八年级数学下册专题06 平行四边形中的最值

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专题06 平行四边形中的最值
【例题讲解】
如图，在平行四边形中，，，，
（1）平行四边形的面积为________．
（2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．

解：（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=6，AB=CD=，∵∠BCD=30°=∠CBF，∴CF=BC=3，
∴四边形ABCD的面积===；
（2）连接MC，过点M作ME⊥CD于E，交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=3，∠MDE=∠BCD=30°，∴ME=DM=，DE=，
∴CE=CD+DE==，由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==，由翻折变换的性质得：MA′=MA=3，∵MA′+A′C≥MC，
∴A′C≥MC- MA′= MC-3，显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=，故答案为：（1）；（2）．




【综合演练】
1．如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（       ）

A．2 B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（　　）

A．+ B．1+ C．4 D．2+2
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题(共0分)
3．如图，在中，，点D为上一动点（不与点C重合），以，为一组邻边作平行四边形，当的值最小时，平行四边形的周长为_____．

4．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为__________．

5．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则+PB的最小值_______．

6．如图，平行四边形ABCD中，，，，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转，得到EG，连接BG、CG，则的最小值__________．

7．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．

8．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____．

9．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为______．

10．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、．若，，，则周长的最小值是_______．

11．如图，点为四边形的四个顶点，当四边形的周长最小时，________．

12．如图，在四边形中，点是边上的动点，则周长的最小值为（  ）

A． B． C． D．

三、解答题(共0分)
13．如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
14．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
15．如图，在平行四边形中，，，，
（1）平行四边形的面积为________．
（2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．



答案与解析
【例题讲解】
如图，在平行四边形中，，，，
（1）平行四边形的面积为________．
（2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．

解：（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=6，AB=CD=，∵∠BCD=30°=∠CBF，∴CF=BC=3，
∴四边形ABCD的面积===；
（2）连接MC，过点M作ME⊥CD于E，交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=3，∠MDE=∠BCD=30°，∴ME=DM=，DE=，
∴CE=CD+DE==，由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==，由翻折变换的性质得：MA′=MA=3，∵MA′+A′C≥MC，
∴A′C≥MC- MA′= MC-3，显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=，故答案为：（1）；（2）．




【综合演练】
1．如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（       ）

A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝

在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（　　）

A．+ B．1+ C．4 D．2+2
【答案】A
【分析】设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，求出AC＝CF+AF＝2+2，由平行四边形性质得出AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：

则∠BFC＝∠BFA＝90°，
∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，
∴CF＝BC＝2，AF＝BF＝CF＝2，
∴AC＝CF+AF＝2+2，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝1+，DO＝EO，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
则△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AO＝，
∴DE＝2OD＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．如图，在中，，点D为上一动点（不与点C重合），以，为一组邻边作平行四边形，当的值最小时，平行四边形的周长为_____．

【答案】4+
【分析】根据题意，可知当DE⊥AE时，DE取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到AD、CD的长，从而可以得到当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长．
【详解】解：当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD=x，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CD=AE，AD=CE，BC∥AE，
∵∠B=90°，DE⊥AE，
∴四边形BAED是矩形，
∴BD=AE，
∴BD=CD=x，
∵BC=BD+CD，BC=4，
∴BD=CD=2，
∵AB=3，∠B=90°，
∴AD=，
∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2++2+=4+，
故答案为：4+.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为__________．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得到EG，FG，根据垂线段最短得到EG⊥CD时取最小值，过点C作CH⊥AB于点H，求出CH的长度，从而得到结果．
【详解】解：∵四边形EDGC是平行四边形，
∴EF=FG，
∴当EF⊥CD时，EF最小，此时EG最小，
过点C作CH⊥AB于点H，则CH=EF，
∵∠B=60°，
∴∠BCH=30°，
∵BC=8，
∴BH=4，
∴CH==，
∴EF的最小值为，
∴EG的最小值为，
故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件．
5．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则+PB的最小值_______．

