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初中数学中考复习 解析
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这是一份初中数学中考复习 解析，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年黑龙江省大庆市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.的值等于（ ）
A． B．﹣ C．± D．
【考点】22：算术平方根．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：，
故选：A．
2.据统计，近十年中国累积节能1570000万吨标准煤，1570000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×107 B．1.57×106 C．1.57×107 D．1.57×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】511：实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1570000＝1.57×106，
故选：B．
3.下列结论正确的是（ ）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
【考点】C2：不等式的性质．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＞d，
∴﹣c＜﹣d，
∴如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立，
∴选项A不符合题意；
∵b＝0时，无意义，
∴选项B不符合题意；
∵a＞0＞b时，＞，
∴选项C不符合题意；
∵如果，那么a＜b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质．
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝50°．
故选：B．
5.下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】I7：展开图折叠成几何体．
【专题】1：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
【解答】解：能折叠成正方体的是
故选：C．
6.一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用．
【分析】设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润＝销售收入﹣进价，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论．
【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得：120﹣x＝20%x，y﹣120＝20%y，
解得：x＝100，y＝150，
∴120+120﹣100﹣150＝﹣10（元）．
故选：C．
7.甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A．他们训练成绩的平均数相同
B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同
D．他们训练成绩的方差不同
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为＝8（环），中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝（环2），
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为＝，中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[2×（7﹣）2+3×（8﹣）2+（9﹣）2]＝（环2），
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选：D．
8.一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．
【专题】532：函数及其图像．
【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a﹣b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．
【解答】解：图A、B直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0、b＞0，
∵y＝0时，x＝﹣，即直线y＝ax+b与x轴的交点为（﹣，0）
由图A、B的直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1，
即b＜a，
所以b﹣a＜0
∴a﹣b＞0，
此时双曲线在第一、三象限．
故选项B不成立，选项A正确．
图C、D直线y＝ax+b经过第二、一、四象限，
∴a＜0，b＞0，
此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限，
故选项C、D均不成立；
故选：A．
9.如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转与对称．
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明△ABG≌△AFG，进而得到BG＝GF，由G是BC的中点，AB＝6，得到GF＝CG＝3，在Rt△ECG中有勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝BF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝BF＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
10.对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】通过解方程ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1得二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），则可对①、④进行判断；抛物线的抛物线的对称轴方程为x＝1﹣＞1，则根据二次函数的性质可对②进行判断；先表示出抛物线顶点的横纵坐标，然后通过判断抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，从而可对③进行判断．
【解答】解：当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，
解得x1＝1，x2＝，
则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），所以①、④正确；
当a＜0时，抛物线的对称轴x＝＝1﹣＞1，
则函数在x＞1时，y先随x增大而增大，然后减小，
所以②错误；
该抛物线对称轴为x＝，顶点的纵坐标为y＝＝，
则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，所以③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.用一张边长是10cm的正方形铁皮围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是 cm2．
【考点】I4：几何体的表面积；I7：展开图折叠成几何体．
【专题】55F：投影与视图．
【分析】易得此几何体为圆柱，那么侧面积＝底面周长×高，依此即可求解．
【解答】解：10×10＝100（cm2）．
答：这个圆柱的侧面积是100cm2．
故答案：100．
12.函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【专题】11：计算题．
【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
13.点A（﹣1，2）关于y轴的对称点坐标是 ．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点A关于y轴的对称点的坐标是（1，2）．
14.若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
【专题】512：整式．
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．逆用同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，即可得到结果．
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
15.若﹣＝，则﹣的值为 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据题意得出a﹣b＝﹣2ab，代入原式进行计算即可．
【解答】解：∵﹣＝2，
∴a﹣b＝﹣2ab．
∴原式＝﹣＝﹣2+＝﹣．
故答案为：﹣．
16.如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；MG：切线长定理．
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】作辅助线，构建直角△AOB，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．
