七年级数学下册考点精练专题15 和幂运算有关的新定义问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题15 和幂运算有关的新定义问题，共25页。
专题15 和幂运算有关的新定义问题
【例题讲解】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．
请你阅读以上材料并完成下列问题：
(1)直接写出计算结果：＝　 　，＝　 　．
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算可以转化为乘方运算吗？经过尝试，我们发现：
；
仔细观察，将以下两个除方直接写成幂的形式．＝　 　；＝　 　．
(3)计算：．
【详解】（1），，
（2），

，
（3）


【综合解答】
1．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
2．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
3．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，的公比为　　，第4项是　　．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项　　（用和的代数式表示）．
(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．
(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
4．阅读下列材料,并解决下面的问题:
我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中,3叫做以2为底8的对数,记为一般地,若则叫做以为底的对数,记为且具有性质:

其中且
根据上面的规定,请解决下面问题:
(1)计算: _______(请直接写出结果)；
(2)已知请你用含的代数式来表示其中(请写出必要的过程).
5．[概念学习]
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ． 等．类比有理数的乘方，我们把记作 ，读作“2的圈3次方”， 记作 ，读作“−3的圈4次方”，一般地，
把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”．
[初步探究]
（1）直接写出计算结果：＝ ，
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C． ；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照图中的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．

＝ ；＝ ；＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
（3）算一算：．
6．阅读下列内容，并完成相关问题．
小邱说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”然后她写出了一些按照※运算的运算法则进行运算的算式：
；    ；    ；    
；    ；        ……
凯凯看了这些算式后说：“我知道你定义的※运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※运算的运算法则：
若两数为、，则________________，特别地，若，时， ________________，若，时，________________．
(2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
7．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是______填序号
①；
②；
③对于任意正整数，都有；
④对于任意正整数，都有
(3)小明深人思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式：
为正整数，，．
请利用推导公式计算：．
8．小明是个聪明而富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”： 记做，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（）记做读作“a的圈n次方”．
(1)直接写出计算结果
　 　；　 　；　 　；
(2)小明深入思考后发现，有理数的“除方”运算能转化为乘方运算，且结果可以写成幂的形式，推导出“除方”的运算公式归纳如下：　 　（n为正整数且，）（要求将结果写成幂的形式，结果用含a，n的式子表示）；
(3)请利用（2）问的推导公式计算．
9．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a记作，读作“a的圈n次方”
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：，．
【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
；．
（3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少，并写出推导过程．
10．对于正整数，，定义一种新算△
(1)计算1△2的值为　　；
(2)写出△的所有可能的值　　；
(3)若△△△△△，其中、、、、、都是正整数，请你写出使△△△△△成立的一组、、、、、的值　　；
(4)若，，都是正整数，则下列说法正确的是　　．（选出所有正确选项）
．△△             ．△△△
．△△    ．△△
11．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚部单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：_______，_______．
(2)计算：
(3)比较和的大小
(4)计算：
12．我们规定一种运算，如果ac＝b，则（a，b）＝c，例如若23＝8，则（2，8）＝3
(1)根据上述规定填空（3，27）＝ ，（﹣2， ）＝5
(2)小明在研究这种运算时发现一种现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下证明过程：
解：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，
所以（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4），
请你用这种方法证明（3，4）＋（3，5）＝（3，20）．
13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的圈3次方”，记作读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：__________，__________．
(2)关于除方，下列说法错误的是（    ）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何正整数，
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？．
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式__________
(4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式=__________
(5)算一算：；
专题15 和幂运算有关的新定义问题
【例题讲解】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．
请你阅读以上材料并完成下列问题：
(1)直接写出计算结果：＝　 　，＝　 　．
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算可以转化为乘方运算吗？经过尝试，我们发现：
；
仔细观察，将以下两个除方直接写成幂的形式．＝　 　；＝　 　．
(3)计算：．
【详解】（1），，
（2），

，
（3）


【综合解答】
1．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3
(3)0.6020，0.699．

【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可；
（2）根据幂的乘方公式转化求解即可；
（3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可.
【详解】（1）解：∵10b＝10，
∴b＝1，
∴d（10）＝1；
10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，
∴d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为1，﹣2；
（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）
∴
故答案为3；
（3）解：∵d（2）＝0.3010，
∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．
【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键.
2．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
【答案】(1)2，0，-2
(2)①0；②见解析

【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可；
（2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可．
（1）解：∵ 52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案为：2，0，-2；
（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．
3．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，的公比为　　，第4项是　　．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项　　（用和的代数式表示）．
(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．
(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
【答案】(1)2，24
(2)
(3)第1项是5，第4项是40
(4)1536

