W上运动时，点P在以D为圆心，WM为直径的圆上运动，由此画出符合题意的图形如图5，作直线l平行于直线y=x-2，则由图可知，当直线l与⊙D相切，且弦中距d中过圆心D时，点P到直线l的弦中距d中，则此时点P到直线y=x-2的弦中距也，这样已知条件进行计算即可求得所求的值了.
详解：
（1）①如图3，连接PW、OP、MW，
∵点P是MN的中点，MN=2，
∴PW⊥MN，MP=1，
∵MN∥x轴，
∴PW⊥x轴，
∴∠PWO=90°，
∵OW=3，
∴在Rt△PWO中，PO=，
∴此时点P到原点O的弦中距：d中=；
②由题意可知，当弦MN在⊙W上运动时，点P的运动路线是以点W为圆心，PW为半径的圆，如图4，
∵PW=，OW=3，
∴此时点P到原点O弦中距d中的取值范围为：
（2）如图5，∵P是弦MN的中点，
∴WP⊥MN，
∴当点N在⊙W上运动时，点P在以D为圆心，WM为直径的圆上运动，
∵W的坐标为（-3，0），点M的坐标为（-5，0），
∴点D的坐标为（-4，0），
作直线l平行于直线y=x-2，则当点P到直线l的弦中距时，点P到直线y=x-2的弦中距就，
由图可知，当直线l与⊙D相切，且弦中距d中过圆心D时，点P到直线l的弦中距d中，
设直线y=x-2与x轴交于点E，过点D作直线y=x-2的垂线交直线于点F，
∵直线y=x-2与x轴相交形成的锐角为45°，点E的坐标为（2，0），
∴DE=6，
∴DF=DE·sin45°=，即此时直线l到直线y=x-2的距离为，
∴点P到直线y=x-2的距离为：，即d中的值为.
点睛：读懂题意，分析出两个小题中点P的运动路线，并由此画出相应的图形是正确解答本题的关键.
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x≥1 C. x≠1 D. x≠0
2. 如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（ ）
A. GH B. EF C. CD D. AB
3. 2018年4月18日，被“中国天眼”的望远镜发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4. 下列图形能折叠成三棱柱的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，直线点，，°，°，则等于( )
A. ° B. ° C. ° D. °
6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ）
A. B. C. D.
7. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. “单词的记忆效率“是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中小华，小红小刚和小强四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ）
A. 小华 B. 小红 C. 小刚 D. 小强
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
10. 如图，是⊙的直径，是⊙上一点，，，则图中阴影部分的面积为__________．
11. 如果，那么代数式的值是__________．
12. 如图，四边形与四边形是以为位似的位似图形，满足，，，分别是，，的中点，则__________．
13. 2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威•太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威•太湖之光”浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威•太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为__________．
14. 袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看没有到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
15. 下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：以为斜边的一个等腰直角三角形．
作法：如图，
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，的长为半径作圆，交直线于点；
（4）连接，．
则即为所求作三角形．
请回答：在上面作图过程中，①是直角三角形的依据是________；②是等腰三角形的依据是__________．
16. 在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是____________.
三、解 答 题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题6分；第27～28小题，每小题7分）
17. 计算：．
18. 解没有等式，并把解集在数轴上表示出来.
19. 如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，AD=3，E 为 AB 上一点，AE=4，ED=5，求 CD的长.
20. 关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个的值，使方程的两个根中只有一个根小于.
21. 如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.
（1）求的值；
（2）若，求证：四边形是矩形.
22. 已知直线过点，且与函数的图象相交于两点，与轴、轴分别交于点，如图所示，四边形均为矩形，且矩形的面积为.
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求直线的解析式及线段的长；
（3）如图是小芳同学对线段的长度关系的思考示意图.记点的横坐标为，已知当时，线段的长随的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当时，线段的长随的增大而 . （填“增大”、“减小”或“没有变”）
23. 如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点.
（1）连接，则= ；
（2）求证：与相切；
（3）点在上，，交于点.若，求的长.
24. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图.
（1）根据折线图把下列表格补充完整；
运动员
平均数
中位数
众数
甲
8.5
9
乙
8.5
（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由.
25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目
收费标准
3公里以内收费
13元
基本单价
2.3元/公里
……
……
备注：出租车计价段里程到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元）.
（1）下表是y随x的变化情况
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
…
（2）在平面直角坐标系中，画出当时随变化的函数图象；
（3）运营行驶公里（）的平均单价记为（单位：元/公里），其中.
①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若运营行驶公里的平均单价没有大于行驶任意（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中轴上表示出（没有包括端点）之间的幸运里程数的取值范围.
26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，其中，以点为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，如图所示.
（1）若，则点的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点，使得点在同一条抛物线上？若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由.
27. 如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于.
（1）连接，则之间的数量关系是 ；
（2）若，求的大小（用的式子表示）
（3）用等式表示线段和之间数量关系，并证明.
28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．
（1）写出函数的限减系数；
（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．
（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持没有变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x≥1 C. x≠1 D. x≠0
【正确答案】C
【分析】根据分式有意义的条件，列出没有等式，求解即可.
【详解】根据分式有意义的条件可知：
解得：
故选C.
考查分式有意义的条件：分母没有为零.
2. 如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（ ）
A. GH B. EF C. CD D. AB
【正确答案】A
【详解】分析:根据垂径定理可知，圆心到弦距离是最长的，弦的长度反而是最短的.
详解：根据垂径定理可知，圆心到弦的距离是最长的，弦的长度反而是最短的.
故选A.
点睛：考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
3. 2018年4月18日，被“中国天眼”的望远镜发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00519＝5.19×10−3，
故选：B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列图形能折叠成三棱柱的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】分析: 根据三棱柱的特点可得三棱柱是由两个三角形，三个矩形围成．
详解：A 可以折叠成三棱柱，故此选项正确；
B. 可以折叠成三棱锥，故此选项错误；
C. 可以折叠成四棱锥，故此选项错误；
D.没有能折叠成几何体，故此选项错误；
故选A.
点睛：考查展开图折叠成几何体，关键是掌握三棱柱的特点.