【解答】解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵⊙O内切于菱形ABCD，
∴OE＝OF，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
同理得∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，
4OE＝2×，
OE＝，
故答案为：．
17.如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，以BC为半径的圆经过A、B两点，D、E分别在AC、BC上，DE∥AB，且与过A、B两点的圆相切，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算．
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55C：与圆有关的计算．
【分析】如图，连接OC，交AB于M，交DE于N．由题意可知：四边形ACBO是正方形，△CDE是等腰直角三角形．根据S阴＝S正方形ACBO﹣S△CDE﹣S扇形AOB计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，交AB于M，交DE于N．
由题意可知：四边形ACBO是正方形，△CDE是等腰直角三角形．
∵AB＝BC＝OA＝BO＝4，
∴AB＝OC＝4，
∵ON＝OA＝4，
∴CN＝OC＝ON＝4﹣4，
∴DN＝NE＝CN＝4﹣4，
∴S△CDE＝•（4﹣4）（8﹣8）＝48﹣32，
∴S阴＝S正方形ACBO﹣S△CDE﹣S扇形AOB
＝16﹣（48﹣32）﹣
＝32﹣32﹣4π．
故答案为：
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是 ．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．
【专题】122：几何动点问题．
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF＝0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．
【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，
∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，
①当AF＝0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；
②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，
此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，
解法一：当⊙O与BC相切时，如图6，连接OP，EP，PF，此时构成三个直角三角形，
∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，
∴PC＝BP＝1，
∵DE＝1，CD＝4，
∴CE＝3，
∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，
∴∠EPC＝∠BFP，
∴△ECP∽△PBF，
∴，即，BF＝，
∴AF＝4﹣＝；
解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，
则OP⊥BC，设AF＝x，则BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，
∵OP∥EC，OE＝OF，
∴OG＝EP1＝，
∴⊙O的半径为：OF＝OP＝+（4﹣x），
在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2，
∴，
解得：x＝，
∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，
③当AF＝4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．
故答案为：0或1＜AF或4．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19.计算：．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】511：实数．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣+＝0．
20.解方程：﹣1＝
【考点】B3：解分式方程．
【专题】1：常规题型．
【分析】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可．
【解答】解：方程两边乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3
即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3
整理，得x＝1
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
∴原方程无解．
21.若x2﹣3x﹣1＝0，求代数式2x3﹣3x2﹣11x+8的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【分析】将2x3﹣3x2﹣11x+8转化为2x（x2﹣3x﹣1）+3（x2﹣3x﹣1）+11，整体代入x2﹣3x﹣1＝0即可求得代数式的值．
【解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+8
＝2x3﹣6x2﹣2x+3x2﹣9x+8
＝2x（x2﹣3x﹣1）+3x2﹣9x﹣3+3+8
＝2x（x2﹣3x﹣1）+3（x2﹣3x﹣1）+11，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴2x（x2﹣3x﹣1）+3（x2﹣3x﹣1）+11
＝11．
22.如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离为多少千米？（参考数据：≈1.732，结果保留小数点后一位）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝2km，
在Rt△CBD中，
CD＝BC•sin60°＝2×＝≈1.7（km），
答：船C到海岸线l的距离约为1.7km．
23.某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
社团名称
A酵素制作社团
B回收材料小制作社团
C垃圾分类社团
D环保义工社团
E绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是 ；扇形图中没选择的百分比为 ；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数；X6：列表法与树状图法．
【专题】541：数据的收集与整理；542：统计的应用；543：概率及其应用．
【分析】（1）根据中位数的意义，排序、找出第3个数即可，求出没选择的人数，进而求出百分比，
（2）各组人数都求出，补全条形统计图，参加义工社团的占20%，求出1400人的20%即可，
（3）用树状图表示所有可能出现的结果数，根据概率的意义求解．
【解答】解：（1）将这五个数从小到大排列，处在第3位的数是10，因此中位数是10，
（5﹣﹣10﹣15﹣5﹣10﹣5）÷50＝10%，
故答案为：10，10%．
（2）①补全条形图如图所示：
②1400×20%＝280名，
答：全校约有280名学生愿意参加环保义工社团．
（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示，画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况，
∴两人同时选择绿植养护社团的概率为．
24.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）判断四边形ACDF的形状；
（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
【专题】553：图形的全等；555：多边形与平行四边形；556：矩形 菱形 正方形；67：推理能力．
【分析】（1）Z证明△FAE≌△CDE（ASA），得出CD＝FA，由CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质和已知条件得出AF＝CD，BF＝BC，得出△BCF是等腰直角三角形，得出∠BCF＝45°，求出∠DCF＝45°，即可得出CF平分∠BCD．
【解答】（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△FAE和△CDE中，，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD，BF＝BC，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF平分∠BCD．
25.某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用．
【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a＝90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400＝1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