【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6求出公比为2，再根据第三项是12求出第四项为24；
（2）发现的q的幂指数为项数减1，第n项；
（3）用第二项的10除以公比2得第一项是5，第四项为；
（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，根据第三项为12，第六项为96列方程组求出第一项为3，公共比为2，再求第十项是1536．
(1)
根据题意知公比，第4项是，
故答案为：2，24；
(2)
根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，．由此可得第项，
故答案为：；
(3)
根据题意知， 第1项为，第4项为；
(4)
设这个等比数列的第一项为，公比为q，
根据题意知，
，即，
则，
这个等比数列的第10项为．
【点睛】本题考查了等比数列的概念，理解等比数列的概念，熟练运用等比数列的概念和性质进行计算是解决本题的关键．
4．阅读下列材料,并解决下面的问题:
我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中,3叫做以2为底8的对数,记为一般地,若则叫做以为底的对数,记为且具有性质:

其中且
根据上面的规定,请解决下面问题:
(1)计算: _______(请直接写出结果)；
(2)已知请你用含的代数式来表示其中(请写出必要的过程).
【答案】（1）0;2（2）
【分析】（1）根据材料给出的运算法则计算即可（2）先变形再带入即可
【详解】解：（1）
（2）已知
所以
【点睛】此题考查幂的乘方和积的乘方的应用以及学生分析理解的能力，正确理解题意是解题的关键.
5．[概念学习]
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ． 等．类比有理数的乘方，我们把记作 ，读作“2的圈3次方”， 记作 ，读作“−3的圈4次方”，一般地，
把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”．
[初步探究]
（1）直接写出计算结果：＝ ，
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C． ；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照图中的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．

＝ ；＝ ；＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
（3）算一算：．
【答案】[初步探究]（1）（2）C  [深入思考]（1）， ， （2）（3）
【分析】[初步探究]
（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义可判断C符合题意；
[深入思考]
（1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；
（2）利用新定义求解；
（3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．
【详解】[初步探究]
（1） ，
故答案为： ；
（2）任何非零数的圈2次方都等于1，故A正确，不符合题意；
对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1，故B正确，不符合题意；
， ，故C错误，符合题意；
负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故D正确，不符合题意；
故答案为：C；
[深入思考]
（1）；； ；
故答案为： ； ； ；
（2） ；
（3）



【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解决本题的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
6．阅读下列内容，并完成相关问题．
小邱说：“我定义了一种新的运算，叫※运算．”然后她写出了一些按照※运算的运算法则进行运算的算式：
；    ；    ；    
；    ；        ……
凯凯看了这些算式后说：“我知道你定义的※运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※运算的运算法则：
若两数为、，则________________，特别地，若，时， ________________，若，时，________________．
(2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
【答案】(1)；0；1
(2)

【分析】（1）通过分析总结归纳出若，时，；若，时，；若，时，，即可；
（2）根据（1）的规律求解好戏可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∵；
；
，
，
…
∴若，时，；
若，时，；
若，时，．
故答案为：，0，1；
（2）解：原式


．
【点睛】本题考查新定义实数的运算，数式规律探究，批出数式运算规律是解题的关键．
7．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是______填序号
①；
②；
③对于任意正整数，都有；
④对于任意正整数，都有
(3)小明深人思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式：
为正整数，，．
请利用推导公式计算：．
【答案】(1)，
(2)④
(3)

【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算和的结果进行比较即可；②按定义计算即可；③要考虑n为奇数和偶数的两种情况；④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正．
（3）按照推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，，
，
故①错误；
，
故②错误；
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故③错误；
对于任意正整数，为偶数，偶数个负数相除为正数，
故④正确．
（3）解：


．
【点睛】本题考查有理数的除法，是一道规律探究型题目，也是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．
8．小明是个聪明而富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”： 记做，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（）记做读作“a的圈n次方”．
(1)直接写出计算结果
　 　；　 　；　 　；
(2)小明深入思考后发现，有理数的“除方”运算能转化为乘方运算，且结果可以写成幂的形式，推导出“除方”的运算公式归纳如下：　 　（n为正整数且，）（要求将结果写成幂的形式，结果用含a，n的式子表示）；
(3)请利用（2）问的推导公式计算．
【答案】(1)
(2)
(3)-1

