七年级数学下册易错点第4课时 图形的平移

这是一份七年级数学下册易错点第4课时 图形的平移，共26页。试卷主要包含了核心考点，易错点，拔尖角度等内容，欢迎下载使用。
第4课时 图形的平移（原卷版）
一、核心考点
考点1 平移的概念
1．（2022春•洪泽区月考）在以下现象中，属于平移的是（　　）
①在荡秋千的小朋友；　 ②水平传送带上的物体
③宇宙中行星的运动 　 ④打气筒打气时，活塞的运动．
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
2．（2020春•渝中区期末）下列图形中，不能由“基本图案”（小四边形）经过平移得到的图形为（　　）
A． B． C． D．
考点2 画平移后的图形
3．如图，在6×6的方格中有两个涂色的图形，将图形①平移后可以到达图形②的位置．下列对平移方法叙述正确的是（　　）
A．向右平移2格，向下平移3格 B．向右平移1格，向下平移3格
C．向右平移1格，向下平移4格 D．向右平移2格，向下平移4格
4．已知△ABC的顶点A平移到顶点D，请用两种不同的方法，作出平移后的图形．

考点3 利用平移的性质进行推理和计算
5．（2021春•河间市期末）如图，将三角形ABC平移到三角形A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B＝60o，∠C＝95o，∠AB′A′的度数为（　　）

A．25° B．35° C．15° D．60°
6．（2020春•椒江区期末）在下列图形中，周长最长的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022春•灵宝市期中）如图，将直角△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．48 B．30 C．38 D．50
8．（2012春•天河区期中）如图，桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°．将△ECD沿直线l向左平移到图的位置，使E点落在AB上，即点E′，点P为AC与E′D′的交点．
（1）求∠CPD′的度数；
（2）求证：AB⊥E′D′．

9．（2022春•玉林期末）如图，∠3＝38°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2＝　 　°．

10．（2022春•西城区校级期中）如图，将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACFD的面积为 　 　．

11．（2022春•内江期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为20cm，则三角形ABC的周长是（　　）

A．14cm B．17cm C．1lcm D．8cm
12．（2022春•农安县期末）如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
（1）直接写出图中与AD相等的线段．
（2）若AB＝3，则AE＝　 　．
（3）若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数．

二、易错点
易错点1 对平移的概念理解不透彻
13．（2022春•西工区期中）下面生活现象中，物体的运动情况可以看成平移的是（　　）
A．时钟摆动的钟摆 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．体温计中水银柱的上升 D．汽车玻璃窗上雨刷的运动
易错点2 不能灵活运用平移的性质解题
14．（2021春•石城县期末）如图，直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE＝2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG＝4.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④
三、拔尖角度
拔尖1 平移在实际生活中的应用
15．（2022春•江城区期中）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2m，则绿化面积为（　　）

A．560 m2 B．600m2 C．616m2 D．660m2
16．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（　　）

A．（a+1.8）h m2 B．（h+1.8）a m2
C．1.8（h+a）m2 D．1.8ah m2
角度2 网格中的平移
17．（2022秋•东台市期末）利用直尺画图（先用铅笔画图，然后再用墨水笔将符合条件的图形画出）．
（1）利用图1中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线；
（2）平移图（2）网格中的三条线段AB、CD、EF，使平移后三条线段首尾顺次相接组成一个三角形；
（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于　 　．

18．（2023•蜀山区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；（2）求△A′B′C′的面积．

19．（2022春•潼南区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均在格点上．
（1）求出三角形ABC的面积；
（2）若把三角形ABC向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到的三角形A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并在图中画出两次平移后的图形；
（3）若线段AB交y轴于点P，请直接写出点P的坐标．


角度3 开放探究型（方程思想及分类讨论思想）
20．（2021秋•抚州期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度数；若不存在，请说明理由．



21．（2022春•襄州区期末）如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）；
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．


角度4 规律探究型
22．（2021春•莆田期末）如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ABn长为（　　）

