七年级数学下册考点精练专题10 平行线中的角平分线综合问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题10 平行线中的角平分线综合问题，共36页。
专题10 平行线中的角平分线综合问题
【例题讲解】
如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；
（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH
故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH
（2）设∠BEF=x∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x
由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x
∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①当KH∥NG时 5°×t=60°-30°=30° ∴t=6
②当KE∥GN时 5°×t=60° ∴t=12
③当HE∥GN时 5°×t=45°+60°=105° ∴t=21
④当HK∥EG时， 5°×t=180°-30°-30°=120° ∴t=24
⑤当HK∥EN时，5t=150° ∴t=30
综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．
【综合演练】
1．如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．

(1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ．
(2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数．
(3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间．



2．已知，直线ABCD，与交于点．

(1)如图1，，则_________°；
(2)如图2，的平分线交于点，则与有怎样的数量关系，请说明理由；
(3)如图3，，在的平分线上任取一点，连接，当时，请直接写出的度数（用含有的式子表示）．

3．已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．



4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知，EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断、、三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O作，通过构造内错角，可使问题得到解决．

(1)请回答：、、三个角之间的数量关系是__________．
(2)如图2，将沿BA方向平移到（B、、E共线），，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分、相交于点P，求的度数；
(3)如图3，直线，点B、F在直线m上，点E、在直线n上，连接并延长至点A，连接BA、BC和CA，做和的平分线交于点M，若，则__________（直接用含的式子表示）．


5．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．

(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．



6．已知，连接，两点．

(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．

7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．

8．已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH=90°，∠EHF=60°．

(1)如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
(2)如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
(3)如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q-∠HFT=15°，且∠EFT=∠ETF，求证：PQ∥FH．
9．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角，若，则为的6系补周角．

(1)若，则的4系补周角的度数为__________．
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
10．如图，直线分别交、于点E、F，射线、分别从、同时开始绕点E顺时针旋转，分别与直线交于点M、N，射线每秒转，射线每秒转，点O是、角平分线的交点．设旋转时间为t秒（）．

(1)①用含t的代数式表示：___________，__________；
②当时，____________；
(2)试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)的角平分线与直线交于点K，直接写出的度数为___________．
11．已知点C在线段AE上，，的角平分线交CD于点F，M为线段CF上一动点，连接EM．

(1)如图①，当，时，求的度数．
(2)如图②，N为射线AB上一动点，连接FN，使得，作的角平分线交AB于点G，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，在（2）的条件下，作，并延长FN交GH于点H，已知，求的度数．
12．已知：AB//CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图①，EM平分∠BEF， FN平分∠CFE，试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；

专题10 平行线中的角平分线综合问题
【例题讲解】
如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；
（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH
故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH
（2）设∠BEF=x∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x
由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x
∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①当KH∥NG时 5°×t=60°-30°=30° ∴t=6
②当KE∥GN时 5°×t=60° ∴t=12
③当HE∥GN时 5°×t=45°+60°=105° ∴t=21
④当HK∥EG时， 5°×t=180°-30°-30°=120° ∴t=24
⑤当HK∥EN时，5t=150° ∴t=30
综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．
【综合演练】
1．如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．

(1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ．
(2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数．
(3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间．
【答案】(1)15°
(2)67.5°
(3)5秒或15秒或20秒

【分析】（1）如图2，过点作，利用平行线性质即可求得答案；
（2）如图3，分别过点、作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为转半圈，即每秒转，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
（1）如图2，过点作，，，，，，，又．；故答案为：；
（2）解：如图3，分别过点、作，，，，，，，，，，和的角平分线、相交于点，，，，，，，，，；
（3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为秒转半圈，即每秒转，分三种情况：当时，如图5，此时，，，解得：；②当时，如图6，，，，，解得：；③当时，如图7，延长交于，延长交于，，，，，，，解得：，综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
2．已知，直线ABCD，与交于点．

