【同步练习】苏科版初二数学下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》（培优卷）

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第9章   中心对称图形——平行四边形（培优卷）一．选择题（每小题3分，共18分）1.围棋在我国古代称为弈，春秋战国时期，围棋已在社会上广泛流传了，如图截取了两人在围棋比赛中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：选项绕某一点旋转180°后不与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项A绕一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．2.如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】A点绕O点逆时针旋转，得到点，向下平移4个单位，得到，故选：D．3.如图，将一个含的三角板，绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，且，则线段（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，连接，延长交于点， 由旋转可知，，，，，为等边三角形，，在与中，，，，（），，∴，且，，，，，，，，，，，，，，故选：A．4.如图，正方形中，点P和H分别在边上，且，，，则BE的长是（    ）A． B．5 C．7 D．【答案】D【解析】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，即故选: D.5.如图是一张长方形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：连接，设，根据矩形的基本性质可知，，∴，，∴∵折叠得到，∴，，又，∴，∴∵，∴，∴∴，∴故故选：B6.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，若每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为则的坐标为（    ）A．（1346，0） B．（1346.5，） C．（1348，） D．（1349.5，）【答案】C【解析】解：连接，如图所示，交y轴于点D．∵四边形是菱形， ∴．∵，∴是等边三角形．∴，∴，∴，∴，∴，∴B的坐标为，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵，∴点B向右平移(即)到点．∵B的坐标为，∴的坐标为．故选：C．二．填空题（每小题2分，共20分）7.如图，已知，D是上一点，E是延长线上一点，将绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合．若，则旋转角为________．【答案】【解析】解：设，∵绕点C顺时针方向旋转，恰好能与重合，∴，，，的度数等于旋转角的度数，∴，在中，∵，∴，∴，解得，∴旋转角的度数为．故答案为：．8.如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______．【答案】【解析】解：在▱中，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，．故答案为：．9.如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是______．（仅填序号）【答案】②【解析】解：由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；由四边形是菱形加上条件可证得到，能证明四边形成为正方形；由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；故答案为：②．10.如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，连接，，，则_____．【答案】【解析】四边形是菱形，，，，，，,，，，为的中点，，，故答案为：．11.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为_________．【答案】【解析】解：，，四边形是菱形，，，，（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），，，由得，，，，，，故答案为：．12.在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是 _____度．【答案】45或135【解析】∵四边形是矩形，∴，，∵平分，∴，由题意可分：①当的平分线交线段于点E，；②当的平分线交线段外于点E，；综上所述： 或45°，故答案为：45或135．13.如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，点，，若直线恰好平分平行四边形的面积，则点D的坐标是 _____________．【答案】【解析】解：连接，设，的中点为T，，，直线平分平行四边形的面积，直线经过点T，，，，故答案为：．14.如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__．【答案】4.5【解析】解：，，四边形、、、为平行四边形，，同理可得，，，即．，，；故答案为：4.5．15.如图，，，将绕点逆时针旋转α角（），得到，设直线、交于点，连接，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为_____．【答案】或【解析】解：∵绕点逆时针方向旋转得到，∴，∴，∴，根据三角形的外角性质，，是等腰三角形，分三种情况讨论，时，，无解，时，，解得，③时，，解得，综上所述，旋转角度数为或．故答案为：或．16.如图，在四边形中，，，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动．两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，以点、、、、、任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则的值是________．【答案】2【解析】解：如图，由题意可得：，，∵，，∴，，①当时，解得，∴，，，此时只有四边形是平行四边形，舍去，②当，解得：，∴，，，此时只有四边形是平行四边形，舍去，③当时，解得：，此时，，，，∴此时四边形，四边形为平行四边形，④当时，解得，不合题意，舍去，⑤当时，解得：，与③同类，符合题意，⑥当时，解得：，此时，，，此时此时只有四边形是平行四边形，舍去，综上：，以点、、、、、任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则的值是．故答案为：．三．解答题（共62分）17.（6分）图①、图②都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图．(1)在图①中，找一个格点，使以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形．(2)在图②中，找两个格点，，使以点A，，，为顶点的四边形是中心对称图形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）解：如图，点为所作．（2）解：如图，点、为所作．18.（8分）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合．(1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°．(2)判断的形状并说明理由．【答案】(1)；；(2)是等腰直角三角形，理由见解析【解析】（1）解：∵将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合，又∵四边形是正方形，∴，，∴旋转中心是点，旋转角的度数为．故答案为：；．（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵与重合，∴，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴是等腰直角三角形．19.（8分）如图，在正方形中，点K在上，连接，过点A，C分别作的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形对角线交点，连接；(1)求证：；(2)请判定的形状，并证明．【答案】(1)详见解析；(2)是等腰直角三角形，详见解析【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴ ；（2）是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接，∵点O是正方形的中心，∴，，，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．20.（10分）如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在边上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)2．【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，，是的中点，是的中位线，，，∴四边形是平行四边形，，，∴平行四边形是矩形；（2）解：由（1）得：四边形是矩形，，∵四边形是菱形，，，是的中点，∴，在中，，．21.（10分）在正方形中，，、分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．(1)如图1，连接，若，试说明与的关系；(2)如图2，若为的中点，在边上是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．【答案】(1)，且，理由见解析(2)F在AB边上存在时，使得四边形EFDG为菱形【解析】（1）解：，且．                ∵四边形为正方形，∴，，                   在和中，，∴，∴，，             ∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，且，  ．（2）解：存在，理由如下：设，∵，∴，∴，∵点E为中点，∴，            ∵四边形为菱形，∴，由勾股定理可得，即 解得                 ∴F在边上存在时，使得四边形为菱形．22.（10分）如图，在长方形中，，，E为边上一点，，连接．(1)求的长；(2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点A运动，连接，设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，是等腰三角形．【答案】(1)；(2)t值为2或或．【解析】（1）解：∵四边形是长方形，∴，，∴， 在中，，（2）解：若为等腰三角形，则有三种可能． 当时，，∴， 当时，，∴，当时，过点E作，在中，，∴，即，解得：， ，∴．综上所述，符合要求的t值为2或或．23.（10分）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°）解决问题：（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；拓展应用：（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】（1），理由如下：如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，将顺时针旋转得，，，，四边形是正方形，，，，，，，（2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接．绕点逆时针旋转得到，，，．由题知，，，．．．，．．是等腰直角三角形，．．，．（3）．如图，连接，过点作于，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，