5. 如图，直线点，，°，°，则等于( )
A. ° B. ° C. ° D. °
【正确答案】C
【详解】分析: 利用三角形的内角和定理求出∠C，再根据两直线平行，内错角相等可得
详解：∵°，°，
∴
∵DE∥BC，
∴
故选C.
点睛：考查平行线的性质以及三角形的内角和，掌握平行线的性质是解题的关键.
6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，
tan∠ABC=，
∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=．
故选D．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
7. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先根据数轴判定的范围，再进行判断即可．
【详解】由图可知： 又，
或
A．与0无法进行比较.故错误，没有符合题意．
B．,无法判断，故错误，没有符合题意．
C．正确，符合题意．
D．没有一定，故错误，没有符合题意．
故选C．
8. “单词的记忆效率“是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中小华，小红小刚和小强四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ）
A. 小华 B. 小红 C. 小刚 D. 小强
【正确答案】C
【分析】根据小华，小红，小刚和小强四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况的图表，回答问题即可．
【详解】解：由图可得：小华同学的单词的记忆效率，但复习个数最少，小强同学的复习个数最多，但记忆效率，小红和小刚两位同学的记忆效率基本相同，但是小刚同学复习个数较多，所以这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是小刚．
故选C．
本题考查函数的图象，正确理解题目的意思是解题的关键．
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
【正确答案】3（a+1）2
【分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解.
【详解】3a2＋6a＋3＝．
故答案为．
考点：分解因式．
10. 如图，是⊙的直径，是⊙上一点，，，则图中阴影部分的面积为__________．
【正确答案】6π
【详解】分析:根据扇形的面积公式进行计算即可.
详解：
阴影部分的面积为:
故答案为
点睛：考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
11. 如果，那么代数式的值是__________．
【正确答案】4
【详解】分析:根据分式混合运算的步骤对所求代数式进行化简，再把代入进行运算即可.
详解：原式
把代入，
故答案为4.
点睛：考查分式混合运算，掌握运算法则是解题的关键.
12. 如图，四边形与四边形是以为位似的位似图形，满足，，，分别是，，的中点，则__________．
【正确答案】
【详解】分析:根据位似图形的性质进行回答即可.
详解：四边形与四边形是以为位似的位似图形，
，，分别是，，的中点，
故答案为
点睛：考查位似图形的性质，位似图形的对应边之比等于位似比.
13. 2017年全球超级计算机500强名单公布，中国超级计算机“神威•太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威•太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍．这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算，“神威•太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，依题意，可列方程为__________．
【正确答案】
【分析】根据“天河二号的运算时间-神威•太湖之光的运算时间=18.75秒”可列方程．
【详解】解：设“天河二号”的浮点运算速度为x亿亿次/秒，则“神威•太湖之光”的浮点运算速度为2.74x亿亿次/秒，
根据题意，得：，
故．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
14. 袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看没有到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
【正确答案】4
【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
【详解】解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，
∴摸到红球的频率=，
∵袋子中共有20个小球，
∴这个袋中红球约有个，
故答案为4．
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：以为斜边的一个等腰直角三角形．
作法：如图，
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，的长为半径作圆，交直线于点；
（4）连接，．
则即为所求作的三角形．
请回答：在上面的作图过程中，①是直角三角形的依据是________；②是等腰三角形的依据是__________．
【正确答案】 ①. 直径所对的圆周角为直角 ②. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【详解】分析:首先作了线段AB的垂直平分线PQ,直角三角形外接圆的圆心就在斜边的中点处，接下来以为圆心，的长为半径作圆，交直线于点；是直径所对的圆周角，则同时点在线段的垂直平分弦上，则即为所求.
详解：在上面的作图过程中，①是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角,
②是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
故答案为 (1). 直径所对的圆周角为直角； (2). 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
点睛：考查了圆周角定理以及线段垂直平分弦的作法以及性质，比较综合.
16. 在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是____________.
【正确答案】
【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=-2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
【详解】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=-2交于C，D两点，则点A（-2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，
∴m的取值范围是2.5≤m≤3，
故2.5≤m≤3．
本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要旋转的角度和图形的性质来求出旋转后的点的坐标．
三、解 答 题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题6分；第27～28小题，每小题7分）
17. 计算：．
【正确答案】
【详解】分析: 按照实数的运算顺序进行运算即可.
详解：原式=
=.
点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
18. 解没有等式，并把解集在数轴上表示出来.
【正确答案】
【详解】分析:去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出没有等式的解集，再把解集在数轴上表示即可.
详解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项，合并得 .
系数化为1，得 .
没有等式的解集在数轴上表示如下：
点睛：考查解一元没有等式，掌握运算步骤是解题的关键.
19. 如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，AD=3，E 为 AB 上一点，AE=4，ED=5，求 CD的长.
【正确答案】CD=3.
【详解】分析:根据勾股定理的逆定理证明.根据角平分线的性质即可求的长．
详解：∵，，，
∴.
∴.
∴.
∵.
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴.
点睛：考查勾股定理的逆定理以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
20. 关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个的值，使方程的两个根中只有一个根小于.
【正确答案】（1）证明见解析（2）m=4
【详解】分析: （1）证明根的判别式即可.
求出方程的两根分别为：3，，写出满足题意的的值即可.
详解：（1）证明：依题意，得.
∵，
∴方程总有实数根.
(2) ∵原方程有两个实数根3，，
∴取，可使原方程的两个根中只有一个根小于.
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个没有相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
21. 如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.
（1）求的值；
（2）若，求证：四边形是矩形.
【正确答案】（1） （2）证明见解析
【详解】分析: （1）根据AB∥CD，得到∠ABE=∠EDC.证明△ABE∽△FDE.得到.进一步说明AB=DF.再证明△ABG∽△CDG，.
根据AB∥CF，AB=CF，证明四边形ABCF是平行四边形. 证明∠CFA=90°.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明..
详解：（1）∵ AB∥CD，
∴ ∠ABE=∠EDC.
∵ ∠BEA=∠DEF，
∴ △ABE∽△FDE.
∴ .