A．5n+6 B．5n+1 C．5n+4 D．5n+3
角度4 用平移的方法求面积
23．[探究证明]图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：

在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）
在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位长度到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝　 　，S2＝ 　．
[结论应用]在图③中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积S3＝　 　．
[联系拓展]如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的．
第4课时 图形的平移（解析版）
一、核心考点
考点1 平移的概念
1．（2022春•洪泽区月考）在以下现象中，属于平移的是（　　）
①在荡秋千的小朋友；　 ②水平传送带上的物体
③宇宙中行星的运动 　 ④打气筒打气时，活塞的运动．
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
思路引领：根据平移的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解：①在荡秋千的小朋友是旋转运动，不是平移；②水平传送带上的物体是平移；③宇宙中行星的运动不是平移；④打气筒打气时，活塞的运动是平移；
故选：D．
思路引领：本题考查图形的平移变换．图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
2．（2020春•渝中区期末）下列图形中，不能由“基本图案”（小四边形）经过平移得到的图形为（　　）
A． B． C． D．
思路引领：利用平移变换的性质判断即可．
解：观察图象可知，选项A，B，C都是可以由基本图形平移得到，
选项D是旋转变换图形，不符合题意，
故选：D．
思路引领：本题考查利用平移设计图案，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点2 画平移后的图形
3．如图，在6×6的方格中有两个涂色的图形，将图形①平移后可以到达图形②的位置．下列对平移方法叙述正确的是（　　）

A．向右平移2格，向下平移3格
B．向右平移1格，向下平移3格
C．向右平移1格，向下平移4格
D．向右平移2格，向下平移4格
思路引领：利用平移变换的性质判断即可．
解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图M先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．
故选：B．
思路引领：本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
4．已知△ABC的顶点A平移到顶点D，请用两种不同的方法，作出平移后的图形．

思路引领：方法一：过点B作BE∥AD且使BE＝AD，过点C作CF∥AD且使CF＝AD，然后顺次连接DEF即可；
方法二：过点D作DE∥AB且使DE＝AB，过点D作DF∥AC且使DF＝AC，然后顺次连接DEF即可．
解：如图所示．

思路引领：本题利用平移变换作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
考点3 利用平移的性质进行推理和计算
5．（2021春•河间市期末）如图，将三角形ABC平移到三角形A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B＝60o，∠C＝95o，∠AB′A′的度数为（　　）

A．25° B．35° C．15° D．60°
思路引领：由平移的性质，得AB∥A′B′，故∠AB′A′＝∠A．欲求∠AB′A′，可求∠A．根据三角形内角和定理，可求出∠A．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣95°＝25°．
由平移的性质，得AB∥A′B′．
∴∠AB′A′＝∠A＝25°．
故选：A．
思路引领：本题主要考查三角形内角和定理以及平移的性质，熟练掌握三角形内角和定理以及平移的性质是解决本题的关键．
6．（2020春•椒江区期末）在下列图形中，周长最长的是（　　）
A． B．
C． D．
思路引领：直接利用平移的性质进而分析得出答案．
解：A、由图形可得其周长大于12cm，
B、由图形可得其周长为：12cm，
C、由图形可得其周长为：12cm，
D、由图形可得其周长为：12cm，
故最长的是A．
故选：A．
思路引领：此题主要考查了生活中的平移现象，正确应用平移的性质是解题关键．
7．（2022春•灵宝市期中）如图，将直角△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．48 B．30 C．38 D．50
思路引领：先利用平移的性质得到S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝10，BE＝6，则OE＝4，再利用面积的和差得到阴影部分面积＝S梯形ABEO，然后根据梯形的面积公式计算即可．
解：∵直角△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝10，BE＝6，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∵阴影部分面积＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO=12×（6+10）×6＝48．
故选：A．
思路引领：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
8．（2012春•天河区期中）如图，桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°．将△ECD沿直线l向左平移到图的位置，使E点落在AB上，即点E′，点P为AC与E′D′的交点．
（1）求∠CPD′的度数；
（2）求证：AB⊥E′D′．

