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2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）
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2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知，，，则与的位置关系是______.【答案】异面【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系.【详解】如图所示，因为，，故与不相交，又与不平行，故与的位置关系是异面.故答案为：异面2．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________．【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.【详解】由题意，正四棱柱如下图：不妨设正四棱柱底面边长为，，由已知条件可得，，又因为底面，所以对角线与底面所成角为，因为对角线与底面所成角的余弦值为，，所以，解得，从而，故该正四棱柱的表面积.故答案为：10.3．如图所示，是的直观图，则的面积_________（请用数字填写）【答案】2【分析】根据斜二测画法的性质进行求解即可.【详解】由图可知：在三角形中，，，由斜二测画法可知：在中，，所以的面积为，故答案为：24．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是____________ ．【答案】【详解】试题分析：画出长方体的展开图，在三种不同情况下，利用勾股定理得故小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．【解析】本题主要考查长方体的几何特征及其展开图．点评：“化曲为直”是常用方法之一，当把长方体展开图画出后小虫爬行最短距离转化为计算线段的长度．注意三种情况下，线段长度的比较．5．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________.【答案】【分析】把四棱锥放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．【详解】把四棱锥放置在长方体中，则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，，，，长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径，该阳马的外接球的表面积为．故答案为：．6．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为___________.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若mα，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若mα，则在β内一定存在与m垂直的直线.【答案】②④【分析】根据各项的线面关系，结合平面的基本性质判断正误即可.【详解】若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；若mα，在空间中其它平面都可找到与m平行的直线，故在面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.故答案为：②④7．如图所示，是所在平面外一点，平面平面，分别交线段，，于，，，若，则_____. 【答案】425##0.16【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到面积比．【详解】解：由图知，平面平面，平面，又由平面平面，则，同理可得，，，，，，，即，由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，．故答案为：．8．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________．【答案】1【分析】利用线面平行证明出，再通过中位线的性质证明出点为的中点，即可得出结论.【详解】，且平面平面，，四边形是菱形，为的中点，为的中点，即.9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为_____.【答案】7【详解】试题分析：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，解得r=7．故答案为7．【解析】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．10．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】【详解】试题分析：求不熟悉平面图形面积或者立体图形体积的时候，往往会通过割补、转化的方法，把问题转化为熟悉的面积问题或体积问题来处理，该圆锥被分成的这三部分从上至下分别为圆锥、圆台、圆台，所以这个问题相当于三个几何体的侧面积之比，而圆台的侧面积又等于圆锥侧面积的差，这样就把问题转化为求圆锥的侧面积问题 了，圆锥的侧面积为，设最上面圆的半径为,母线为,则下面两个圆的半径依次为，三部分几何体的侧面积分别为【解析】圆锥、圆台的侧面积问题．11．设、是直角梯形两腰的中点，于（如下图）．现将沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则、的连线与所成角的大小等于________．【答案】【分析】先取的中点，将平移到，则角或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中再利用等腰直角三角形的中线就是高这一原理即可求的结果.【详解】解：如图，取中点，连接，，点，点是，的中点，.，为直角梯形，，.,且，四边形为平行四边形，.，，.，.、的连线与所成角的大小等于.故答案为：.12．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________．【答案】【分析】分类讨论点的位置，当异于时，先作二面角的平面角，并设，进而转化为关于的函数，最后求出该函数的最小值即可【详解】如下图所示：当与重合时，可得：；②当异于时，延长交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面，平面，可得：过作于点，连接，可得：平面可得：故为平面与平面所成的角，即设，可得：，，可得：当且仅当，即为的中点时取等号.综上，的最小值为故答案为：【点睛】求二面角方法：（1）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；（2）通过向量法：建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，进而根据法向量表示出二面角；二、单选题13．已知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条．A．2 B．3 C．