26.如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
（3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD＝×OD×BE＝×2×3＝3；
（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，
所以k1x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．
27.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF•AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
【考点】MR：圆的综合题．
【专题】15：综合题；55A：与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DG⊥AC，可得OD⊥DF，则结论得证；
（2）连接AD，先证明DE＝CD，证明Rt△CDF∽Rt△CAD，则结论得证；
（3）求出BD＝DC＝，求出EF，CE长，则AE长可求．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴GD为⊙O切线；
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，∠EAD＝∠BAD，
∴BD＝DE＝CD，
∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，
∵∠CFD＝∠CDA＝90°，∠FCD＝∠ACD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAD，
∴，
即CD2＝CF•AC，
∴DE2＝EF•AC；
（3）解：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，tan∠ABC＝tan∠C＝，AB＝5，
∴BD＝DC＝，
∵在Rt△CDF中，tan∠C＝2，
∴CF＝1，由（2）知，EF＝CF，
∴EF＝CF＝1，CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题；25：动点型．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，由﹣2a＝2，求得a，即可得到抛物线解析式；
（2）待定系数法求直线AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），可得DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣+，即可求得DE+DF有最大值；
（3）①根据“以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形”，可得AC⊥CP于C或AC⊥AP于A，再由待定系数法求得直线CP和直线AP的解析式，通过解方程组求得点P的坐标；
②可直接由①中直线CP1或直线AP2解析式中令x＝1，可得Q1、Q2的坐标，即可得t的范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，易知抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝，DE+DF有最大值为；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴直线P1C的解析式可设为y＝x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，解方程组，解得或，
则此时P1点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，直线AP2的解析式可设为y＝x+n，
把A（﹣1，0）代入得n＝，
∴直线PC的解析式为y＝，解方程组，解得或，
则此时P2点坐标为（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）；
②如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC
∴直线CQ1解析式为y＝﹣x+3，令x＝1，得y＝×1+3＝
∴Q1（1，）；
∵AQ2⊥AC
∴直线AQ2解析式为y═﹣x﹣，令x＝1，得y＝×1﹣＝﹣
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴＜t＜1或2＜t＜．
2019年黑龙江省大庆市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.的值等于（ ）
A． B．﹣ C．± D．
【考点】22：算术平方根．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：，
故选：A．
2.据统计，近十年中国累积节能1570000万吨标准煤，1570000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×107 B．1.57×106 C．1.57×107 D．1.57×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】511：实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1570000＝1.57×106，
故选：B．
3.下列结论正确的是（ ）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
【考点】C2：不等式的性质．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＞d，
∴﹣c＜﹣d，
∴如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立，
∴选项A不符合题意；
∵b＝0时，无意义，
∴选项B不符合题意；
∵a＞0＞b时，＞，
∴选项C不符合题意；
∵如果，那么a＜b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质．
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝50°．
故选：B．
5.下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】I7：展开图折叠成几何体．
【专题】1：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
【解答】解：能折叠成正方体的是
故选：C．
6.一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用．
【分析】设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润＝销售收入﹣进价，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论．
【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得：120﹣x＝20%x，y﹣120＝20%y，
解得：x＝100，y＝150，
∴120+120﹣100﹣150＝﹣10（元）．
故选：C．
7.甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A．他们训练成绩的平均数相同
B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同
D．他们训练成绩的方差不同
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为＝8（环），中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝（环2），
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为＝，中位数为＝8（环）、众数为8环，
方差为×[2×（7﹣）2+3×（8﹣）2+（9﹣）2]＝（环2），
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选：D．
8.一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．
【专题】532：函数及其图像．
【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a﹣b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．
【解答】解：图A、B直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0、b＞0，
∵y＝0时，x＝﹣，即直线y＝ax+b与x轴的交点为（﹣，0）
由图A、B的直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1，
即b＜a，
所以b﹣a＜0
∴a﹣b＞0，
此时双曲线在第一、三象限．
故选项B不成立，选项A正确．
图C、D直线y＝ax+b经过第二、一、四象限，
∴a＜0，b＞0，
此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限，
故选项C、D均不成立；
故选：A．
9.如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转与对称．