∵ E是BD的中点，
∴ BE=DE.
∴ AB=DF.
∵ F是CD的中点，
∴ CF=FD.
∴ CD=2AB.
∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，
∴ △ABG∽△CDG.
∴ .
（2）证明：∵ AB∥CF，AB=CF，
∴ 四边形ABCF是平行四边形.
∵ CE=BE，BE=DE，
∴ CE=ED.
∵ CF=FD，
∴ EF垂直平分CD.
∴ ∠CFA=90°.
∴ 四边形是矩形.
点睛：属于综合题，考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定等，综合性比较强，难度适中．
22. 已知直线过点，且与函数的图象相交于两点，与轴、轴分别交于点，如图所示，四边形均为矩形，且矩形的面积为.
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求直线的解析式及线段的长；
（3）如图是小芳同学对线段的长度关系的思考示意图.记点的横坐标为，已知当时，线段的长随的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当时，线段的长随的增大而 . （填“增大”、“减小”或“没有变”）
【正确答案】（1）3（2） （3）增大
【详解】分析: （1）设点B的坐标为（x，y），由题意得：，.根据矩形OMBF的面积为3，即可求出.
（2）点B的横坐标为3，点B在双曲线上，点B的坐标为（3，1），用待定系数法即可求出直线的解析式，直线l与x轴交于点C（4，0），根据勾股定理即可求出线段的长；
画出示意图即可判断.
详解：（1）设点B的坐标为（x，y），由题意得：，.
∵ 矩形OMBF的面积为3，
∴ .
∵ B在双曲线上，
∴ .
（2）∵ 点B的横坐标为3，点B在双曲线上，
∴ 点B的坐标为（3，1）.
设直线l的解析式为.
∵ 直线l过点，B（3，1），
∴ 解得
∴ 直线l的解析式为.
∵ 直线l与x轴交于点C（4，0），
∴ .
（3） 增大
点睛：属于反比例函数和函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义等，熟练掌握它们的图象与性质是解题的关键.
23. 如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点.
（1）连接，则= ；
（2）求证：与相切；
（3）点在上，，交于点.若，求的长.
【正确答案】（1）60（2）证明见解析（3）
【详解】分析:连接 根据 即可求出
连接，证明.得到.进而证明∥.根据平行线的性质得到.即可证明与相切；
连接，，根据于，.求出.
.根据圆周角定理求出，根据即可求出的长.
详解：（1） 60 ；
（2）连接，
∵，是的直径，
∴.
∵是的中点，
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴∥.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴与⊙相切．
（3）连接，，
∵于，
∴是中点.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
由（1）可知.
∴.
在中，，，，
∴.
在中，，，，
∴.
由（1）知，
∴.
在中，，，，
∴．
点睛：考查垂径定理的性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定等，综合形比较强，对学生综合能力要求较高.
24. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图.
（1）根据折线图把下列表格补充完整；
运动员
平均数
中位数
众数
甲
8.5
9
乙
8.5
（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由.
【正确答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】分析: （1）把数据从小到大排列，根据中位数和众数的概念求解即可.
（2）答案没有，言之有理即可.
详解：（1）补充表格：
运动员
平均数
中位数
众数
甲
8.5
9
9
乙
8.5
8.5
7和10
（2）答案没有，可参考的答案如下：
甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出9环及以上的次数更多，打出7环的次数较少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；
乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出10环次数和7环次数都比甲多，说明乙射击时起伏更大，但也更容易打出10环的成绩.
点睛：考查折线统计图，平均数，中位数以及众数，看懂折线统计图是解题的关键.
25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目
收费标准
3公里以内收费
13元
基本单价
2.3元/公里
……
……
备注：出租车计价段里程到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元）.
（1）下表是y随x的变化情况
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
…
（2）在平面直角坐标系中，画出当时随变化的函数图象；
（3）运营行驶公里（）的平均单价记为（单位：元/公里），其中.
①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是____________；（用“＜”连接）
②若运营行驶公里的平均单价没有大于行驶任意（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中轴上表示出（没有包括端点）之间的幸运里程数的取值范围.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）① ；②见解析
【分析】（1）根据计费标准完成表格即可.
（2）根据（1）中的表格画出图象即可.
（3）①根据把x=3，3.4和3.5分别代入计算w1，w2，w3的值，并作比较；
②根据幸运里程数的概念进行回答即可.
【详解】解：（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元．且计费以元为单位得出
行驶里程数x
0
0＜x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x＜4.5
4.5≤x＜5
5≤x＜5.5
…
实付车费y
0
13
14
15
17
18
…
（2）如图所示：
（3）①当x=3时，，
当x=3.4时，，
当x=3.5时，
则 ；
②轴上表示出（没有包括端点）之间的幸运里程数的取值范围如上图所示.
属于新定义问题，考查函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，其中，以点为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，如图所示.
（1）若，则点的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；
（2）是否存在点，使得点在同一条抛物线上？若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由.
【正确答案】（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）（2）没有存在
【详解】分析: （1）根据平行四边形对边相等的性质即可得到点的坐标.
（2）没有存在. 假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）. 而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.根据为抛物线的顶点.设出抛物线的方程，把点B的坐标代入得.把点的坐标代入得到，与矛盾. 所以没有存在满足条件的C点.
详解：（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）
（2）没有存在. 理由如下：
假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.
由题意得：（-4，n），（0，n），（-2，）.
注意到在抛物线的对称轴上，故为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是.
当时，，代入得.
所以.
令，得，解得，与矛盾.
所以没有存在满足条件的C点.
点睛：考查平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，此题综合性较强，难度较大，注意数形思想的应用．
27. 如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于.
（1）连接，则之间的数量关系是 ；
（2）若，求的大小（用的式子表示）
（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明.
【正确答案】（1）；（2）（3）．
【分析】（1）连接，，易证是等边三角形，则根据点与点关于对称，则根据等量代换可知；
（2）根据，求出.因为点与点关于对称，得到，.则.，，在以为圆心，为半径的圆上.根据圆周角定理有.
（3）.理由如下：连接，延长，交于点，证明，
得到.根据，即可得到.