(1)如图1，，则_________°；
(2)如图2，的平分线交于点，则与有怎样的数量关系，请说明理由；
(3)如图3，，在的平分线上任取一点，连接，当时，请直接写出的度数（用含有的式子表示）．
【答案】(1)100；
(2)∠F=，理由见解析；
(3)∠BPD=，证明见解析．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAD=∠ADC，结合图象及三角形外角的性质即可得出结果；
（2）设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，根据三角形内角和定理及对顶角相等得出∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，结合角平分线可得∠BAD+∠BCD=2∠F，找准图中各角之间的数量关系即可得出结果；
（3）利用三角形外角的性质得出∠ADC=α-∠BCD，由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=β，结合角平分线及各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得出结果．
(1)
解：∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠AEC是∆ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAD，
∴∠AEC=∠ABC+∠ADC，
∵∠AEC=100°，
∴∠ABC+∠ADC=100°，
故答案为：100；
(2)
解：∠F=，理由如下：

设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，
∵∠BAD+∠ABF+∠AGB=180°，∠AGB=∠DGF，∠F+∠ADF+∠DGF=180°，
∴∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，
∵∠BCD+∠CDF+∠CHD=180°，∠F+∠CBF+∠BHF=180°，∠BHF=∠CHD，
∴∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，
①+②得：∠BAD+∠ABF+∠BCD+∠CDF=2∠F+∠CBF+∠ADF，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ACD，
∴∠ABF=∠CBF，∠CDF=∠ADF，
∴∠BAD+∠BCD=2∠F，
∵∠BAD=∠AEC-∠ABC，∠BCD=∠AEC-∠ADC，
∴∠BAD+∠BCD=2∠AEC-∠AEC=∠AEC，
∴2∠F=∠AEC，
∴∠F=∠AEC；
(3)
解：∠BPD=，理由如下：
如图所示，DF平分，且，连接AP，


∵∠AEC是∆ECD的一个外角，∠AEC=α，
∴∠AEC=∠BCD+∠ADC=α，
∴∠ADC=α-∠BCD，
∵AB∥CD，∠ABC=β，
∴∠ABC=∠BCD=β，
∴∠ADC=∠DAB=α-β，
∵DP是∠ADC的角平分线，
∴∠ADP=∠ADC=，
∵∠ABP=∠PBC，
∴∠PBC=2∠ABP，
∵∠ABP+∠PBC=∠ABC=β，
∴∠ABP+2∠ABP=β，
即3∠ABP=β，    
在∆ADP中，
∠APD+∠DAP+∠ADP=180°，
即∠BPD+∠APB+∠DAP+∠ADP=180°，
在∆ABP中，
∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
即∠DAP+∠DAB+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠BPD+∠APB+∠DAP+∠ADP=∠DAP+∠DAB+∠APB+∠ABP，
∴∠BPD+∠ADP=∠DAB+∠ABP，
∴∠BPD+，
∴∠BPD=．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，角平分线的定义等，理解题意，找准图中各角之间的数量关系是解题关键．
3．已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．

【答案】（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】（1）首先作EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【详解】解：（1）如图1，作，，

∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线和的角平分线相交于F，
∴，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）如图2，∵，，
∴，，
∵与两个角的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，
∴，，
∵与两个角的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知，EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断、、三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O作，通过构造内错角，可使问题得到解决．

(1)请回答：、、三个角之间的数量关系是__________．
(2)如图2，将沿BA方向平移到（B、、E共线），，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分、相交于点P，求的度数；
(3)如图3，直线，点B、F在直线m上，点E、在直线n上，连接并延长至点A，连接BA、BC和CA，做和的平分线交于点M，若，则__________（直接用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可求出答案；
（2）由DF∥BC，AC∥EF，推出∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF,推出∠DEF+∠F=180°-50°=130°，再由三角形内角和定理可得∠P+∠FGP=∠F+∠FEP,由此即可解决问题；
（3）由即可解决问题．
(1)
如图1中，

∵AB∥OP，
∴∠EOP=∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠FOP=∠DFO，
∴∠EOP+∠FOP=∠BEO+∠DFO，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO．
故答案为：∠EOF=∠BEO+∠DFO．
(2)
如图2中，

∵DF∥BC，AC∥EF，
∴∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF，
∴∠DEF+∠F=180°-50°=130°
∵GP、EP分别平分、
∴,
∴∠P=∠F+∠FEP-∠FGP=,
∴．
(3)
如图3中，

由（1）易知∠M=∠FBM+∠CEM,
∵BF∥EC，
∴∠DCE=∠DBF，
∵∠DEC+∠DCE=180°-α，
BM和EM平分和,
∴,,
∴
∴.
∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．

