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八年级数学下册压轴题培优专题07 菱形的判定和性质
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这是一份八年级数学下册压轴题培优专题07 菱形的判定和性质，共45页。试卷主要包含了问题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题07 菱形的判定和性质
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A． B．8 C． D．
2．（2分）（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG＝AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2分）（2022春•平邑县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）（2022•槐荫区一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2分）（2022•桥西区校级模拟）在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．
求证：四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
6．（2分）（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
7．（2分）（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2分）（2021春•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2分）（2022•迁安市一模）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
10．（2分）（2019春•西湖区期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2014春•西城区校级期中）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 ，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝ ．
12．（2分）（2022•惠城区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝ ．
13．（2分）（2022•禅城区校级二模）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ．
14．（2分）（2022•顺德区一模）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．
15．（2分）（2020春•海曙区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，动点E从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点F从点B出发，沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△CEF沿着BC边翻折，点E的对应点为点E'，设点E运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，四边形EFE'C为菱形．
16．（2分）（2020•嘉祥县一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有 ．（填写正确的序号）
17．（2分）（2016•历城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为 ．
18．（2分）（2021•葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是
19．（2分）（2021•朝天区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有 ．（填序号）
20．（2分）（2018秋•阿城区期末）如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是 （将正确结论的序号填空）．
评卷人
得 分
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鄂州期中）如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AB∥DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，若CD＝8，BC＝12，求EF的长．
22．（8分）（2022春•巴彦县期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）．
23．（7分）（2022春•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
24．（6分）（2022春•碑林区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，
25．（8分）（2022春•章贡区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝BD，连接EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若S△BCD＝6，求四边形AECF的面积．
26．（8分）（2021春•饶平县校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，▱AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
27．（8分）（2022春•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积．
28．（9分）（2022春•澄海区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A． B．8 C． D．
解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝，
∴（）2+42＝2+16＝18＝（3）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
故选：C．
2．（2分）（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG＝AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故②正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故正确的结论有3个．
故选：D．
3．（2分）（2022春•平邑县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BE＝CD，
∴AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确，
∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，
即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABO＝S菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；
正确的结论个数有3个，
故选：C．
4．（2分）（2022•槐荫区一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AD'M＝30°，
∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝，
故选：A．
5．（2分）（2022•桥西区校级模拟）在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．
求证：四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
解：甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形FBED是菱形；
乙：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即OF＝OE，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
6．（2分）（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE平分∠BAD，
∴AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴BO＝BD＝2，
故选：D．
7．（2分）（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
8．（2分）（2021春•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
9．（2分）（2022•迁安市一模）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
解：甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形FBED是菱形；
乙：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即OF＝OE，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
10．（2分）（2019春•西湖区期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；
在△DBF和△EFA中，，
∴△DBF≌△EFA（SAS）；
综上所述：①③④正确，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2014春•西城区校级期中）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 菱形 ，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝ 8 ．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝8．
故答案是：菱形，8．
12．（2分）（2022•惠城区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝ 5 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
即BG＝5．
故答案是：5．
13．（2分）（2022•禅城区校级二模）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 6 ．
解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
14．（2分）（2022•顺德区一模）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 25 ．
解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25；
故答案为：25．
