七年级数学下册考点精练专题12 8字型中的角平分线综合问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题12 8字型中的角平分线综合问题，共34页。
专题12 8字型中的角平分线综合问题
【例题讲解】
图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2② ①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴2∠P＝∠D+∠B．

【综合演练】
1．（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，G，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________；
（2）在图2中，共有______个“X型”；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______；
（4）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________．

2．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________；
(2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：
①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个；
②若，试求的度数；
③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；
④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．
3．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：

(1)已知：如图1，三角形ABC，求证：，证明：过点A作．
(2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：______；
(3)在图2的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由．
4．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：

(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
5．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系　 　；
问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；

问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．
问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系 ．

6．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　；
（2）在图2中，若，，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试写出∠P与、之间数量关系．（直接写出结论）

7．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°．
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．

8．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．                  

9．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．

【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的邻补角，
①若，，则的度数为______；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为______．（用、的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．
10．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；

【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2， AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；

解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD   
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°.
【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由.

【拓展延伸】
① 在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：________________（用α、β表示∠P），

②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论______________________

11．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．



专题12 8字型中的角平分线综合问题
【例题讲解】
图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴2∠P＝∠D+∠B．

【综合演练】
1．（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，G，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________；
（2）在图2中，共有______个“X型”；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______；
（4）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________．

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）35°；（4）α+β．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）根据“X型”的定义，仔细观察图形即可得出“X型”共有6个；
（3）先根据“X型”中的角的规律，可得∠BAE+∠B=∠E+∠ECB①，∠ECD+∠D=∠EAD+∠E②，再根据角平分线的定义，得出∠BAE=∠EAD，∠BCE=∠ECD，将①+②，可得2∠E=∠D+∠B，进而求出∠E的度数；
（4）同（3），根据“X型”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠AEC=α+β．
【详解】（1）∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）①线段AD、CB相交于点O，形成“X型”；
②线段AG、CF相交于点O，形成“X型”；
③线段AD、CE相交于点G，形成“X型”；
④线段AD、CF相交于点O，形成“X型”；
⑤线段AE、CB相交于点F，形成“X型”；
⑥线段AG、CB相交于点O，形成“X型”；
故“X型”共有6个；
故答案为：6．
（3）∠BAE+∠B=∠E+∠ECB，①
∠ECD+∠D=∠EAD+∠E，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，
∴∠DAE=∠EAB，∠DCE=∠ECB，
①+②得：
∠BAE+∠B +∠ECD+∠D =∠E+∠ECB +∠EAD+∠E，
即2∠E=∠D+∠B，
又∵∠D=40°，∠B=30°，
∴2∠E=40°+30°=70°，
∴∠AEC=35°；
故答案为：35°；
（4）由（3）知：2∠E=∠D+∠B．
∵∠D=α，∠B=β，
∴2∠E=α+β．
故答案为：α+β．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“X型”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“X型”；（3）（4）直接运用“X型”中的角的规律解题．
2．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________；
(2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：
①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个；
②若，试求的度数；
③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；
④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①6②③存在（理由见解析）④存在，

【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论．
（2）①分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数．
②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数．
③和②同理
④利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论．
(1)
解：在中，
在中，
（对顶角相等）

(2)
①解：以M为交点的有1个，即为和
以O为交点的有4个，即为和，和，和，和
②解：AP平分，CP平分

由（1）中的结论得：


整理得：

③解：理由如下：
AP平分，CP平分

由（1）中的结论得：


整理得：
④解：理由如下：
由（1）中的结论得：


整理得：
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键．
3．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：

(1)已知：如图1，三角形ABC，求证：，证明：过点A作．
(2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：______；
(3)在图2的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析

【分析】（1）过点A作，即可得出，，即可得出：，根据平角的定义和等量代换即可得出：；
（2）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论；
（3）将和相加，即可得出：，再根据平分线的性质即可得出结论．
（1）
证明：过点A作，
∴，（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换），
∵E、A、F三点共线（已知），
∴（平角定义）．
∴（等量代换）．
（2）
在中，，
在中，，
（对顶角相等），
∴．
故答案为：．
（3）
数量关系：．
理由：如图3，由（2），得：