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明△ABG≌△AFG，进而得到BG＝GF，由G是BC的中点，AB＝6，得到GF＝CG＝3，在Rt△ECG中有勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝BF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝BF＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
10.对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】通过解方程ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1得二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），则可对①、④进行判断；抛物线的抛物线的对称轴方程为x＝1﹣＞1，则根据二次函数的性质可对②进行判断；先表示出抛物线顶点的横纵坐标，然后通过判断抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，从而可对③进行判断．
【解答】解：当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，
解得x1＝1，x2＝，
则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），所以①、④正确；
当a＜0时，抛物线的对称轴x＝＝1﹣＞1，
则函数在x＞1时，y先随x增大而增大，然后减小，
所以②错误；
该抛物线对称轴为x＝，顶点的纵坐标为y＝＝，
则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，所以③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.用一张边长是10cm的正方形铁皮围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是 cm2．
【考点】I4：几何体的表面积；I7：展开图折叠成几何体．
【专题】55F：投影与视图．
【分析】易得此几何体为圆柱，那么侧面积＝底面周长×高，依此即可求解．
【解答】解：10×10＝100（cm2）．
答：这个圆柱的侧面积是100cm2．
故答案：100．
12.函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【专题】11：计算题．
【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
13.点A（﹣1，2）关于y轴的对称点坐标是 ．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点A关于y轴的对称点的坐标是（1，2）．
14.若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
【专题】512：整式．
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．逆用同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，即可得到结果．
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
15.若﹣＝，则﹣的值为 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据题意得出a﹣b＝﹣2ab，代入原式进行计算即可．
【解答】解：∵﹣＝2，
∴a﹣b＝﹣2ab．
∴原式＝﹣＝﹣2+＝﹣．
故答案为：﹣．
16.如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；MG：切线长定理．
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】作辅助线，构建直角△AOB，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．
【解答】解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵⊙O内切于菱形ABCD，
∴OE＝OF，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
同理得∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，
4OE＝2×，
OE＝，
故答案为：．
17.如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，以BC为半径的圆经过A、B两点，D、E分别在AC、BC上，DE∥AB，且与过A、B两点的圆相切，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算．
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55C：与圆有关的计算．
【分析】如图，连接OC，交AB于M，交DE于N．由题意可知：四边形ACBO是正方形，△CDE是等腰直角三角形．根据S阴＝S正方形ACBO﹣S△CDE﹣S扇形AOB计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，交AB于M，交DE于N．
由题意可知：四边形ACBO是正方形，△CDE是等腰直角三角形．
∵AB＝BC＝OA＝BO＝4，
∴AB＝OC＝4，
∵ON＝OA＝4，
∴CN＝OC＝ON＝4﹣4，
∴DN＝NE＝CN＝4﹣4，
∴S△CDE＝•（4﹣4）（8﹣8）＝48﹣32，
∴S阴＝S正方形ACBO﹣S△CDE﹣S扇形AOB
＝16﹣（48﹣32）﹣
＝32﹣32﹣4π．
故答案为：
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是 ．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．
【专题】122：几何动点问题．
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF＝0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．
【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，
∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，
①当AF＝0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；
②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，
此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，
解法一：当⊙O与BC相切时，如图6，连接OP，EP，PF，此时构成三个直角三角形，
∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，
∴PC＝BP＝1，
∵DE＝1，CD＝4，
∴CE＝3，
∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，
∴∠EPC＝∠BFP，
∴△ECP∽△PBF，
∴，即，BF＝，
∴AF＝4﹣＝；
解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，
则OP⊥BC，设AF＝x，则BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，
∵OP∥EC，OE＝OF，
∴OG＝EP1＝，
∴⊙O的半径为：OF＝OP＝+（4﹣x），
在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2，
∴，
解得：x＝，
∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，
③当AF＝4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．
故答案为：0或1＜AF或4．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19.计算：．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】511：实数．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣+＝0．
20.解方程：﹣1＝
【考点】B3：解分式方程．
【专题】1：常规题型．
【分析】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可．
【解答】解：方程两边乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3
即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3
整理，得x＝1
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
∴原方程无解．
21.若x2﹣3x﹣1＝0，求代数式2x3﹣3x2﹣11x+8的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【分析】将2x3﹣3x2﹣11x+8转化为2x（x2﹣3x﹣1）+3（x2﹣3x﹣1）+11，整体代入x2﹣3x﹣1＝0即可求得代数式的值．
【解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+8
