2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

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2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知等差数列中，，则的值是（    ）A．2 B．8 C．1 D．4【答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求出.【详解】因为是等差数列，所以，即.故选：D.2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定形式即可判断得出答案.【详解】由题意可知，利用全称量词命题的否定形式即可知，“，”的否定为“，”.故选：D3．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知，双曲线中，，焦点在轴上，渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A4．已知且，那么下列不等式中，成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】选项，利用，的正负判断即可；、选项，利用不等式两边同乘，判断；选项，利用不等式开方性质判断．【详解】解：因为，所以，又，所以，即，所以选项错误；选项：因为，所以，所以选项错误；选项：因为，，所以，所以选项错误；选项：因为，，所以，所以选项正确．故选：．5．关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应抛物线开口向上的一元二次不等式大于零恒成立，直接列判别式，计算即可.【详解】关于的不等式的解集为R，故对应方程的判别式，即，，故.故选：D.6．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（    ）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合【答案】B【分析】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论.【详解】将平面的法向量记为，平面的法向量记为，，，则.故选：B.7．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意结合图形，直接利用，即可求解.【详解】因为空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，所以，所以.故选：A8．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解不等式，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由，解得；由，可得，即，解得，前后一致，既符合充分性，又符合必要性.故选：C9．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【答案】A【分析】建立直角坐标系，求抛物线方程，再求结果.【详解】一抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线为x轴建立直角坐标系，如图，可设抛物线方程为，因为过点，所以，令，则，选A.【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析判断能力，属基础题.10．已知命题函数的最小值为；命题在中，角、、的对边分别为、、，则“”是“”的充要条件.则下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于命题，当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，命题为假命题；对于命题，在三角形中，由大边对大角、大角对大边定理可知“”是“”的充要条件，命题为真命题.因此，为真命题，、、均为假命题.故选：A.11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可．【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，则，，解得：，，故选：A12．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，（为坐标原点）为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】A【分析】先由题意得到，，求出，再由双曲线的定义结合求出，两式相等，即可求出结果.【详解】由题意可得，，因为，所以，又因点在双曲线的右支上，所以，因为，所以；因此，即，所以，解得，因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.二、填空题13．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为_________.【答案】【分析】由，得出与平行，利用向量的共线关系求解即可【详解】由题意得，，所以与平行，则存在实数使得，即，可得，所以，，，答案为：【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题14．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______________________【答案】【分析】根据椭圆标准方程得不行关系后可求得范围．【详解】由题意，解得．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．15．已知实数，满足约束条件则的最小值是______.【答案】0【分析】根据题意画出可行域，平移目标函数即可解决.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由，得，平移直线，由图知，当直线过点时，取得最小值，由得，所以的最小值为0，故答案为：016．如图，正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与底面夹角的余弦值为______.【答案】【分析】推导出平面，可得出，，则平面与底面夹角为，计算出，即为所求.【详解】因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，因为、平面，，，所以，平面与底面夹角为，易知，设，则，，所以，，因此，平面与底面夹角的余弦值为.故答案为：.三、解答题17．已知等比数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件求出即可；（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，有，解得故数列的通项公式为；（2），故数列的前项和18．已知函数.(1)求解不等式的解集；(2)当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值.【答案】(1)(2)当时，取得最大值【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可得解；（2）利用基本不等式即可得出答案.【详解】（1）解：，即，解得，所以不等式的解集为；（2）解：，当且仅当，即时，取等号，所以当时，取得最大值.19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角B的大小；(2)若，，求△ABC的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得，又，所以，因此，又，所以；（2）由余弦定理，得，所以，所以△ABC的面积.20．已知抛物线：.（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.【答案】(1) .(2) .【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.【详解】(1)∵直线经过抛物线的焦点，∴抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的准线方程为.（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，，由化简得，∴.∵，解得，∴抛物线的方程为.【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.21．在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是的中点．请用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：平面；(2)求直线与平面夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量坐标运算可得，知，根据线面平行的判定可得结论；（2）利用线面角的向量求法可直接求得结果.【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，又平面，平面，平面.（2）由（1）知：，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即直线与平面夹角的正弦值为.22．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线交椭圆于两点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率以及点联立方程组即可得椭圆标准方程；（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得面积表达式，再利用基本不等式即可求得最值.【详解】（1）由离心率可得，即，由点在椭圆上可得，又解得，，∴椭圆的标准方程为.（2）由（1）可得，，故直线过焦点，联立消去可得，设，，则，，则，∴，当且仅当，即时取等号，故面积的最大值为.