(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)AB∥CD，理由见详解；
(2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时， ；理由见详解

【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF=∠FME，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEF=∠FEM，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG=124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=∠AEG=62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，．当点G在点F的左侧时， ．
（1）
解：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM=∠MEF，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠EMF，
∴AB∥CD；
（2）
解：①如图2，

∵AB∥CD，β=56°，
∴∠AEG=124°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，
即α=28°；
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α=β．

证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=180°-β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=（180°β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°（180°β）=β，
即α=β；
如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°β．

证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF-∠HEF
=（∠AEF-∠FEG）
=∠AEG
=β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH，
即α=90°β．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
6．已知，连接，两点．

(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
【答案】(1)90；
(2)；
(3)或

【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可求出；
（2）过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）分两种情况，过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（1）


∵与的平分线交于点，



即
故答案为：
（2）
如图，过点作，

∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
．
∴；
（3）
过点E作如图3，

∵∠与∠的平分线交于点E，∠
∴∠







如图4，

∵AB//CD


∵AB//CD




综上，的度数为或
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．

【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）①FG∥KL，理由见解析，②
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作，则，根据平行线的性质即可求解；
（3）①根据与互补，可得，即平分，根据角平分线的定义，进而可得，即可得出；
②根据①的结论，求得发现规律，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作，则，

，
；
（2）如图，过点作，则，

，
，
，


，
，
；
（3）①+=180°，，
，
是的角平分线，
，
平分，
，
又平分，
，
，
，
同（1）可得


，
又∵∠EGF=90°，
∴∠EGF=∠ELK,
FG∥KL；
②根据题意可得
同理可得
……
．


故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
8．已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH=90°，∠EHF=60°．

(1)如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
(2)如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
(3)如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q-∠HFT=15°，且∠EFT=∠ETF，求证：PQ∥FH．
【答案】(1)∠1=40°
(2)∠AFE=∠E+∠MHE，理由见解析
(3)见解析

【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；
（3）设∠AFE=x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE=60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．
（1）
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CHG．
∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠CHG．
∵∠CHG+∠EHF+∠2=180°，
∴3∠CHG+60°=180°．
∴∠CHG=40°．
∴∠1=40°；
（2）
解：∠AFE=∠E+∠MHE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CME．
∵∠CME=∠E+∠MHE，
∴∠AFE=∠E+∠MHE；
（3）
证明：设∠AFE=x，则∠BFH=90°-x，∠EFB=180°-x．
∵AB∥CD，
∴∠BFT=∠ETF．
∵∠EFT=∠ETF，
∴∠EFT=∠BFT=∠EFB=90°-x．
∴∠HFT=∠BFT-∠BFH=x．
∵∠Q-∠HFT=15°，
∴∠Q=15°+x．
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF=180°．
∴∠CEF=180°-x．
∴∠CEH=∠CEF+∠FEH=180°-x+30°=210°-x．
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH=∠CEH=105°-x．
∵∠Q+∠QEH+∠QPE=180°，
∴15°+x+105°-x+∠QPE=180°．
∴∠QPE=60°．
∵∠H=60°，
∴∠QPE=∠H．
∴PQ∥FH．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，设∠AFE=x，通过计算∠QPE=60°是解题的关键．
9．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角，若，则为的6系补周角．

(1)若，则的4系补周角的度数为__________．
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①75°；②当上的动点P为的角平分线与的交点时，满足是的k系补周角，此时

【分析】（1）根据题中新定义列出方程求解，即可得出答案．
（2）①过点E作EFAB，得，由，是的3系补周角，列出的方程，即可求出的度数．
②根据k系补周角的定义先确定点P的位置，再结合，求解与n的关系即可求解．
（1）
解：设的4系补周角为x，根据题意，
有80＋4x＝360
解得x＝70°．
故答案为：70°．
（2）

①解：如图，过点E作，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
即
∵是的3系补周角，
∴，
∴，
∴．
②解：当上的动点P为的角平分线与的交点时，满足是的k系补周角，此时．