思路引领：（1）由平移的性质知，DE∥D′E′，利用两直线平行，同位角相等得∠CPD′＝∠CED，故可求出∠CPD'，
（2）由平移的性质知，CE∥C′E′，∠CED＝∠C′E′D′，利用两直线平行，同位角相等得∠BE′C′＝∠BAC，故可求出∠BE′D'＝90°，故结论可证．
解：（1）由平移的性质知，DE∥D′E′，
∴∠CPD′＝∠CED＝60°；

（2）由平移的性质知，CE∥C′E′，∠CED＝∠C′E′D′＝60°，
∴∠BE′C′＝∠BAC＝30°，
∴∠BE′D′＝90°
∴AB⊥E′D′．
思路引领：主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
9．（2022春•玉林期末）如图，∠3＝38°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2＝　 　°．

思路引领：如图，根据平移的性质和平行线的性质得到∠4＝∠3＝38°，再利用三角形内角和定理和平角定义得到∠2＝∠4+∠5，∠5＝180°﹣∠1，从而得∠1+∠2的度数．
解：如图，
∵直线b平移后得到直线a，
∴a∥b，
∴∠4＝∠3＝38°，
∵∠2＝∠4+∠5，∠5＝180°﹣∠1，
∴∠2＝38°+180°﹣∠1，
∴∠1+∠2＝218°．
故答案为：218．

思路引领：本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．（2022春•西城区校级期中）如图，将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACFD的面积为 　 　．

思路引领：连接DC，如图，根据平移的性质得到AD∥CF，AD＝CF，CF＝2BC，BC＝EF，则BC＝CE＝EF，根据平行线的性质得到点A和点D到BF的距离相等，则利用三角形面积公式得到S△DCF＝2S△ABC＝10，且S△ACD＝S△DCF＝10，从而得到S四边形ACFD．
解：连接DC，如图，
∵三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，
∴AD∥CF，AD＝CF，CF＝2BC，BC＝EF，
∴BC＝CE＝EF，
∵AD∥BF，
∴点A和点D到BF的距离相等，
∴S△DCF＝2S△ABC＝2×5＝10，
∴AD＝CF，
∴S△ACD＝S△DCF＝10，
∴S四边形ACFD＝10+10＝20．
故答案为：20．

思路引领：本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．也考查了平移的性质．
11．（2022春•内江期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为20cm，则三角形ABC的周长是（　　）

A．14cm B．17cm C．1lcm D．8cm
思路引领：根据平移的性质得出AC＝DF，BC＝EF，AD＝CF＝BE＝3cm，将四边形ABFD的周长转化为三角形ABC的周长加6cm即可．
解：由平移的性质可知，AC＝DF，BC＝EF，AD＝CF＝BE＝3cm，
∵四边形ABFD的周长为20cm，即AB+BC+CF+DF+AD＝20cm，
∴AB+BC+AC+CF+AD＝20cm，
∴AB+BC+AC＝20﹣3﹣3＝14（cm），
即三角形ABC的周长是14cm，
故选：A．
思路引领：本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段的关系是正确解答的前提，得到“四边形ABFD的周长＝三角形ABC的周长+6cm”是解决问题的关键．
12．（2022春•农安县期末）如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
（1）直接写出图中与AD相等的线段．
（2）若AB＝3，则AE＝　 　．
（3）若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数．

思路引领：（1）直接利用平移的性质得出相等线段；
（2）直接平移的性质得出BE的长进而得出答案；
（3）利用平移的性质进而得出∠CFE的度数．
解：（1）与AD相等的线段有：BE，CF；

（2）∵AB＝3，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，
∴BE＝2，
则AE＝BE+AB＝5．
故答案为：5；

