七年级数学下册考点精练专题11 内外角平分线综合问题

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专题11 内外角平分线综合问题
【例题讲解】
如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣；
（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣=，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则＝2（90°﹣），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．

【综合演练】
1．，点，分别在、上运动不与点重合．

(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．






2．已如在四边形中，．

（1）如图1，若，则________．
（2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由．
（3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______．
3．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °
(2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °；
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°