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八年级数学下册压轴题培优专题09 三角形中位线定理
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这是一份八年级数学下册压轴题培优专题09 三角形中位线定理，共34页。
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题09 三角形中位线定理
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
2．（2分）（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2分）（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2分）（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
5．（2分）（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．
图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
A．小丽和小亮的辅助线作法都可以
B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以
C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以
D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以
6．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．（2分）（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（ ）
A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长
8．（2分）（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．（2分）（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A． B．5 C． D．10
10．（2分）（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝ ．
12．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝ ．
13．（2分）（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝ ．
14．（2分）（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为 ．
15．（2分）（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点 E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为 ．
16．（2分）（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ．
17．（2分）（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为 ．
18．（2分）（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
19．（2分）（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ ．
20．（2分）（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
22．（6分）（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．
23．（7分）（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
24．（8分）（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．
25．（8分）（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
26．（8分）（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
27．（8分）（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
28．（9分）（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵点R不动，
∴AR大小不变，
∴线段EF的长不变，
故选：C．
2．（2分）（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵BC＝13，BF＝5，
∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×8＝4．
故选：B．
3．（2分）（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵M为BC中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴DM＝CF＝2．
∴CF＝4．
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AC＝9，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，
∴AB＝5．
故选：B．
4．（2分）（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2.5，
∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，
故选：A．
5．（2分）（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．
图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
A．小丽和小亮的辅助线作法都可以
B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以
C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以
D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以
解：小丽的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴CF＝AD，CF∥AD，
∵AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DE＝BC，DE∥BC，能够用来证明三角形中位线定理；
小亮的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AB＝FG，AF＝BG，
∵DB＝AB，EG＝FG，
∴BD＝EG，
∴四边形DBGE为平行四边形，
∴DE＝BG，DE∥BG，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠CGE，
在△AEF和△CEG中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF＝GC，
∴BG＝GC，
∴DE＝BC，能够用来证明三角形中位线定理，
故选：A．
6．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
解：如图，延长BN交AC于点D，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠DAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝∠AND＝90°，
在△ANB与△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AB＝AD＝8，BN＝DN，
又∵M是BC边的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝CD，
∵MN＝2，
∴CD＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：C．
7．（2分）（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（ ）
A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长
解：如图1，
∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
∴DF＝AC，DE＝AB，AF＝AB，AE＝AC，
∴四边形AFDE的周长为AF+DF+CE+AE
＝AB+AC+AB+AC
＝AB+AC，
故选：A．
8．（2分）（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
解：如图，连接DC，
在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB的中点，
∴DC＝AB，BC＝AB，
∴BC＝DC，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝4，
∴BC＝4，
∴DE＝×4＝2．
故选：C．
9．（2分）（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A． B．5 C． D．10
解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故选：B．
10．（2分）（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
解：如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝ 6 ．
解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD＝2EF＝3，
∵CD是△ABC的中线，
∴AB＝2AD＝6，
故答案为：6．
12．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝ ．
解：连接AC，取AC中点M，连接MF、MG，作GN⊥MF于N．
∵G为CD的中点，
∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，
∵∠B＝60°，
∴∠FMG＝60°，
∴∠MGN＝30°，
∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，
∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，
∴FG＝＝＝．
13．（2分）（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝ 1 ．
解：∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AB＝×8＝4，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，F是BC的中点，
∴EF＝BC＝3，
∴DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
14．（2分）（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为 a2 ．
解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，
∴点A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1＝AB＝a，
同理可得：A2B2＝A1B1＝a，
……
则A2022B2022＝a，
∴S＝（a）2＝a2，
故答案为：a2．
15．（2分）（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点 E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为 3 ．
解：连接AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∴AM＝AB+BM＝4+2＝6，
∴AC＝＝＝6，
∵点E、F分别为AD、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝AC＝3，
故答案为：3．
16．（2分）（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 0＜S≤4.5 ．
解：作ME⊥PN，如图所示，
∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，
∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，
∴S△PMN＝PN•ME＝1.5ME，