15．（2分）（2020春•海曙区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，动点E从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点F从点B出发，沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△CEF沿着BC边翻折，点E的对应点为点E'，设点E运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，四边形EFE'C为菱形．
解：过E作EG⊥BC于G，如图所示：
则EG∥AC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝4（cm），
由题意得：BF＝tcm，AE＝2tcm，则CF＝（4﹣t）cm，BE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EFE'C为菱形，
∴EF＝EC，
∵EG⊥BC，
∴FG＝CG＝CF＝（2﹣t）cm，
∵EG∥AC，
∴∠BEG＝∠A＝30°，
∴BE＝2BG，
∴8﹣2t＝2（t+2﹣t），
解得：t＝，
故答案为：．
16．（2分）（2020•嘉祥县一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有 ①②③ ．（填写正确的序号）
解：①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH＝AD＝2，AB＝DH，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
∵CD＝8，
∴CH＝CD，
∴∠CDH＝30°；①正确；
②∵E，F分别是边AB、CD的中点，
∴CF＝CD＝4，EF∥BC，EF＝（AD+BC）＝4，②正确；
③∵EF∥BC，EF＝CH＝4，
∴四边形EFCH是平行四边形，
又∵EF＝CF＝4，
∴四边形EFCH是菱形；③正确；
④∵EF＝4，BH＝2，
∴S△EFC＝2S△BEH．④错误；
故选：①②③．
17．（2分）（2016•历城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为 26 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BG＝GF＝DF＝BD，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得：AC＝13，
∵BD为△ACB的中线，
∴BD＝AC＝，
∴BG＝GF＝DF＝BD＝，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝26．
故答案为：26．
18．（2分）（2021•葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是 ①③⑤
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF＝AF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝AB，
∴四边形ADCF是菱形，故③正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故②错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
∴＝＝，故④错误；
故答案为：①③⑤．
19．（2分）（2021•朝天区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有 ①②③④ ．（填序号）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF＝AD，BG＝BC，
∴AF＝BG，
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB∥FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确；
∵AD＝2AB，AD＝2AF，
∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确；
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵点G是BC的中点，
∴BC＝2EG，故③正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，
∴CF＝EM，
∴∠ECM＝90°，
∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵AF＝DF，AD＝2AB，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，
∴四边形CDFG是菱形，
∴FG∥CD，
∴∠DCF＝∠CFG，
∵FG⊥CE，
∴∠EFG＝∠CFG，
∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，
故答案为：①②③④．
20．（2分）（2018秋•阿城区期末）如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是 ①③④ （将正确结论的序号填空）．
解：如图，连接EH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠B+∠4＝90°，
∴∠3＝∠B，故①正确；
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠AFC＝90°，∠2+∠AED＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形，故②错误；
∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在Rt△CAF和Rt△HAF中，
，
∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL），
∴AC＝AH，
在△CAE和△HAE中，
，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠3＝∠AHE，CE＝EH，
∵∠3＝∠B，
∴∠AHE＝∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEFH是平行四边形，
∴CE＝FH，
∴CD＝CE+DE＝FH+DE，故③正确；
∵EG∥AB，EH∥BC，
∴四边形EHBG是平行四边形，
∴EH＝BG，
∵CE＝EH，
∴BG＝CE．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鄂州期中）如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AB∥DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，若CD＝8，BC＝12，求EF的长．
（1）证明：∵∠BDC＝90°，E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE，
又∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
又∵DE＝BE，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵CD＝8，BC＝12，
∴BD＝＝＝4，
∵，
∴，
∴DG＝，
又∵S菱形ABED＝AB•EF＝BE•DG，
∵CD＝CE，
∴EF＝DG＝．
22．（8分）（2022春•巴彦县期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴ABCD为平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
23．（7分）（2022春•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2，
∵AO＝＝＝4，
∵CE⊥AB，AO＝CO，
∴EO＝AO＝CO＝4．
24．（6分）（2022春•碑林区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
∴EH＝FG
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（2）解：连接HF交EG于点O，如图所示：
由（1）可知，四边形EFGH是菱形，
∴EG＝2OE，EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝×60°＝30°，
∴OF＝EF＝×6＝3，
在Rt△EOF中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴EG＝2OE＝2×3＝6．
25．（8分）（2022春•章贡区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝BD，连接EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若S△BCD＝6，求四边形AECF的面积．
（1）证明：∵∠BCD＝∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵CF＝BD，
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵E是BD的中点，
∴S△CDE＝S△BCD＝3，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF∥EC，
∴S△CEF＝S△CDE＝3，
∴四边形AECF的面积＝2S△CEF＝6．
26．（8分）（2021春•饶平县校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，▱AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝＝3；
∴当AB为3时，▱AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∴BE＝DF，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝6×8＝24．
27．（8分）（2022春•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积．
（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴CO＝＝＝2，
∴AC＝2AO＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×4×8＝16．
28．（9分）（2022春•澄海区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，
即∠BAD＝∠FAE，
∵AB＝AF，AD＝AE，
∴△BAD≌△FAE（SAS），
∴BD＝EF．
（2）∵∠GHF＝∠BFG，
∴∠GFH＝∠GBF，
由（1）可知∠GFH＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠GBF，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）延长EA交BC于M，
∵∠DAE＝90°．
∴EM⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴EM⊥BF，
∵AB＝AF，BF＝4，
∴BM＝FM＝2，
∵∠BAF＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴EM＝AE+AM＝2+2，