【分析】(1)新定义的运算法则计算即可．
(2)根据(1)的计算，探究其中的规律，确定归纳即可．
(3)按照各自的运算法则依序计算即可．
【详解】（1），
，
，
故答案为：．
（2），
故答案为：．
（3）．
【点睛】本题考查了创新型计算，熟练掌握运算定义是解题的关键．
9．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a记作，读作“a的圈n次方”
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：，．
【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
；．
（3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少，并写出推导过程．
【答案】（1）；4
（2）；
（3），推导过程见解析
【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．
【详解】解：（1），
；
（2），


；
（3）．
理由：



，
即．
【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．
10．对于正整数，，定义一种新算△
(1)计算1△2的值为　　；
(2)写出△的所有可能的值　　；
(3)若△△△△△，其中、、、、、都是正整数，请你写出使△△△△△成立的一组、、、、、的值　　；
(4)若，，都是正整数，则下列说法正确的是　　．（选出所有正确选项）
．△△             ．△△△
．△△    ．△△
【答案】(1)0
(2)或0或2
(3)1，3，5，7，9，2（答案不唯一）
(4)、C

【分析】（1）根据定义即可求解;
（2）分类讨论:正整数，都是奇数；正整数，一奇一偶；正整数，都是偶数.
（3）根据题意让式子成立的、、、、、答案不唯一.
（4）根据新定义逐个计算进行判断.
（1）
△，
△．
故答案为：0；
（2）
正整数，都是奇数，
△；
正整数，一奇一偶，
△；
正整数，都是偶数，
△．
综上所述，△的所有可能的值是或0或2．
故答案为：或0或2；
（3）
使△△△△△成立的一组、、、、、的值1，3，5，7，9，2（答案不唯一）．
故答案为：1，3，5，7，9，2（答案不唯一）；
（4）
．△，△，
△△，故说法正确；
．△，△△，
无法得到△△△，故说法错误；
C．△，△，
△△，故说法正确；
D．△，△，
无法得到△△，故说法错误．
故答案为：、C．
【点睛】本题考查的学生学习迁移能力，关键在于理解题目给的定义进行计算，其次是利用所学知识进行快速组合,此类题目在中考的时候也比较常见的.
11．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚部单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：_______，_______．
(2)计算：
(3)比较和的大小
(4)计算：
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据题目所给条件，可得，，计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，结合题目所给已知条件，即可得出答案；
（3）根据题意，可得，然后进行有理数的比较，即可得出答案；
（4）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴；
∵，
又∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：



（3）解：∵，
∴，
∵，
∴ ；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算、复数的定义、有理数比大小，解本题的关键是准确解读题意，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中．
12．我们规定一种运算，如果ac＝b，则（a，b）＝c，例如若23＝8，则（2，8）＝3
(1)根据上述规定填空（3，27）＝ ，（﹣2， ）＝5
(2)小明在研究这种运算时发现一种现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下证明过程：
解：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，
所以（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4），
请你用这种方法证明（3，4）＋（3，5）＝（3，20）．
【答案】(1)3，﹣32
(2)见解析

【分析】对于（1），根据定义及可得到答案；
对于（2），设（3，4）＝a，（3，5）＝b，根据同底数幂的乘法法则即可得证．
（1）
∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3，﹣32；
（2）
证明：设（3，4）＝a，（3，5）＝b，则3a＝4，3b＝5，
∴3a×3b＝20，
∴3a+b＝20，
∴（3，20）＝a+b，
∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
【点睛】本题主要考查了定义新运算解决乘方问题，理解新运算是解题的关键．
13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的圈3次方”，记作读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：__________，__________．
(2)关于除方，下列说法错误的是（    ）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何正整数，
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？．
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式__________
(4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式=__________
(5)算一算：；
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)
(5)

【分析】（1）根据除方的计算方法即可求解；
（2）根据除方的计算方法即可求解（分析过程见详解）；
（3）除以一个不等于的数等于乘以这个数的倒数，由此即可求解；
（4）按照乘方、除方的运算方法展开，根据有理数的加减乘除混合运算即可求解；
（5）先将乘方、除方按照运算规则展开，再算乘除，最后算加减，计算的过程中注意符号（正负）的变化．
（1）
解：，；
故答案是： ，；
（2）
解：A．任何非零数的圈2次方都等于1，选项A正确；
B．因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，；所以选项B正确；
C．，，则；所以选项C错误；
D．负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的．
故选：C；
（3）
解：，
故答案为：；
（4）
解：由题意得：，
故答案为：；
（5）
解：．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查有理数的新定义运算方法，在有理数的除法的基础上定义多个相同的非零数的除法的表达方法，并根据有理数除法法则计算，掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．