【答案】
【分析】不管P点在l上哪个位置，PD始终等于PD'，故求PD'+PB可以转化成求PD+PB，显然当D、P、D'共线时PD+ PB最短．
【详解】过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝1，AB＝2，∠ADC＝60°，
∴∠DAM＝60°，
由翻折变换可得，AD＝AD′＝1，DE＝D′E，∠ADC＝∠AD′E＝60°，
∴∠DAM＝∠AD′E＝60°，∴AD∥D′E，
又∵DE∥AB，∴四边形ADED′是菱形，
∴点D与点D′关于直线l对称，
连接BD交直线l于点P，此时PD′+PB最小，PD′+PB＝BD，
在Rt△DAM中，AD＝1，∠DAM＝60°，
∴AM=12AD=12，DM=32AD=32，
在Rt△DBM中，DM=32，MB＝AB+AM=52，
∴BD=DM2+MB2=322+522=7，
即PD′+PB最小值为，
故答案为：．

【点睛】本题考查平行四边形性质和菱形性质，掌握这些是本题解题关键．
6．如图，平行四边形ABCD中，，，，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转，得到EG，连接BG、CG，则的最小值__________．

【答案】
【分析】如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由“SAS”可证△EGN≌△BGN，可得GB=GE，推出GB+GC=GE+GC≥EC，求出EC即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，

∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH=DE=1，EH=，
在Rt△ECH中，EC=，
∴GB+GC≥，
∴GB+GC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．

【答案】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，

∵B（0，4），A（﹣1，0），
∴OB＝4，OA＝1，
∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，
∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
8．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____．

【答案】4
【分析】根据题意在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，可得O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
【详解】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
在Rt△ADP与Rt△HCQ中，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查梯形的中位线的性质，注意掌握梯形的中位线等于两底和的一半且平行于两底．
9．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为______．

【答案】100°
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=180°-∠DAB =∠C=50°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，
∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-130°=50°，
由对称性可知：
∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故答案为：100°．

【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理及外角的性质和轴对称的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
10．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、．若，，，则周长的最小值是_______．

【答案】
【分析】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，由作图得AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，于是得到∠MAN＝90°，过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP＝DP＝AD，求得AP＝DP＝5，根据三角形的中位线的性质得到OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（AB−AP）＝1，根据勾股定理求出AO＝，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，

∴AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，
∵∠DAB＝45°，
∴∠MAN＝90°，
过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝AD，
∵AD＝BC＝，
∴AP＝DP＝5，
设OM⊥AB于Q，则OQ∥DP，
∵OD＝OB，
∴OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（AB−AP）＝1，
∴AQ＝6，
∴AO＝，
∴AM＝AN＝AO＝，
∴MN＝AM＝，
∴△OEF周长的最小值是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，点为四边形的四个顶点，当四边形的周长最小时，________．

【答案】
【分析】作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，可判断出AP+BN=A″N+BN≥A″B，即此时四边形ABNP的周长最小，求出A″B的表达式，得到与x轴的交点，即为点N，从而可得a值．
【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），
将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，

则此时AP=A′P=A″N，则AP+BN=A″N+BN≥A″B，
在四边形ABNP中，PN和AB均为定值，
∴此时四边形ABNP的周长最小，
设A″B的表达式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线A″B的表达式为，
令y=0，则，即此时N（，0），
，
解得：a=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．
12．如图，在四边形中，点是边上的动点，则周长的最小值为（  ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理可求BC的长，所以要使△PBC的周长最小，即BP+PC最短，利用对称性，作点C关于AD的对称点E，即可得出最短路线，从而求解可．
【详解】解：过点C作CG⊥AB，由题意可知四边形DAGC是矩形
∴CG=AD=4，BG=AB-AG=AB-CD=2
∴在Rt△BCG中，
作点C关于AD的对称点E，连接BE，交AD于点，连接
此时的周长为最小值，即
过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F
由题意可知四边形EFAD为矩形
∴EF=AD=4，DE=CD=AF=3
∴在Rt△EBF中，
∴此时的周长为：
故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及应用对称的性质求最短路线，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理计算是解题关键．

13．如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；
（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．
（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵点在的延长线上，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）
解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，
∴，
当、、共线时，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值为．

【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
14．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
与关于对称，
连接交于，则的长即为的最小值，
过作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．