∴＝＝4
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题07 菱形的判定和性质
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A． B．8 C． D．
2．（2分）（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG＝AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2分）（2022春•平邑县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）（2022•槐荫区一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2分）（2022•桥西区校级模拟）在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．
求证：四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
6．（2分）（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
7．（2分）（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2分）（2021春•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2分）（2022•迁安市一模）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
10．（2分）（2019春•西湖区期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2014春•西城区校级期中）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 ，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝ ．
12．（2分）（2022•惠城区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝ ．
13．（2分）（2022•禅城区校级二模）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 ．
14．（2分）（2022•顺德区一模）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．
15．（2分）（2020春•海曙区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，动点E从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点F从点B出发，沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△CEF沿着BC边翻折，点E的对应点为点E'，设点E运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，四边形EFE'C为菱形．
16．（2分）（2020•嘉祥县一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有 ．（填写正确的序号）
17．（2分）（2016•历城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为 ．
18．（2分）（2021•葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是
19．（2分）（2021•朝天区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有 ．（填序号）
20．（2分）（2018秋•阿城区期末）如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是 （将正确结论的序号填空）．
评卷人
得 分
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鄂州期中）如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AB∥DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，若CD＝8，BC＝12，求EF的长．
22．（8分）（2022春•巴彦县期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）．
23．（7分）（2022春•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
24．（6分）（2022春•碑林区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，
25．（8分）（2022春•章贡区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝BD，连接EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若S△BCD＝6，求四边形AECF的面积．
26．（8分）（2021春•饶平县校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，▱AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
27．（8分）（2022春•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积．
28．（9分）（2022春•澄海区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A． B．8 C． D．
解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝，
∴（）2+42＝2+16＝18＝（3）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
故选：C．
2．（2分）（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG＝AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故②正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故正确的结论有3个．
故选：D．
3．（2分）（2022春•平邑县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BE＝CD，
∴AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确，
∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，
即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABO＝S菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；
正确的结论个数有3个，
故选：C．
4．（2分）（2022•槐荫区一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AD'M＝30°，
∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝，
故选：A．
5．（2分）（2022•桥西区校级模拟）在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．
求证：四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
解：甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形FBED是菱形；
乙：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即OF＝OE，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
6．（2分）（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE平分∠BAD，
∴AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴BO＝BD＝2，
故选：D．
7．（2分）（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
8．（2分）（2021春•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（ ）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
9．（2分）（2022•迁安市一模）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
解：甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形FBED是菱形；
乙：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即OF＝OE，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
10．（2分）（2019春•西湖区期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；
在△DBF和△EFA中，，
∴△DBF≌△EFA（SAS）；
综上所述：①③④正确，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2014春•西城区校级期中）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是 菱形 ，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝ 8 ．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝8．
故答案是：菱形，8．
12．（2分）（2022•惠城区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝ 5 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
即BG＝5．
故答案是：5．
13．（2分）（2022•禅城区校级二模）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 6 ．
解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
14．（2分）（2022•顺德区一模）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 25 ．
解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25；
故答案为：25．
