初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教学设计

《17.2勾股定理的逆定理》教学设计
 

[内容和教材分析]
内容为教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理.

“勾股定理的逆定理”这一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一,在以后的解题中，将有十分广泛的应用,同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一.

[教学目标]
1.理解勾股定理的逆定理及证明方法并能证明勾股定理的逆定理.理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系.
2.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.
3.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程.在探究勾股定理的逆定理的活动中,通过一系列具有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.

[教学重难点及突破]
重点
1.勾股定理的逆定理及运用.
2.灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.

难点
1.勾股定理的逆定理的证明.
2.说出一个命题的逆命题及辨别其真假性.

[教学突破]
1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置动手操作问题.
2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断.
3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果.....那么....”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果....那么....”.
4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形，再回答问题.

[教学设计]

一、复习导入
师:上一节课我们学习了勾股定理，请同学们回忆一下:勾股定理的内容是什么?生:如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c，那么三边满足的关系为a² + b²= c².

师:勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即直角边为a,b斜边为c,则三边满足a²+b²=c²。(带领学生集体复习勾股定理).思考:勾股定理的题设、结论分别是什么?

生:题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a²+b²=c²。
师:如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置，即如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是否是直角三角形?本节课我们一起来研究这个问题.
板书课题: 17.2勾股定理的逆定理
（设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，自然地引出勾股定理的逆定理.）

二、教学新知
1.发现勾股定理的逆定理.
观察发现:师生共同学习古埃及人画直角的方法:把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
师:相传，我国古人大禹治水也用类似的方法确定直角.下面我们来观察这个三角形，如果把一个节间距看为一个单位长度，则三角形的边长分别是多少?
生:3、4、5
师:三边满足什么关系呢?
生:3的平方加4的平方等于5的平方。
师:也就是说，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5,满足关系“3²+4²=5²”,那么围成的三角形是直角三角形.
（设计意图:介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活实际，激发兴趣.）

师:对于其它的数，如:  2.5、6、6.5; 6、8、10它们也满足两个数的平方和等于第三个数的平方，那么以它们为边长的三角形是否为直角三角形呢?实验操作:
做一做：

（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画出三角形：

       ① 2.5，6，6.5；      ② 6，8，10.     

（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。

（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想。

教师指导学生按要求画三角形、判断形状、猜想命题.

学生展示:画出图形并说明做法.

师:根据上面的验证，你会猜想到什么?
生:如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.
学生回答，教师板书:如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.
师:这就是今天我们要学习的命题2.
（设计意图:通过活动让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件，让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程.）

2. 介绍逆命题的概念
   师:命题2和之前我们学过的命题1有什么联系呢?
   生:这两个命题的题设和结论正好相反.
   师:像这样的两个命题我们叫做互逆命题.
   教师出示互逆命题的概念，并介绍原命题和逆命题.
   师:你能举出有关互逆命题的例子吗?
   学生举手回答，教师及时点评.并让学生思考:在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?
   设计意图:让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念，在师生互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.
   3.证明勾股定理的逆定理.
   师:对于刚才的猜想命题2，你能给出证明吗?它的题设和结论是什么?
   生:题设是三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²,结论是这个三角形是直角三角形.根据题设、结论师生共同写出已知、求证.
   已知:如图，△ABC的三边长a，b，c,满足a²+b²=c².求证:△ABC是直角三角形.
   
   
   小组讨论得出证明思路，证明猜想的正确性.教师适时点拨，总结证明步骤.
   
   师:通过刚才的证明，我们可以得出前面的猜想是正确的.正确的命题我们称为真命题，通过证明的真命题我们称为定理，我们把它称为勾股定理的逆定理.
   
   师:要判定一个三角形是直角三角形，只需要知道三边是否满足“两边的平方和是否等于第三边，即较小的两边的平方和是否等于较长边的平方”。
   
   （设计意图:引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.）
   
   4.定理的应用
   
   
   
   （设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习，通过练习把陈述性的定理转换为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.）
   
   练习: 

（设计意图:让学生在规范的解答过程及练习中，提升对勾股定理逆定理的认识，认识到原命题正确时，逆命题可以成立也可以不成立.）

三、巩固应用能力提升

（设计意图:通过规范化的解答过程及练习,提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力，同时让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识.）

四、总结提升
引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容，并进行相互交流: .

(1)勾股定理的逆定理的内容是什么?它有什么作用?
(2)本节课学了原命题、逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗?
(3)在证明勾股定理的逆定理的过程中，我们学到了什么?
(4)在应用勾股定理的逆定理时，我们应注意什么问题，常见的勾股数组你记熟了吗?

五、作业布置

     课本第33页练习第1,2题；
     习题17.2复习巩固1，2题。