【同步练习】苏科版初二数学下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》（基础卷）
展开
这是一份【同步练习】苏科版初二数学下册 第9章 《中心对称图形——平行四边形》（基础卷），共18页。
第9章 中心对称图形——平行四边形（基础卷）一．选择题（每小题3分，共18分）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线C．赵爽弦图 D．科克曲线2.如图，将正六边形分割成6个全等的小等边三角形，其中的可以看成是将以点O为旋转中心（ ）A．顺时针旋转得到 B．顺时针旋转得到C．逆时针旋转得到 D．逆时针旋转得到3.如图，ABCD的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ）A． B． C． D．4.如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．95.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转90°后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形．将和菱组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）A． B． C． D．二．填空题（每小题2分，共20分）7.如图，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为 ________．8.如图，矩形中，A、C坐标分别为、，则D点坐标是________．9.平行四边形的对角线与相交于点，若要使平行四边形成为矩形，则需要添加的一个条件是___________．（只写出一种情况即可）10.如图，四边形是菱形，于H，则等于___________．11.如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______12.如图，连接四边形各边中点，得到四边形，只要添加________条件，就能保证四边形是菱形．13.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为_____．14.如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为______．15.如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．16.如图，在菱形中，，，直线平分菱形的面积，交于点，交于点，当线段最短时，的长为 _____．三．解答题（共62分）17.（6分）如图，的顶点坐标分别为，，．(1)B点关于原点的对称点的坐标为 ；(2)画出绕原点O逆时针旋转的．18.（8分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．(1)求证：；(2)若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为 ___________． 19.（8分）已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．(1)求证：四边形为菱形．(2)若，，求菱形的面积． 20.（10分）如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．(1)哪两个图形成中心对称？(2)已知，求AD的取值范围． 21.（10分）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 22.（10分）如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的度数． 23.（10分）如图1，四边形是正方形，经旋转后与重合．(1)思想探究：旋转中心是 ，旋转角是 度，如果连接EF，那么是 三角形，请说明理由；(2)问题解决：用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点E、F分别在上，且．求证：．
答案与解析一．选择题（每小题3分，共18分）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线C．赵爽弦图 D．科克曲线【答案】D【解析】解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2.如图，将正六边形分割成6个全等的小等边三角形，其中的可以看成是将以点O为旋转中心（ ）A．顺时针旋转得到 B．顺时针旋转得到C．逆时针旋转得到 D．逆时针旋转得到【答案】D【解析】解：∵所有小三角形均是全等的等边三角形，∴，∴，∴可以看成是将以点O为旋转中心，逆时针旋转120°得到．故选：D．3.如图，ABCD的周长为，的周长为，则对角线的长为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵ABCD的周长是，∴∴，∵的周长是，∴，∴．故选：C．4.如图，是矩形的一条对角线，点E，F分别是的中点．若，则的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】解：∵点E，F分别是的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，又∵E是的中点，∴中，，∴．故选：C．5.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转90°后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【解析】解：∵绕点A顺时针旋转90°后得到，∴即，∵，∴，∵是三角形的外角，∴．故选：C．6.如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形．将和菱组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据将和菱组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，如下图所示：∵，即点E每次一个循环，∴，∴的坐标与点的坐标相同，又∵是菱形，∴点与点关于坐标原点对称，即的坐标与点关于坐标原点对称，∵，∴，，∴，且，∴，，∵等边三角形，∴,∴，∴，∴，∴，故选：D二．