【详解】（1）连接DE,DF
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵CE=CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=DC，
∵点C与点F关于BD对称，
∴DF=DC，
∴DF=DE，
故答案为DE=DF；
（2）如图：
∵是等边三角形，
∴.
∵，
∴.
∵点与点关于对称，
∴，.
∴.
由（1）知.
∴，，在以为圆心，为半径的圆上.
∴.
（3）.理由如下：
连接，延长，交于点，
∵是等边三角形，
∴，.
∵点与点关于对称，
∴，.
∴.
∴.
设，
则.
∴.
∴.
∴.
由（2）知.
∴.
∴，.
四边形中，.
∴.
∴是等边三角形.
∴，.
∵，
∴.
在与中，
∴.
∴.
∵，
∴．
本题属于综合题，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等, 题目比较典型，综合性比较强，难度较大．
28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．
（1）写出函数的限减系数；
（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．
（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持没有变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．
【正确答案】（1）2；（2）（3）
【分析】根据题目中限减函数以及限减系数的定义分析即可.
若，则，和是函数图象上两点，，与函数的限减系数没有符，接下来分和两种情况进行讨论即可.
首先写出翻折后新函数的函数解析式，根据限减函数的定义进行判定即可.
【详解】解：（1）函数的限减系数是2；
（2）若，则，和是函数图象上两点，，与函数的限减系数没有符，∴．
若，和是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，
∵，且，
∴，与函数限减系数没有符.
∴．
若，和是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，
∵，且，
∴，当时，等号成立，故函数的限减系数．
∴取值范围是．
（3）设P（n，−n2），则翻折后的抛物线的解析式为y＝x2−2n2，
对于抛物线y＝−x2，（m−1，−（m−1）2），（m，−m2）是抛物线图象上两点，
由题意：−m2＋m2−2m＋1≥−1，解得m≤1，
对于抛物线y＝x2−2n2，（m，m2−2n2），（m＋1，（m＋1）2−2n2）是抛物线图象上两点，
由题意：（m＋1）2−2n2−（m2−2n2）≥−1，
解得m≥−1，
∴满足条件的P点横坐标n的取值范围：−1≤n≤1．
属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键.
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 在2018政府工作报告中，多次提及大数据、人工智能等关键词，数年的爆发式发展，我国人工智能在2017年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能核心产业规模超1500亿元，将150000000000用科学记数法表示应为
A. 1.5×102 B. 1.5×1010 C. 1.5×1011 D. 1.5×1012
2. 如果代数式的结果是负数，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠﹣1 D. x＜2且x≠﹣1
3. 下列各式计算正确是（）
A. B. C. D.
4. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为（）
A. B. C. D.
5. 如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）
A. B. C. D.
6. 数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（ ）
A. 点A的左侧 B. 点A点B之间
C. 点B点C之间 D. 点C的右侧
7. 如图，已知点A，B，C，D是边长为1的正方形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，以下的树状图是所有可能发生的结果，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为1的线段的概率为（）
A. B. C. D.
8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，如图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说没有合理的是（ ）
A. 出发后最快选手与最慢的选手相遇了两次
B. 出发后最快的选手与最慢的选手次相遇比第二次相遇的用时短
C. 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑
D. 跑的最慢的选手用时4′46″
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 两个三角形相似，相似比是 ,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是________.
10. 写出一个没有过原点，且y随x的增大而增大的函数_________.
11. 如果3a2＋4a－1＝0，那么(2a＋1)2－(a－2)(a＋2)结果是______．
12. 某生产商生产了一批节能灯，共计10000个，为了测试节能灯的使用寿命（使用寿命大于等于6000小时为合格产品），从中随机挑选了100个产品进行测试，有5个没有合格产品，预计这批节能灯有_________个没有合格产品.
13. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．
14. 某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为_____________________.
15. 如图：已知，对应的坐标如下，请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识若干次图形变化，使得点A与点E重合、点B与点D重合，写出一种变化的过程_____．
16. 以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
步：如图，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；
第二步：点E在线段MD上，将△ECD沿EC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP可得△BCP是等边三角形
问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC；依据________________________.
三、解 答 题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解没有等式组：
19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.
求证： AE=BE.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数与反比例函数（k≠0）的图象相交于点 .
（1）求k的值；
（2）点是y轴上一点，过点P且平行于x轴的直线分别与函数、反比例函数的图象相交于点、，当时，画出示意图并直接写出a的取值范围.
21. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
22. 已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式．
23. 如图，BC为⊙O的直径，CA是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接CD,∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若BD=DC，求的值．
24. 在“朗读者”节目的影响下，某中学在暑期开展了“好书伴我成长”读书，并要求读书要细读，最少要读完2本书，最多没有建议超过5本．初一年级5个班，共200名学生，李老师为了了解学生暑期在家的读书情况，给全班同学布置了一项作业：了解初一年级学生暑期读书情况.班中三位同学各自对初一年级读书情况进行了抽样，并将数据进行了整理，绘制的统计图表分别为表1、表2、表3.
表1：在初一年级随机选择5名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
1
1
1
表2：在初一年级“诵读班”班随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
0
1
4
15
表3：在初一年级随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
8
6
4
问题1：根据以上材料回答：三名同学中，哪一位同学的样本选取更合理，并简要说明其他两位同学选取样本的没有足之处；
老师又对合理样本中的所有学生进行了“阅读动机”的调研，并制作成了如下统计图.
问题2：通过统计图的信息你认为“阅读动机”
在“40%”的群体，暑期读几本书的可能性大，并说出你的理由.
25. 如图，，在射线AN上取一点B，使，过点作于点C，点D是线段AB上的一个动点，E是BC边上一点，且,设AD=x cm，BE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
（1）取指定点作图.根据下面表格预填结果，先通过作图确定AD=2cm时，点E的位置，测量BE的长度．
①根据题意，在答题卡上补全图形；
②把表格补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表：
2
3
2.9
3.4
3.3
2.6
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
③建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（2）画出的函数图象，解决问题：当时，的取值约为__________.