（3）∵由平移变换的性质得：BC∥EF，AE∥CF，
∴∠E＝∠ABC＝75°，
∴∠CFE+∠E＝180°，
∴∠CFE＝105°．
思路引领：此题主要考查了平移变换，正确应用平移的性质是解题关键．
四、易错点
易错点1 不能灵活运用平移的性质解题
易错点2 对平移的概念理解不透彻
13．（2022春•西工区期中）下面生活现象中，物体的运动情况可以看成平移的是（　　）
A．时钟摆动的钟摆
B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．体温计中水银柱的上升
D．汽车玻璃窗上雨刷的运动
思路引领：根据平移的定义逐项进行判断即可．
解：A．时钟摆动的钟摆，可以看作旋转，故此选项不符合题意；
B．在笔直的公路上行驶的汽车，可以看作平移，故此选项符合题意；
C．体温计中水银柱的上升不可以看作平移，因此选项不符合题意；
D．汽车玻璃窗上雨刷的运动，可以看作旋转，故此选项不符合题意；
故选：B．
思路引领：本题考查生活中的平移，理解平移的定义以及平移的特征是正确判断的前提．
14．（2021春•石城县期末）如图，直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE＝2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG＝4.5；③AD∥CF；④四边形ADFC的面积为6．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④
思路引领：直接利用平移的性质解答即可．
解：∵直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，
①三角形ABC平移的距离是2，故①错误；
②∵GEAB=ECBC，
即GE6=8−28，
解得：EG＝4.5，故②正确；
③AD∥CF，故③正确；
④四边形ADFC的面积＝2×6＝12．故④错误；
故选：B．
思路引领：此题主要考查了平移的性质，利用平移的性质解答是解题关键．
五、拔尖角度
拔尖1 平移在实际生活中的应用
15．（2022春•江城区期中）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2m，则绿化面积为（　　）

A．560 m2 B．600m2 C．616m2 D．660m2
思路引领：将小路平移后绿化部分即是长（30﹣2）m，宽（22﹣2）m的长方形，根据长方形的面积求解即可．
解：根据题意，得（30﹣2）×（22﹣2）＝560（m2），
故选：A．
思路引领：本题考查了多项式乘以多项式的应用，理解题意是解题的关键．
16．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（　　）

A．（a+1.8）h m2 B．（h+1.8）a m2
C．1.8（h+a）m2 D．1.8ah m2
思路引领：根据图形可得，地毯长度为（a+h）米，再根据长方形的面积公式解答即可．
解：由题意得，地毯的长度为（a+h）米，
故地毯的面积为：1.8（h+a）m2．
故选：C．
思路引领：本题考查了列代数式以及平移现象，解答本题的关键是根据图形确定地毯长度．
角度2 网格中的平移
17．（2022秋•东台市期末）利用直尺画图（先用铅笔画图，然后再用墨水笔将符合条件的图形画出）．
（1）利用图1中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线；
（2）平移图（2）网格中的三条线段AB、CD、EF，使平移后三条线段首尾顺次相接组成一个三角形；
（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于　 　．

思路引领：（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点以及垂直的格点作出即可；
（2）根据网格结构的特点，过点E找出与AB、CD位置相同的线段，过点F找出与AB、CD位置相同的线段，作出即可；
（3）根据S△＝S正方形﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．
解：（1）、（2）如图所示；

（3）S△EFH＝3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3
＝9﹣1﹣3−32
＝3.5．
故答案为：3.5．

思路引领：本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
18．（2023•蜀山区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．

思路引领：（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，然后再连接即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求，
A′（﹣4，﹣2），B′（0，﹣4），C′（1，﹣1）；

（2）△A′B′C′的面积：3×5−12×1×5−12×2×4−12×1×3＝7．

思路引领：此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
19．（2022春•潼南区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均在格点上．
（1）求出三角形ABC的面积；
（2）若把三角形ABC向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到的三角形A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并在图中画出两次平移后的图形；
（3）若线段AB交y轴于点P，请直接写出点P的坐标．