填空题（每小题2分，共20分）7.如图，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为 ________．【答案】【解析】解：∵将在平面内绕点A旋转到的位置，∴，，∴；故答案为：．8.如图，矩形中，A、C坐标分别为、，则D点坐标是________．【答案】【解析】解：∵四边形是矩形，，，∴，，∴点的横坐标和的横坐标相等，是，点的纵坐标和的纵坐标相等，是4，即点的坐标是，故答案为：．9.平行四边形的对角线与相交于点，若要使平行四边形成为矩形，则需要添加的一个条件是___________．（只写出一种情况即可）【答案】（答案不唯一）【解析】解：添加，理由如下： ∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形．故答案为：（答案不唯一）.10.如图，四边形是菱形，于H，则等于___________．【答案】【解析】解：如图，设和交点O，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴可设，∵，，∴，解得：，∴，∴，∵∴∴，解得：．故答案为：11.如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______【答案】【解析】解：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，∴，∵，∴，故答案为：．12.如图，连接四边形各边中点，得到四边形，只要添加________条件，就能保证四边形是菱形．【答案】【解析】解：添加时，四边形为菱形．∵点E、F、G、H分别为、、、的中点，∴，，，，，，∴，，∴四边形为平行四边形，当时，，∴四边形为菱形．故答案为：．13.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为_____．【答案】【解析】解：设，则，∵沿翻折后点C与点A重合，∴，在中，，即，解得，∴，由翻折的性质得，，∵矩形的对边，∴，∴，∴，过点E作于H，则四边形是矩形，∴，，∴，在中，．故答案为：．14.如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为______．【答案】20【解析】解：∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴ ，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周长为＝，故答案：20．15.如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．【答案】【解析】解：如图，延长、交、于、．四边形为正方形，，，，则 ．故答案为：．16.如图，在菱形中，，，直线平分菱形的面积，交于点，交于点，当线段最短时，的长为 _____．【答案】【解析】解：如图，连接，交于点，∵直线平分菱形的面积，∴直线经过点，当直线时，的值最短，∵四边形是菱形，∴，，，∴是等边三角形，∴，，在中，，∴．故答案为：．三．解答题（共62分）17.（6分）如图，的顶点坐标分别为，，．(1)B点关于原点的对称点的坐标为 ；(2)画出绕原点O逆时针旋转的．【答案】(1)；(2)见解析【解析】（1）解：，点关于原点的对称点的坐标为；故答案为：；（2）解：旋转后的，，，如图，即为所作．18.（8分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．(1)求证：；(2)若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为 ___________．【答案】(1)见解析；(2)3．【解析】（1）证明：四边形为正方形，，四边形是平行四边形，，，，即；（2）解：平行四边形的面积为，，四边形为正方形，，，，，，故答案为：3．19.（8分）已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．(1)求证：四边形为菱形．(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵，，∴矩形的面积，∵，∴菱形的面积．20.（10分）如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．(1)哪两个图形成中心对称？(2)已知，求AD的取值范围．【答案】(1)与成中心对称；(2)．【解析】（1）解：∵D是边的中点，∴，∵，∠ADC=∠BDE，∴，∴与成中心对称；（2）由（1）得，∴，∴，即，∴．21.（10分）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，交于点，当，时，直接写出的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形为菱形，∴，即，∴四边形是矩形；（2）∵四边形为菱形，∴，∵，∴，∴，在中，根据勾股定理可得：，∵四边形为菱形，四边形是矩形，∴，∴在中，根据勾股定理可得：．22.（10分）如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）解：证明：四边形是平行四边形，，，，，是的中位线，，， 为的中点，， ，，，四边形是平行四边形；（2）解：四边形是平行四边形，，，，， ．23.（10分）如图1，四边形是正方形，经旋转后与重合．(1)思想探究：旋转中心是 ，旋转角是 度，如果连接EF，那么是 三角形，请说明理由；(2)问题解决：用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点E、F分别在上，且．求证：．【答案】(1)点A，90°，等腰直角，见解析；(2)见解析【解析】（1）解：由图1可得，旋转中心是点A，由图1可得，旋转角，根据，，可得，是等腰直角三角形；故答案为：点A；90；等腰直角；（2）如图所示，将绕A点逆时针旋转90°，得到，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴、D、F三点共线，又∵，，∴ ，∴，∵，，∴．