26. 在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为．
（1）当该抛物线过原点时，求的值；
（2）坐标系内有一矩形OABC其中、．
①直接写出C点坐标；
②如果抛物线与该矩形有2个交点，求的取值范围．
27. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.
（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；
（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.
28. 在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“”表示.
现请在以W（-3，0）为圆心，半径为2的⊙W圆上，根据以下条件解答所提问题：
（1）已知弦MN长度为2.
①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的的长度；
②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的的取值范围.
（2）已知点,点N为⊙W上的一动点，有直线，求到直线的的值.
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项突破仿真模拟试题
（5月）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 在2018政府工作报告中，多次提及大数据、人工智能等关键词，数年的爆发式发展，我国人工智能在2017年迎来发展的“应用元年”，预计2020年中国人工智能核心产业规模超1500亿元，将150000000000用科学记数法表示应为
A. 1.5×102 B. 1.5×1010 C. 1.5×1011 D. 1.5×1012
【正确答案】C
【详解】分析：
按照科学记数法的定义进行解答即可.
详解：
.
故选C.
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
2. 如果代数式的结果是负数，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠﹣1 D. x＜2且x≠﹣1
【正确答案】B
【详解】分析：
根据使分式值为负数的条件进行分析解答即可.
详解：
∵无论取何值，代数式的值都大于0，
∴要使代数式的值为负数，需满足：，
解得.
故选B.
点睛：本题解题需注意两点：（1）代数式的值恒为正数；（2）要使分式的值为负数，需满足分子和分母的值一个为正数，另一个为负数.
3. 下列各式计算正确的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因为中两个项没有是同类项，没有能合并，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算正确；
D选项中，因为，所以D中计算错误.
故选C.
点睛：熟记“整式的相关运算法则”，是正确解答本题的关键.
4. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：
如下图，由已知条件易得∠AOC=120°，∠BOC=108°，由此可得∠AOB=132°，再AO=BO即可得到∠ABO=∠BAO=(180°-132°)÷2=24°.
详解：
∵下图中的两个正多边形是边长相等的正六边形和正五边形，
∴∠AOC=180°-（360°÷6）=120°，∠BOC=180°-（360°÷5）=108°，
∴∠AOB=360°-120°-108°=132°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=（180°-132°）÷2=24°.
故选A.
点睛：熟记“正多边形的每个内角相等、多边形的外角和为360°及等腰三角形的性质”是正确解答本题的关键.
5. 如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据展开图中四个面上的图案各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可.
【详解】A. 因为A选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点没有在阴影三角形的边上,与展开图没有一致,故没有可能是A:
B. 因为B选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点没有在阴影三角形的边上，与展开图没有一致,故没有可能是B ;
C .因为C选项中的几何体能够看见的三个面上都没有阴影图家,而展开图中有四个面上有阴影图室，所以没有可能是C.
D. 因为D选项中的几何体展开后有可能得到如图所示的展开图,所以可能是D ;
故选D.
本题考查了学生的空间想象能力, 解决本题的关键突破口是掌握正方体的展开图特征.
6. 数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（ ）
A. 点A的左侧 B. 点A点B之间
C. 点B点C之间 D. 点C的右侧
【正确答案】C
详解】分析：
根据题中所给条件A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.
详解：
A选项中，若原点在点A的左侧，则，这与已知没有符，故没有能选A；
B选项中，若原点A、B之间，则b>0，c>0，这与b·c<0没有符，故没有能选B；
C选项中，若原点在B、C之间，则且b·c<0，与已知条件一致，故可以选C；
D选项中，若原点在点C右侧，则b<0，c<0，这与b·c<0没有符，故没有能选D.
故选C.
点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0，原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的点所表示的数的值越大”是正确解答本题的关键.
7. 如图，已知点A，B，C，D是边长为1的正方形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，以下的树状图是所有可能发生的结果，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为1的线段的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：
由题意可知，共有6种等可能结果，其中所得线段长度为1的有4中，由此即可求得所求概率为.
详解：
∵A、B、C、D四点是边长为1的正方形的四个顶点，
∴AB=BC=CD=DA=1，AC=BD=，
∴由题意可得：共有6种等可能结果，其中所得线段长度为1的有4种，
∴P（取得的线段长度为1）=.
故选D.
点睛：由题意知道共有6条线段，且其中有四条线段长度为1是解答本题的关键.
8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，如图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说没有合理的是（ ）
A. 出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次
B. 出发后最快的选手与最慢的选手次相遇比第二次相遇的用时短
C. 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑
D. 跑的最慢的选手用时4′46″
【正确答案】D
【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由图象可得，
出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次，故选项A正确，
出发后最快的选手与最慢的选手次相遇比第二次相遇的用时短，故选项B正确，
最快的选手到达终点时，最慢的选手还有2×200＋15＝415米未跑，故选项C正确，
跑的最快的选手用时4′46″，故选项D错误，
故选D．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形的思想解答．
错因分析 中等题.失分原因：没有弄清x、y所表示的含义，未明确函数图象所表示的情境.
二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）
9. 两个三角形相似，相似比是 ,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是________.
【正确答案】36
【详解】分析：
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
详解：
设较大三角形的面积为x，则由题意可得：
，解得.
故36.
点睛：熟记：相似三角形的性质：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键.
10. 写出一个没有过原点，且y随x的增大而增大的函数_________.
【正确答案】答案没有，如：
【详解】分析：
所学过的函数的图象和性质任写一个符合要求的函数即可.
详解：
由题意可知，这样的函数有很多，如：
函数.
故本题答案没有，如.
点睛：熟悉所学过的函数的图象特征和性质是正确解答本题的关键.
11. 如果3a2＋4a－1＝0，那么(2a＋1)2－(a－2)(a＋2)的结果是______．
【正确答案】6
【详解】分析：
先由可得，然后将式子化简整理，再代值计算即可.
详解：
∵，
∴，
∴
=
=
=
=.
故6.
点睛：熟悉“完全平方公式和平方差公式”，并能由此把化简整理为是正确解答本题的关键.