若是的k系补周角，
则＋k=360°，
∴k=360°－，
由图可知，即，
∴k＝，
又∵，，
∴k＝＋，
∵＝＋，，PG平分，PD平分，
∴＝＝，＝，
∴＝＝n
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解题意是解题的关键．
10．如图，直线分别交、于点E、F，射线、分别从、同时开始绕点E顺时针旋转，分别与直线交于点M、N，射线每秒转，射线每秒转，点O是、角平分线的交点．设旋转时间为t秒（）．

(1)①用含t的代数式表示：___________，__________；
②当时，____________；
(2)试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)的角平分线与直线交于点K，直接写出的度数为___________．
【答案】(1)①10t，(90−5t)；70
(2)=，理由见解析
(3)45°

【分析】（1）①由平行线的性质及垂直关系、旋转关系即可求得结果；
②由①得∠AMP的度数，再由互补关系、角平分线的意义即可求得；
（2）两者相等，由（1）中①可得∠PMN及∠QNM，再由角平分线的性质可得∠OMN、∠ONM，由三角形内角和得∠MON，即可判断∠MON与∠ONM的数量关系；
（3）由题意可求得∠MEK与∠KME的度数，由三角形内角和即可求得∠MKE的度数．
(1)
①由题意得：∠CEP=10°t=(10t)°，∠FEQ=5°t．
∵AB∥CD，
∴∠AMP=∠CEP= (10t)°，∠QNB=∠DEQ．
∵EF⊥CD，
∴∠DEQ=90°−∠FEQ=90°−5°t=(90−5t)°．
∴∠QNB=(90−5t)°．
故答案为：10t，（90-5t）；
②当t=4时，由①得：∠AMP=10°×4=40°，
∴∠PMN=180°−∠AMP=140°．
∵MO平分∠PMN，
∴．
故答案为：70；
(2)
=，理由如下：
由（1）中①知：∠AMP= (10t)°，∠QNB=(90−5t)°，
∴∠PMN=180°−∠AMP=(180−10t)°，∠QNM=180°−∠QNB=(90+5t)°．
∵MO平分∠PMN， NO平分∠MNQ，
∴，．
∴．
∴∠MON=∠ONM．
(3)
∵EF⊥CD，∠CEP= (10t)°，
∴∠MEF=90°−∠CEP=(90-10t)°．
∵EK平分∠MEF，
∴．
∵，
∴在△EMK中，．
故答案为：45°．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的意义，垂直的意义，三角形内角和定理，关键是熟练掌握它们并灵活运用．
11．已知点C在线段AE上，，的角平分线交CD于点F，M为线段CF上一动点，连接EM．

(1)如图①，当，时，求的度数．
(2)如图②，N为射线AB上一动点，连接FN，使得，作的角平分线交AB于点G，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，在（2）的条件下，作，并延长FN交GH于点H，已知，求的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）先由平分得出，再根据平行线的性质得出，进而根据得出答案．
（2）首先设，得，再设，得，最后根据三角形外角定理用，的代数式表示出和即可得出答案．
（3）设，则为，根据题目所给条件得出，进而由（2）中条件得出答案．
（1）
∵平分，
∴，
∵，        
∴，
∵在中，，
∴．
（2）
猜想：
理由：设，    
∴，
∵GF平分，    
∴设，
∵，       
∴，
∵，    
∴，
在中，，
在中，，    
∴．
（3）
设，则为，
∵，        
∴，        
∴，
∴，
由（2）得．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及三角形外角定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角定理并能灵活运用．
12．已知：AB//CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图①，EM平分∠BEF， FN平分∠CFE，试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；

【答案】（1），见解析；（2），见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得∠BEF=∠CFE，再根据角平分线的定义得到∠MEF=∠EFN，则EMFN；
（2）利用角平分线的定义及平行线的性质进行转化求解即可．
【详解】解：（1）位置关系是：EMFN，理由：
∵ABCD，
∴∠BEF=∠CFE，
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠MEF=∠BEF，∠NFE=∠CFE，
∴∠MEF=∠NFE，
∴EMFN；
（2）∠EFD=2∠GEH，理由：
∵EG平分∠MEF，
∴∠MEG=∠GEH+∠HEF，
∵EH平分∠AEM，
∴∠MEG+∠GEH=∠AEF+∠HEF，
∴∠AEF=2∠GEH，
∵ABCD，
∴∠AEF=∠EFD，
∴∠EFD=2∠GEH．
【点睛】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理及角平分线的定义是解题的关键．