15．（2分）（2020春•海曙区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，动点E从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点F从点B出发，沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△CEF沿着BC边翻折，点E的对应点为点E'，设点E运动的时间为t秒，则当t＝ 秒时，四边形EFE'C为菱形．
解：过E作EG⊥BC于G，如图所示：
则EG∥AC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝4（cm），
由题意得：BF＝tcm，AE＝2tcm，则CF＝（4﹣t）cm，BE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EFE'C为菱形，
∴EF＝EC，
∵EG⊥BC，
∴FG＝CG＝CF＝（2﹣t）cm，
∵EG∥AC，
∴∠BEG＝∠A＝30°，
∴BE＝2BG，
∴8﹣2t＝2（t+2﹣t），
解得：t＝，
故答案为：．
16．（2分）（2020•嘉祥县一模）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH＝30°；
②EF＝4；
③四边形EFCH是菱形；
④S△EFC＝3S△BEH．
你认为结论正确的有 ①②③ ．（填写正确的序号）
解：①∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH＝AD＝2，AB＝DH，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
∵CD＝8，
∴CH＝CD，
∴∠CDH＝30°；①正确；
②∵E，F分别是边AB、CD的中点，
∴CF＝CD＝4，EF∥BC，EF＝（AD+BC）＝4，②正确；
③∵EF∥BC，EF＝CH＝4，
∴四边形EFCH是平行四边形，
又∵EF＝CF＝4，
∴四边形EFCH是菱形；③正确；
④∵EF＝4，BH＝2，
∴S△EFC＝2S△BEH．④错误；
故选：①②③．
17．（2分）（2016•历城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为 26 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BG＝GF＝DF＝BD，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得：AC＝13，
∵BD为△ACB的中线，
∴BD＝AC＝，
∴BG＝GF＝DF＝BD＝，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝26．
故答案为：26．
18．（2分）（2021•葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是 ①③⑤
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF＝AF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝AB，
∴四边形ADCF是菱形，故③正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故②错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
∴＝＝，故④错误；
故答案为：①③⑤．
19．（2分）（2021•朝天区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有 ①②③④ ．（填序号）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF＝AD，BG＝BC，
∴AF＝BG，
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB∥FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确；
∵AD＝2AB，AD＝2AF，
∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确；
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵点G是BC的中点，
∴BC＝2EG，故③正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，
∴CF＝EM，
∴∠ECM＝90°，
∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵AF＝DF，AD＝2AB，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，
∴四边形CDFG是菱形，
∴FG∥CD，
∴∠DCF＝∠CFG，
∵FG⊥CE，
∴∠EFG＝∠CFG，
∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，
故答案为：①②③④．
20．（2分）（2018秋•阿城区期末）如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是 ①③④ （将正确结论的序号填空）．
解：如图，连接EH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠B+∠4＝90°，
∴∠3＝∠B，故①正确；
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠AFC＝90°，∠2+∠AED＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形，故②错误；
∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在Rt△CAF和Rt△HAF中，
，
∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL），
∴AC＝AH，
在△CAE和△HAE中，
，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠3＝∠AHE，CE＝EH，
∵∠3＝∠B，
∴∠AHE＝∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEFH是平行四边形，
∴CE＝FH，
∴CD＝CE+DE＝FH+DE，故③正确；
∵EG∥AB，EH∥BC，
∴四边形EHBG是平行四边形，
∴EH＝BG，
∵CE＝EH，
∴BG＝CE．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鄂州期中）如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AB∥DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，若CD＝8，BC＝12，求EF的长．
（1）证明：∵∠BDC＝90°，E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE，
又∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
又∵DE＝BE，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵CD＝8，BC＝12，
∴BD＝＝＝4，
∵，
∴，
∴DG＝，
又∵S菱形ABED＝AB•EF＝BE•DG，
∵CD＝CE，
∴EF＝DG＝．
22．（8分）（2022春•巴彦县期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴ABCD为平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
23．（7分）（2022春•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2，
∵AO＝＝＝4，
∵CE⊥AB，AO＝CO，
∴EO＝AO＝CO＝4．
24．（6分）（2022春•碑林区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
∴EH＝FG
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（2）解：连接HF交EG于点O，如图所示：
由（1）可知，四边形EFGH是菱形，
∴EG＝2OE，EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝×60°＝30°，
∴OF＝EF＝×6＝3，
在Rt△EOF中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴EG＝2OE＝2×3＝6．
25．（8分）（2022春•章贡区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝BD，连接EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若S△BCD＝6，求四边形AECF的面积．
（1）证明：∵∠BCD＝∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵CF＝BD，
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵E是BD的中点，
∴S△CDE＝S△BCD＝3，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF∥EC，
∴S△CEF＝S△CDE＝3，
∴四边形AECF的面积＝2S△CEF＝6．
26．（8分）（2021春•饶平县校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，▱AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝＝3；
∴当AB为3时，▱AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∴BE＝DF，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝6×8＝24．
27．（8分）（2022春•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积．
（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴CO＝＝＝2，
∴AC＝2AO＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×4×8＝16．
28．（9分）（2022春•澄海区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，
即∠BAD＝∠FAE，
∵AB＝AF，AD＝AE，
∴△BAD≌△FAE（SAS），
∴BD＝EF．
（2）∵∠GHF＝∠BFG，
∴∠GFH＝∠GBF，
由（1）可知∠GFH＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠GBF，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）延长EA交BC于M，
∵∠DAE＝90°．
∴EM⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴EM⊥BF，
∵AB＝AF，BF＝4，
∴BM＝FM＝2，
∵∠BAF＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴EM＝AE+AM＝2+2，
∴＝＝4
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