12. 某生产商生产了一批节能灯，共计10000个，为了测试节能灯的使用寿命（使用寿命大于等于6000小时为合格产品），从中随机挑选了100个产品进行测试，有5个没有合格产品，预计这批节能灯有_________个没有合格产品.
【正确答案】500
【详解】分析：
由题意可得：样本的没有合格率为：5%，由此即可估计这批节能灯的没有合格数量为：10000×5%=500.
详解：
∵抽查的100个产品中，没有合格的有5个，
∴没有合格率为：5%，
∴这10000个节能灯中没有合格产品约有：10000×5%=500（个）.
故答案为500.
点睛：理解样本合格率和总体合格率间的关系，并能由已知条件得到样本的合格率为5%是正确解答本题的关键.
13. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．
【正确答案】5
【详解】分析：
由⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8可得BE=4，设OB=x，则由CE=2可得OE=x-2，由此在Rt△OBE中由勾股定理建立方程解得x的值，即可得到OB的长.
详解：
∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8，
∴BE=4，∠OEB=90°，
设OB=x，则OC=x，
∵CE=2，
∴OE=x-2，
∵在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，
∴，解得：，
∴OB=5.
故5.
点睛：由“垂径定理”得到BE=4，并由此由勾股定理在在Rt△OBE中建立其“以OB长度为未知数的方程”是正确解答本题的关键.
14. 某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为_____________________.
【正确答案】
【分析】由题意可得购买西《西游记》共花费了80x元，购买《三国演义》共花费100（x+16）元，然后根据：购买《西游记》花费的钱+购买《三国演义》花费的钱=12000即可列出对应的方程了.
【详解】设《西游记》每套x元，根据题意可得：
100（x+16）+80x=12000.
故100（x+16）+80x=12000.
本题考查了一元方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
15. 如图：已知，对应的坐标如下，请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识若干次图形变化，使得点A与点E重合、点B与点D重合，写出一种变化的过程_____．
【正确答案】答案没有（例：先将△ABC以点B为旋转顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位即可）．
【分析】根据“平移”、“轴对称”和“旋转”的性质进行分析解答即可．
【详解】解：根据题意，可按下列方式变换使点A与点E重合，点B与点D重合：
（1）先将△ABC以点B为旋转顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位，并向下平移2个单位即可；
（2）先将△ABC向右平移2个单位，再向下平移2个单位，然后将所得△ABC绕点B顺时针旋转90°即可；
……
故本题答案没有，如：先将△ABC以点B为旋转顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位即可．
本题考查熟悉“平移”、“轴对称”和“旋转”这三种图形变换的性质，并认真观察所给图形的位置特征，是正确解答这类题的关键．
16. 以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
步：如图，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；
第二步：点E在线段MD上，将△ECD沿EC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP可得△BCP是等边三角形
问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC；依据是________________________.
【正确答案】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【详解】分析：
根据折叠的性质进行分析解答即可.
详解：
∵将正方形ABCD对折，折痕为MN，
∴MN垂直平分BC，
∵点P在MN上，
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
点睛：熟悉：折叠的性质：“把图形沿着某条直线对折后，对应点的连线被折痕垂直平分”和线段垂直平分线的性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是正确解答本题的关键.
三、解 答 题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【正确答案】3 .
【详解】分析：
代入30°角的余弦函数值，“负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和值的意义”进行计算即可.
详解：
原式
.
点睛：熟记：“角的三角函数值”、“零指数幂的意义：”和“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
18. 解没有等式组：
【正确答案】≤x＜6
【详解】分析：
按解一元没有等式组的一般步骤解答即可.
详解：
解没有等式得，，
解没有等式得，，
∴原没有等式组的解集是：．
点睛：掌握“解一元没有等式组的方法”是解答本题的关键.
19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.
求证： AE=BE.
【正确答案】见解析
【分析】由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，∠CAB=∠BDE可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE⊥AB，再由∠DAB=∠B证得AD=BD即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.
【详解】证明：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CAB=∠BDE，
∴∠BDE +∠B=90°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥AB，
∵∠DAB=∠B，
∴DA=DB，
∴AE=BE.
由∠CAB=∠BDE∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE⊥AB是解答本题的关键.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数与反比例函数（k≠0）的图象相交于点 .
（1）求k的值；
（2）点是y轴上一点，过点P且平行于x轴的直线分别与函数、反比例函数的图象相交于点、，当时，画出示意图并直接写出a的取值范围.
【正确答案】（1）4（2）或
【详解】分析：
（1）将点M（2，2）代入反比例函数的解析式中即可求得k的值；
（2）由题意可知，过P点所作的直线与直线y=x的交点需在与反比例函数的交点的左侧，由此画出对应的图象即可求得a的取值范围.
详解：
（1）∵过点M（2，2），
∴k=2×2=4；
（2）由题意可知，过P点所作的直线与直线y=x的交点需在与反比例函数的交点的左侧，由此作出如下图形：
由图可知：a的取值范围为：或.
点睛：解第2小题时需注意：直线y=x和反比例函数的图象都是关于原点对称的，因此它们的交点也是关于原点对称的，由此可知所求的取值范围需分如图所示的两段分析讨论，没有要忽略了其中任何一段.
21. 如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF的值，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM的值，进而得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．
试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE= BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= =，即D，F两点间的距离为．
点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．
22. 已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式．
【正确答案】（1）证明见解析（2）y=a-4
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析证明即可；
（2）根据（1）中所得结果一元二次方程的求根公式求出x1和x2，代入y=ax2-2x1即可得到所求函数关系式．
【详解】解：（1）∵在关于x的一元二次方程：中：
∴ 原方程有两个没有相等的实数根．
（2）∵由（1）可得：△=4，
∴由一元二次方程的求根公式可得：．
∴ 或，
∵，
∴ ， ，
∴ ，
即所求函数关系式为.
解答本题有两个要点：（1）熟记“一元二次方程的求根公式：在一元二次方程中，当△=时，方程的根为：”；（2）由得到，由此得到， .