思路引领：（1）利用补形的方法进行计算，即可得到三角形ABC的面积；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到三角形A1B1C1，即可得出点A1，B1，C1的坐标；
（3）设点P的坐标为（0，y），则CP＝5﹣y，依据S△ABC＝S△ACP+S△BCP，即可得到y的值．
解：（1）三角形ABC的面积＝5×6−12×2×2−12×3×6−12×4×5＝30﹣2﹣9﹣10＝9；
（2）如图所示，点A1，B1，C1的坐标分别为（1，﹣4），（6，0），（4，2）；三角形A1B1C1即为所求；

（3）设点P的坐标为（0，y），则CP＝5﹣y，
∵S△ABC＝S△ACP+S△BCP，
∴9=12×（5﹣y）×3+12×（5﹣y）×2，
解得y＝1.4，
∴P（0，1.4）．
思路引领：本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及平移的性质，准确确定出点的位置是解题的关键．
角度3 开放探究型（方程思想及分类讨论思想）
20．（2021秋•抚州期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度数；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C＝180°，即可证得AD∥BC；
（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=12∠ABC，即可求得∠DBE的度数．
（3）首先设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC＝∠ADB，即可得方程：x°+40°＝80°﹣x°，解此方程即可求得答案．
（1）AD∥BC．
证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C
∴∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE=12∠ABF+12∠CBF=12∠ABC＝40°；
（3）存在．
解：设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠ADB＝80°﹣x°．
若∠BEC＝∠ADB，
则x°+40°＝80°﹣x°，
得x°＝20°．
∴∠BEC＝∠ADB＝60°．
思路引领：本题考查了平移的性质，注意掌握平移的性质是解题的关键．
21．（2018春•襄州区期末）如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）；
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．

思路引领：（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；
（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（3）∠BED的度数改变．分三种情况讨论，分别过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，然后根据平行线的性质即可得到∠BED的度数．
解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠EDC=12∠ADC=12×70°＝35°；
（2）过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=12n°+35°；
（3）分三种情况：
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDG=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABE=12n°，∠CDG＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=12n°﹣35°．
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°−12n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°−12n°+35°＝215°−12n°．
如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，
∴∠ABG=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC＝35°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABG=12n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=12n°﹣35°．
综上所述，∠BED的度数为12n°﹣35°或215°−12n°．
思路引领：此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
角度4 规律探究型
22．（2021春•莆田期末）如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ABn长为（　　）

A．5n+6 B．5n+1 C．5n+4 D．5n+3
思路引领：每次平移5个单位，n次平移5n个单位，加上AB的长即为ABn的长．
解：每次平移5个单位，n次平移5n个单位，即AAn的长为5n，加上AB的长即为ABn的长．
ABn＝5n+AB＝5n+6，
故选：A．
思路引领：本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
角度4 用平移的方法求面积
23．[探究证明]图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：

在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）
在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位长度到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝　 　，S2＝ 　．
[结论应用]在图③中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积S3＝　 　．
[联系拓展]如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的．
思路引领：[探究证明]阴影部分的平行四边形的底是1，高是b，即可得阴影面积，进而可答案；
[结论应用]可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为b，故可得阴影面积，即得答案；
[联系拓展]考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为a﹣1，宽是b的长方形，进而得到草地的面积．
解：[探究证明]∵平行四边形的面积＝底×高，
∴S1＝ab﹣b，S2＝ab﹣b，
故答案为：ab﹣b，ab﹣b；
[结论应用]画图如下：

S3＝ab﹣b；
故答案为：ab﹣b；
[联系拓展]
空白部分表示的草地面积是：ab﹣b，
证明：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；
2、将左侧的草地向右平移一个单位；
3、得到一个新的矩形
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b．其水平方向的长变成了a﹣1，所以草地的面积就是：b（a﹣1）＝ab﹣b．
思路引领：本题主要考查了矩形的性质和平移的性质．能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键．