＝2x3﹣6x2﹣2x+3x2﹣9x+8
＝2x（x2﹣3x﹣1）+3x2﹣9x﹣3+3+8
＝2x（x2﹣3x﹣1）+3（x2﹣3x﹣1）+11，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴2x（x2﹣3x﹣1）+3（x2﹣3x﹣1）+11
＝11．
22.如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离为多少千米？（参考数据：≈1.732，结果保留小数点后一位）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝2km，
在Rt△CBD中，
CD＝BC•sin60°＝2×＝≈1.7（km），
答：船C到海岸线l的距离约为1.7km．
23.某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：
社团名称
A酵素制作社团
B回收材料小制作社团
C垃圾分类社团
D环保义工社团
E绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是 ；扇形图中没选择的百分比为 ；
（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数；X6：列表法与树状图法．
【专题】541：数据的收集与整理；542：统计的应用；543：概率及其应用．
【分析】（1）根据中位数的意义，排序、找出第3个数即可，求出没选择的人数，进而求出百分比，
（2）各组人数都求出，补全条形统计图，参加义工社团的占20%，求出1400人的20%即可，
（3）用树状图表示所有可能出现的结果数，根据概率的意义求解．
【解答】解：（1）将这五个数从小到大排列，处在第3位的数是10，因此中位数是10，
（5﹣﹣10﹣15﹣5﹣10﹣5）÷50＝10%，
故答案为：10，10%．
（2）①补全条形图如图所示：
②1400×20%＝280名，
答：全校约有280名学生愿意参加环保义工社团．
（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示，画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况，
∴两人同时选择绿植养护社团的概率为．
24.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）判断四边形ACDF的形状；
（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
【专题】553：图形的全等；555：多边形与平行四边形；556：矩形 菱形 正方形；67：推理能力．
【分析】（1）Z证明△FAE≌△CDE（ASA），得出CD＝FA，由CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质和已知条件得出AF＝CD，BF＝BC，得出△BCF是等腰直角三角形，得出∠BCF＝45°，求出∠DCF＝45°，即可得出CF平分∠BCD．
【解答】（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△FAE和△CDE中，，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD，BF＝BC，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF平分∠BCD．
25.某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用．
【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a＝90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400＝1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
26.如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积；
（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
（3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD＝×OD×BE＝×2×3＝3；
（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，
所以k1x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．
27.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF•AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
【考点】MR：圆的综合题．
【专题】15：综合题；55A：与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DG⊥AC，可得OD⊥DF，则结论得证；
（2）连接AD，先证明DE＝CD，证明Rt△CDF∽Rt△CAD，则结论得证；
（3）求出BD＝DC＝，求出EF，CE长，则AE长可求．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴GD为⊙O切线；
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，∠EAD＝∠BAD，
∴BD＝DE＝CD，
∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，
∵∠CFD＝∠CDA＝90°，∠FCD＝∠ACD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAD，
∴，
即CD2＝CF•AC，
∴DE2＝EF•AC；
（3）解：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，tan∠ABC＝tan∠C＝，AB＝5，
∴BD＝DC＝，
∵在Rt△CDF中，tan∠C＝2，
∴CF＝1，由（2）知，EF＝CF，
∴EF＝CF＝1，CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；
（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；
（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题；25：动点型．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，由﹣2a＝2，求得a，即可得到抛物线解析式；
（2）待定系数法求直线AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），可得DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣+，即可求得DE+DF有最大值；
（3）①根据“以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形”，可得AC⊥CP于C或AC⊥AP于A，再由待定系数法求得直线CP和直线AP的解析式，通过解方程组求得点P的坐标；
②可直接由①中直线CP1或直线AP2解析式中令x＝1，可得Q1、Q2的坐标，即可得t的范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），
∵DF∥AC，
∴∠DFG＝∠ACO，易知抛物线对称轴为x＝1，
∴DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），
∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝，DE+DF有最大值为；
（3）①存在；
如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴直线P1C的解析式可设为y＝x+m，把C（0，3）代入得m＝3，
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，解方程组，解得或，
则此时P1点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于P2，直线AP2的解析式可设为y＝x+n，
把A（﹣1，0）代入得n＝，
∴直线PC的解析式为y＝，解方程组，解得或，
则此时P2点坐标为（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）；
②如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵CQ1⊥AC
∴直线CQ1解析式为y＝﹣x+3，令x＝1，得y＝×1+3＝
∴Q1（1，）；
∵AQ2⊥AC
∴直线AQ2解析式为y═﹣x﹣，令x＝1，得y＝×1﹣＝﹣
∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2
∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝，解得：t1＝1，t2＝2，
∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，
∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），
∴＜t＜1或2＜t＜．
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