23. 如图，BC为⊙O的直径，CA是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接CD,∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若BD=DC，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）如下图，由已知易得∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，由此可得∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°∠1=∠2，可得∠3=∠5，∠3=∠4可得∠4=∠5，从而可得CE=CF；
（2）由（1）中所得∠1=∠2，∠3=∠5可得△ADF∽△ACE，由此可得 由BD=DC，∠BDC=90°可得tan∠ABC=，再证∠ACD=∠ABC即可得到tan∠ACD=，这样在Rt△ACD中，可得sin∠ACD=，由此即可得到.
【详解】（1）∵BC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90° ，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4
∴∠4=∠5，
∴ CF=CE ；
（2）由（1）可知∠1=∠2，∠3=∠5，
∴△ADF∽△ACE，
∴，
∵BD=DC，∠BDC=90°，
∴tan∠ABC=，
∵∠ABC+∠BAC=90°, ∠ACD+∠BAC=90°
∴∠ACD=∠ABC，
∴tan∠ACD=，
∴sin∠ACD=，
∴.
（1）解第1小题时，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到∠ADC=∠ACE=90°从而得到∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°，并由∠1=∠2得到∠3=∠5是解答本小题的关键；（2）解第2小题时，由已知条件证得tan∠ABC= ，证∠ACD=∠ABC得到tan∠ACD= ，进而得到sin∠ACD=是解答本小题的关键.
24. 在“朗读者”节目的影响下，某中学在暑期开展了“好书伴我成长”读书，并要求读书要细读，最少要读完2本书，最多没有建议超过5本．初一年级5个班，共200名学生，李老师为了了解学生暑期在家的读书情况，给全班同学布置了一项作业：了解初一年级学生暑期读书情况.班中三位同学各自对初一年级读书情况进行了抽样，并将数据进行了整理，绘制的统计图表分别为表1、表2、表3.
表1：在初一年级随机选择5名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
1
1
1
表2：在初一年级“诵读班”班随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
0
1
4
15
表3：在初一年级随机选取20名学生暑期读书情况的统计表
阅读书数量（本）
2
3
4
5
人数
2
8
6
4
问题1：根据以上材料回答：三名同学中，哪一位同学的样本选取更合理，并简要说明其他两位同学选取样本的没有足之处；
老师又对合理样本中的所有学生进行了“阅读动机”的调研，并制作成了如下统计图.
问题2：通过统计图的信息你认为“阅读动机”
在“40%”的群体，暑期读几本书的可能性大，并说出你的理由.
【正确答案】见解析
【详解】分析：
（1）根据样本容量的大小和样本的代表性进行分析判断即可；
（2）根据每种阅读动机所占的比例计算出各自的人数，各种阅读动机可能的阅读本数进行分析即可.
详解：
（1）第三位同学的样本选取更合理，理由如下：
第三位同学的样本：是从初一全体学生中随机选取的20名学生，样本个体具有代表性，且样本容量与其他两位同学相比也合理；
位同学主要问题是：样本容量太小；
第二位同学虽然样本容量合适，但是样本中的个体没有具有代表性；
（2）由表中数据可得：
阅读动机属于A类的人数为：20×15%=3（人）；
阅读动机属于B类的人数为；20×25%=5（人）；
阅读动机属于C类的人数为：20×40%=8（人）；
阅读动机属于D类的人数为：20×20%=4（人）；
而属于A类的同学一般只会完成规定任务的最少数量：读2本书；
属于D类的同学一般会多读书，会完成规定任务的最多数量：读5本书；
属于B类的同学一般会完成任务或多一点：读2本书或3本书；
属于C类的同学一般会比任务多读一些书：读3本或4本书；
综上所述，阅读动机属于C类的同学读4本书的可能性.
点睛：读懂题意，清楚“抽取样本时，怎样才能使样本更合理和具有代表性”是解答本题的关键.
25. 如图，，在射线AN上取一点B，使，过点作于点C，点D是线段AB上的一个动点，E是BC边上一点，且,设AD=x cm，BE=y cm，探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
（1）取指定点作图.根据下面表格预填结果，先通过作图确定AD=2cm时，点E的位置，测量BE的长度．
①根据题意，答题卡上补全图形；
②把表格补充完整：通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表：
2
3
2.9
3.4
3.3
2.6
1.6
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
③建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（2）画出的函数图象，解决问题：当时，的取值约为__________.
【正确答案】见解析
【详解】分析：
（1）①按题中要求借助于刻度尺和量角器规范的补全图形即可；②在所画图形中测量出BE的长度的近似值并填入表中的空格处即可；
（2）在方格纸中建立好平面直角坐标系，然后根据表中所给x与y的对应值描出相应的点，并将所描的点用“平滑的曲线”连接即可得到所求图象；
（3）由AD=BE可得y=x，由此可知所求的x的值是直线y=x与（2）中所画函数图象的交点的横坐标，故在（2）中建立的坐标系中画出直线y=x，即可由图象得到所求的x的值.
详解：
（1）①利用刻度尺、量角器在AN上截取AD=2cm，AB=6cm，过点B作BC⊥AM于点C，连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，补全图形如下图所示：
② 在①中所得图形中用刻度尺测量BE的长度得到BE的长度约为：3.5cm，将所得数据填入表格中补全表格如下：
2
3
2.9
3.4
3.5
3.3
2.6
1.6
0
③在方格纸中建立如下的坐标系，根据表格中的数据描点，连线，得到如下所示的y与x间的函数的图象（图中的黑色曲线）：
（3）由AD=BE可得y=x，
∴AD=BE时的x的取值是直线y=x与（1）中所画y与x的函数图象的交点的横坐标，
在（1）中所画的坐标系中画出直线y=x（如上图所示），由图可知直线y=x与（1）中所画的y与x的函数图象的交点的横坐标约为3.2，
∴当AD=BE时，x的取值约为3.2.
点睛：（1）能规范的利用作图工具画出准确的图形，并进行测量，熟悉描点法画函数图象的方法是正确解答第1小题的关键；（2）由AD=BE得到y=x，并由此知道求AD=BE时的x的值，就是求直线y=x与第1小题中所画函数图象的交点的横坐标是正确解答第2小题的关键.