∵AB与CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0．
∵ME≤MP＝3．
∴0＜S△≤4.5．
故答案是：0＜S≤4.5．
17．（2分）（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为 5 ．
解：∵AH是△ABC的高，
∴∠AHC＝90°，
∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，
∴AC＝2HF＝10，
∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝5．
故答案为：5．
18．（2分）（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
由勾股定理得：AB＝＝＝13．
∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BC，
∴CM＝．
∴DE＝CM＝．
故答案是：．
19．（2分）（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ 8cm ．
解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，
∴DF＝AC＝×6＝3（cm），
∵EF＝1cm，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），
故答案为：8cm．
20．（2分）（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为 ．
解：根据题意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，
∴BC＝BC＝CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
如图，取CE的中点Q，连接GQ，HQ，过点G作GN⊥HQ于点N，
∵G，H分别为AE，CD的中点，
∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，
∴∠GQC+∠ACQ＝180°，
∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AB＝DE＝2AC＝4，
∵H是CD中点，Q是CE中点，
∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，
∴∠HQC＝∠CEF＝90°，
∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，
∵GN⊥HQ，GQ＝1，
∴NQ＝GQ＝，
∴GN＝，
∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，
∴GH＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
解：EF与GH互相平分，
理由如下：连接EG、GF、FH、EH，
∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，
∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
22．（6分）（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．
解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
则AC＝＝＝13，
∵AD＝AB＝5，
∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴BE＝ED，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝4．
23．（7分）（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
24．（8分）（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．
（1）证明：如图1中，
∵AE⊥BE，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BE，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，∵AE⊥BD，
∴BE＝PE，∵BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
25．（8分）（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，
∴△ADB≌△ADF，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AB＝6，AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝×4＝2．
26．（8分）（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝DB．
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC；
（2）解：四边形ADCF是矩形．
证明：连接DF，
由（1）得AF＝DB，AF∥DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB＝DF，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF，
由（1）得AF＝DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
27．（8分）（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
28．（9分）（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．
解：如图所示，连接DM，BM，
∵M是AC的中点，
∴△ADM的面积＝×△ACD的面积，△ABM的面积＝×△ACB的面积，
∴△ADM的面积+△ABM的面积＝（△ACD的面积+△ACB的面积）＝×四边形ABCD的面积，
∵M是AC的中点，
∴△BPM的面积＝△MPC的面积+△MBC的面积
＝×△ACP的面积+×△ABC的面积
＝×△ABP的面积，
∵N是BD的中点，
∴△BPN的面积＝×△BDP的面积，△BMN的面积＝×△BDM的面积，
∴S△PMN＝△BPM的面积﹣△BPN的面积﹣△BMN的面积
＝×△ABP的面积﹣×△BDP的面积﹣×△BDM的面积
＝（△ABP的面积﹣△BDP的面积﹣△BDM的面积）
＝（△ADM的面积+△ABM的面积）
＝××S四边形ABCD
＝S四边形ABCD
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题09 三角形中位线定理
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
2．（2分）（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2分）（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2分）（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
5．（2分）（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．
图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
A．小丽和小亮的辅助线作法都可以
B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以
C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以
D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以
6．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．（2分）（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（ ）
A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长
8．（2分）（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．（2分）（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A． B．5 C． D．10
10．（2分）（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝ ．
12．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝ ．
13．（2分）（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝ ．
14．（2分）（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为 ．
15．（2分）（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点 E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为 ．
16．（2分）（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ．
17．（2分）（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为 ．
18．（2分）（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
19．（2分）（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ ．
20．（2分）（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
22．（6分）（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．
23．（7分）（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
24．（8分）（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．
25．（8分）（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
26．（8分）（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
27．（8分）（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
28．（9分）（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵点R不动，
∴AR大小不变，
∴线段EF的长不变，
故选：C．
2．（2分）（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵BC＝13，BF＝5，
∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×8＝4．
故选：B．
3．（2分）（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵M为BC中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴DM＝CF＝2．
∴CF＝4．
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AC＝9，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，
∴AB＝5．
故选：B．
4．（2分）（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2.5，
∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，
故选：A．
5．（2分）（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．
图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
A．小丽和小亮的辅助线作法都可以
B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以
C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以
D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以
解：小丽的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴CF＝AD，CF∥AD，
∵AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DE＝BC，DE∥BC，能够用来证明三角形中位线定理；