①，
②，
①＋②，得：
．
∵和的平分线AP和CP相交于点P，
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键．
4．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：

(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；
②；
③

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；
（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
（1）
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．

（2）
，理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．

②，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；

③，理由如下：
如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
5．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系　 　；
问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；

问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．
问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系 ．

【答案】(1) (2)38°(3) (4)
【详解】分析：（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；
    （2）根据（1）的关系式求出∠OCB﹣∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
    （3）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°－∠MAN①，∠B+2∠PCN=∠D+180°－2∠MAN②，由①和②即可得到结论；
    （4）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN，∠D+∠DAN=∠B+∠BCO，即∠P+180°－∠GAN=∠B+180°－∠FCN①，∠D+180°-2∠GAN =∠B+180°－2∠FCN②，由①②可得结论．
详解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D．在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C．
    ∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；
    （2）∵∠D=40°，∠B=36°，∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，∴∠OCB﹣∠OAD=4°．
    ∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB．
    又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；
（3）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°－∠MAN①，∠B+∠BCN=∠D+∠DAO=∠D+180°－∠MAB，∴∠B+2∠PCN=∠D+180°－2∠MAN②，由①和②得：∠D+∠B=2∠P-180°；
    （4）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN，∠D+∠DAN=∠B+∠BCO，
∴∠P+180°－∠GAN=∠B+180°－∠FCN①，∠D+180°-∠EAN=∠B+180°－∠FCO，∴∠D+180°-2∠GAN =∠B+180°－2∠FCN②
由①②得：2∠P-∠B=∠D．

点睛：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
6．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　；
（2）在图2中，若，，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试写出∠P与、之间数量关系．（直接写出结论）

【答案】（1）；（2）45°；（3）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠ D=∠B+∠C；
（2 ）仔细观察图2，不难看出它有两个图1构成ADMCP， APNCB．由此，得到两个关系式∠2+∠D=∠3+ ∠P，∠1+∠P=∠ 4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2 ，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．
（3）与（2）相同．
【详解】（1）证明：在中，
在中，
∵
∴
故答案为：
（2）解：如图2，

∵AP、CP分别平分 、
∴，
由（1）的结论得：
①+②，得：
∴
    
    
（3）解：如图2，

∵AP、CP分别平分 、
∴，
由（1）的结论得：
①+②，得：
∴
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线性质、等量代换；难点在于灵活运用各等量关系．
7．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°．
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①26°，理由见解析；②∠P=α+β，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题．
【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化简即可求解∠P．
【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，
∠C+∠D+∠CED=180°，
∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）①解∶如图3，

∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∠P+∠PAB=∠B+∠4，
又∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4，
又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°
②解：∠P=α+β．
理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，
∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，①
∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，②
①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB，
∴3∠P=2∠C+∠B
∴∠P==α+β．
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．                  

【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P=
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．
9．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．

【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的邻补角，
①若，，则的度数为______；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为______．（用、的代数式表示）
（5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论______．
【答案】（1）见解析；（2）①24°；②∠P=（∠B+∠D）；（3）①24°；②2∠P=∠A+∠C；（4）∠P=（3x+y）；（5）∠P=90°-∠C-∠A
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（3）如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3αPDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，
，，，
；

（2）①如图2中，
设，，
则有，
，
；
②设，，
则有，
，
；

（3）①如图3中，设，．
则有，
，
；
故答案为：；

②设，．
则有，
；
（4）如图4中，设，，则，，
则有，
，
，
故答案为．

（5）如图5中，延长交于，设，．
则有，
，
，
．
故答案为．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
10．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；

【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2， AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；

解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD   
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°.
【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由.

【拓展延伸】
① 在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：________________（用α、β表示∠P），

②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论______________________

【答案】【问题背景 】（1）理由见解析；【问题探究 】∠P=26°；【拓展延伸 】∠P=α+β；‚
【详解】【问题背景 】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△CED中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；

【问题探究 】如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
【拓展延伸 】
由图可知，
又∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB
∴∠BAP=2∠CAP，∠BDP=2∠CDP，
∴,
∴，即∠P=α+β
‚如图5，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B=（180°-2∠3）+∠D，
∠2+∠P=（180°-∠3）+∠D，
∴2∠P=180°+∠D+∠B，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．