26. 在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为．
（1）当该抛物线过原点时，求的值；
（2）坐标系内有一矩形OABC,其中、．
①直接写出C点坐标；
②如果抛物线与该矩形有2个交点，求的取值范围．
【正确答案】（1）m=0；（2）①（0，2）；②当或时，图象与矩形有2个交点．
【分析】（1）根据题意将原点的坐标（0，0）代入抛物线中，即可解得m的值；
（2）①由已知条件矩形的性质可得OC=AB=2，由此可得点C的坐标为（0，2）；
②由可知，抛物线的开口向上，顶点在x轴上；由此可知：当抛物线对称轴右侧的图象过点C时，抛物线与矩形只有1个交点，而当抛物线过原点是，抛物线和矩形有两个交点，即当抛物线对称轴右侧的图象过线段OC上的点（没有包括点C）时，抛物线与矩形有两个交点；同理当抛物线对称轴左侧的图象过线段AB上的点（没有包括点B）时，抛物线与矩形也有两个交点，这样已知条件即可求得对应的m的取值范围了．
【详解】解：（1）∵ 的图象过原点，
∴，
解得；
（2）①∵点A、B的坐标分别为（4，0）和（4，2），
∴AB=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
②由于，
∴该函数图象开口向上，顶点在x轴上，
如下图所示：当对称轴右侧的图象过点时图象与矩形有1个交点，
此时：，解得（舍去）或，
当抛物线过原点时，抛物线与矩形有2个交点，
此时：由（1）可得，
∴当，时图象与矩形有2个交点；
同理：当图象过点时解得，
当图象对称轴左侧部分过是，解得，
∴当时，抛物线与矩形也有两个交点；
综上所述，当或时，抛物线与矩形有2个交点．
解第2小题时需注意：要分抛物线对称轴右侧的图象和矩形OABC有两个交点和抛物线对称轴左侧的图象和矩形OABC有两个交点两种情况进行分析讨论，解题时没有要忽略了其中任何一种情况．
27. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.
（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；
（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.
【正确答案】（1）=（2）
【详解】分析：
（1）①按照题中要求补全图形即可；②如图1，连接AM，由已知条件易得MF是AE的垂直平分线，由此可得MA=ME，由四边形ABCD是正方形易得点A和点C关于BD对称，由此可得MA=MC，从而可得ME=MC，进而可得∠MEC=∠MCE；
（2）如图2，由已知易得∠MAD=∠MCD∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°，由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°，由此可得∠MAE+∠MEA=90°，从而可得∠AME=90°，点F是AE的中点可得MF=AE，在Rt△ABE中，BF=AE即可得到BF=MF.
详解：
（1）①按题要求补全图形如下图所示：
②∠MEC=∠MCE，理由如下：
如图1，连接AM，
∵点F是AE的中点，FM⊥AE，
∴MA=ME，
∵点A、点C是关于正方形ABCD对角线BD所在直线的对称点，
∴MA=MC，
∴ME=MC，
∴∠MEC=∠MCE；
（2）如图2，FB=FM，理由如下：
∵点M在正方形ABCD的对角线BD，
∴，
∴=，
∵=，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∴，
∵ 点F是AE的中点，
∴
∵ 在△ABE中，∠ABE=90°，点F是AE的中点，
∴ ，
∴ .
点睛：熟悉“正方形的对称性、线段垂直平分线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”是正确解答本题的关键.
28. 在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“”表示.
现请在以W（-3，0）为圆心，半径为2的⊙W圆上，根据以下条件解答所提问题：
（1）已知弦MN长度为2.
①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的的长度；
②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的的取值范围.
（2）已知点,点N为⊙W上的一动点，有直线，求到直线的的值.
【正确答案】（1）①；②；（2）d中的值为.
【详解】分析：
（1）①如图3，连接PW、OP、MW，由已知易得PW=，∠PWO=90°，OW=3，这样在Rt△PWO中由勾股定理即可求得此时点P到原点O的弦中距d中=；②由题意可知，当弦MN在⊙W上运动时，点P的运动路线是以点W为圆心，PW为半径的圆，如图4，画出对应的图形，由图PW=，即可得到此时点P到原点O的弦中距d中的取值范围了；
（2）由题意易得当点N在⊙W上运动时，点P在以D为圆心，WM为直径的圆上运动，由此画出符合题意的图形如图5，作直线l平行于直线y=x-2，则由图可知，当直线l与⊙D相切，且弦中距d中过圆心D时，点P到直线l的弦中距d中，则此时点P到直线y=x-2的弦中距也，这样已知条件进行计算即可求得所求的值了.
详解：
（1）①如图3，连接PW、OP、MW，
∵点P是MN的中点，MN=2，
∴PW⊥MN，MP=1，
∵MN∥x轴，
∴PW⊥x轴，
∴∠PWO=90°，
∵OW=3，
∴在Rt△PWO中，PO=，
∴此时点P到原点O的弦中距：d中=；
②由题意可知，当弦MN在⊙W上运动时，点P的运动路线是以点W为圆心，PW为半径的圆，如图4，
∵PW=，OW=3，
∴此时点P到原点O弦中距d中的取值范围为：
（2）如图5，∵P是弦MN的中点，
∴WP⊥MN，
∴当点N在⊙W上运动时，点P在以D为圆心，WM为直径的圆上运动，
∵W的坐标为（-3，0），点M的坐标为（-5，0），
∴点D的坐标为（-4，0），
作直线l平行于直线y=x-2，则当点P到直线l的弦中距时，点P到直线y=x-2的弦中距就，
由图可知，当直线l与⊙D相切，且弦中距d中过圆心D时，点P到直线l的弦中距d中，
设直线y=x-2与x轴交于点E，过点D作直线y=x-2的垂线交直线于点F，
∵直线y=x-2与x轴相交形成的锐角为45°，点E的坐标为（2，0），
∴DE=6，
∴DF=DE·sin45°=，即此时直线l到直线y=x-2的距离为，
∴点P到直线y=x-2的距离为：，即d中的值为.
点睛：读懂题意，分析出两个小题中点P的运动路线，并由此画出相应的图形是正确解答本题的关键.
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