小亮的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AB＝FG，AF＝BG，
∵DB＝AB，EG＝FG，
∴BD＝EG，
∴四边形DBGE为平行四边形，
∴DE＝BG，DE∥BG，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠CGE，
在△AEF和△CEG中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF＝GC，
∴BG＝GC，
∴DE＝BC，能够用来证明三角形中位线定理，
故选：A．
6．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
解：如图，延长BN交AC于点D，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠DAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝∠AND＝90°，
在△ANB与△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AB＝AD＝8，BN＝DN，
又∵M是BC边的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝CD，
∵MN＝2，
∴CD＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：C．
7．（2分）（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（ ）
A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长
解：如图1，
∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
∴DF＝AC，DE＝AB，AF＝AB，AE＝AC，
∴四边形AFDE的周长为AF+DF+CE+AE
＝AB+AC+AB+AC
＝AB+AC，
故选：A．
8．（2分）（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
解：如图，连接DC，
在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB的中点，
∴DC＝AB，BC＝AB，
∴BC＝DC，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝4，
∴BC＝4，
∴DE＝×4＝2．
故选：C．
9．（2分）（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A． B．5 C． D．10
解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故选：B．
10．（2分）（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
解：如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝ 6 ．
解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD＝2EF＝3，
∵CD是△ABC的中线，
∴AB＝2AD＝6，
故答案为：6．
12．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝ ．
解：连接AC，取AC中点M，连接MF、MG，作GN⊥MF于N．
∵G为CD的中点，
∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，
∵∠B＝60°，
∴∠FMG＝60°，
∴∠MGN＝30°，
∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，
∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，
∴FG＝＝＝．
13．（2分）（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝ 1 ．
解：∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AB＝×8＝4，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，F是BC的中点，
∴EF＝BC＝3，
∴DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
14．（2分）（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为 a2 ．
解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，
∴点A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1＝AB＝a，
同理可得：A2B2＝A1B1＝a，
……
则A2022B2022＝a，
∴S＝（a）2＝a2，
故答案为：a2．
15．（2分）（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点 E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为 3 ．
解：连接AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∴AM＝AB+BM＝4+2＝6，
∴AC＝＝＝6，
∵点E、F分别为AD、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝AC＝3，
故答案为：3．
16．（2分）（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 0＜S≤4.5 ．
解：作ME⊥PN，如图所示，
∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，
∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，
∴S△PMN＝PN•ME＝1.5ME，
∵AB与CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0．
∵ME≤MP＝3．
∴0＜S△≤4.5．
故答案是：0＜S≤4.5．
17．（2分）（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为 5 ．
解：∵AH是△ABC的高，
∴∠AHC＝90°，
∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，
∴AC＝2HF＝10，
∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝5．
故答案为：5．
18．（2分）（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 ．
解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．
由勾股定理得：AB＝＝＝13．
∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BC，
∴CM＝．
∴DE＝CM＝．
故答案是：．
19．（2分）（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ 8cm ．
解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，
∴DF＝AC＝×6＝3（cm），
∵EF＝1cm，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），
故答案为：8cm．
20．（2分）（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为 ．
解：根据题意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，
∴BC＝BC＝CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
如图，取CE的中点Q，连接GQ，HQ，过点G作GN⊥HQ于点N，
∵G，H分别为AE，CD的中点，
∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，
∴∠GQC+∠ACQ＝180°，
∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AB＝DE＝2AC＝4，
∵H是CD中点，Q是CE中点，
∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，
∴∠HQC＝∠CEF＝90°，
∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，
∵GN⊥HQ，GQ＝1，
∴NQ＝GQ＝，
∴GN＝，
∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，
∴GH＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
解：EF与GH互相平分，
理由如下：连接EG、GF、FH、EH，
∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，
∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
22．（6分）（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．
解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，
则AC＝＝＝13，
∵AD＝AB＝5，
∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴BE＝ED，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝4．
23．（7分）（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
24．（8分）（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．
（1）证明：如图1中，
∵AE⊥BE，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BE，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，∵AE⊥BD，
∴BE＝PE，∵BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
25．（8分）（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，
∴△ADB≌△ADF，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AB＝6，AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝×4＝2．
26．（8分）（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝DB．
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC；
（2）解：四边形ADCF是矩形．
证明：连接DF，
由（1）得AF＝DB，AF∥DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB＝DF，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF，
由（1）得AF＝DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
27．（8分）（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
28．（9分）（2017春•西城区期中）如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S△PMN＝S四边形ABCD．
解：如图所示，连接DM，BM，
∵M是AC的中点，
∴△ADM的面积＝×△ACD的面积，△ABM的面积＝×△ACB的面积，
∴△ADM的面积+△ABM的面积＝（△ACD的面积+△ACB的面积）＝×四边形ABCD的面积，
∵M是AC的中点，
∴△BPM的面积＝△MPC的面积+△MBC的面积
＝×△ACP的面积+×△ABC的面积
＝×△ABP的面积，
∵N是BD的中点，
∴△BPN的面积＝×△BDP的面积，△BMN的面积＝×△BDM的面积，
∴S△PMN＝△BPM的面积﹣△BPN的面积﹣△BMN的面积
＝×△ABP的面积﹣×△BDP的面积﹣×△BDM的面积
＝（△ABP的面积﹣△BDP的面积﹣△BDM的面积）
＝（△ADM的面积+△ABM的面积）
＝××S四边形ABCD
＝S四边形ABCD
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