4 D．无数条【答案】D【分析】根据题意画出图形分析可得出答案.【详解】根据题意可作图如下，其中，则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故这样的直线有无数条.故选：D.14．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方体棱长为a,先由球的体积求球的半径r，直径2r为正方体体对角线，列等式即可求出棱长．【详解】正方体外接球的体积是则外接球的半径r=2，设正方体棱长为a,正方体的体对角线=2r=4，则棱长a=故选：D【点睛】本题考查正方体的外接球问题，掌握正方体的体对角线为球的直径是解题的关键.15．体积为的圆台，一个底面积是另一个底面积的倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A． B． C． D．【答案】A【分析】将圆台补成圆锥，利用几何体的相似比与面积比、体积比的关系，可得大圆锥的体积和圆台体积之比，即可得出答案．【详解】如图所示，将圆台补成圆锥，则图中小圆锥与大圆锥是相似的几何体设大、小圆锥的底面半径分别为r、R，高分别为h、H∵圆台上、下底面的面积之比为1：9，∴小圆锥与大圆锥的相似比为1：3，即半径之比且高之比 因此，小圆锥与大圆锥的体积之比（）3，可得 1，因此，截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比27：26，又圆台的体积为52cm3，则截该圆台的圆锥体积为52＝54．故选A．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，通过圆台的上下底面面积之比，求截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比．着重考查了锥体体积计算公式和相似几何体的性质等知识．16．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（ ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据异面直线夹角，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角的定义分别做PB与AC，PB与平面ABC，平面PAC与平面ABC的夹角，再根据三角函数的性质比较几个角的大小.【详解】如图，取BC的中点 D，作VO⊥平面ABC于点O，由题意知点O在AD上，且AO=2OD.作PE//AC，PE交VC于点E，作PF⊥AD于点F，连接BF，则PF⊥平面ABC取AC的中点M，连接BM，VM，VM交 PE于点H，连接BH，易知BH⊥PE，作于点G，连接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由线面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF∴ FG⊥AC,作FN⊥BM于点N.∵ PG∥VM，PF∥VN∴ 平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,四边形PFNH为平行四边形，所以PH=FN因此，直线PB 与直线AC所成的角，直线PB与平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，又又，∴ 因为∴ 综上所述，中最小角为，故选 B.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、解答题17．在长方体中，已知，，，E、F分别是线段AB、BC上的点，且.（1）求二面角的正切值；（2）求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．【详解】以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有3，、3，、0，、1，、3，于是，2，设向量与平面垂直，则有，其中取则是一个与平面垂直的向量，向量0，与平面CDE垂直，与所成的角为二面角的平面角，二面角的正切值为；设与所成角为，则，直线与所成的余弦值为．【点睛】本题主要考查了空间向量求平面间的夹角，异面直线的夹角，属于中档题．18．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．【答案】.【分析】设截面的圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积．【详解】解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球半径为R，因为O′A＝.在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝，所以R＝，所以S球＝4πR2＝π.19．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.【答案】；.【解析】首先根据题中条件求出侧面等腰梯形的高，再根据勾股定理求出棱台的高，最后利用棱台的体积公式求出棱台的体积.【详解】如图所示，在三棱台中，，分别为上、下底面的中心，，分别是，的中点，连接，，，，则点，分别在，上，是等腰梯形的高，记为，所以，上、下底面面积之和为，由，得，所以，又，，记棱台的高为，则，由棱台的体积公式，得棱台体积，计算得棱台体积.【点睛】本题主要考查了棱台的高与棱台的体积的计算，属于基础题.20．如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中．（1）求半径的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．（）【答案】（1） （2）克【分析】（1）在中，用余弦定理求出，用正弦定理求出，从而求出，再用正弦定理，即可求出结果；（2）求出该几何体截面面积，进而求出体积，即可求解.【详解】解：（1），所以，，，， .（2）.所以重量为克.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查几何体的体积，考查计算能力，属于中档题.21．如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点.（1）求证：平面；（2）若平面，试求的值；（3）当是中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）连接，易得，由正方形的性质有，再由线面垂直的性质及判定可证结论.（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，结合题设易得，再应用线面平行的判定可得平面，即可得的值.（3）连接，由题设易知二面角为，进而求的正余弦值，应用诱导公式及两角和余弦公式求二面角的余弦值.【详解】（1）连接，由、分别是、的中点，则，由为正方形，则，故，∵面，面，∴，，则平面；（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，由题设及（1），易知：是的四等分点靠近的位置，∴在△中，即，又面，面，∴平面，符合题设.故面时，.（3）连接，由（1）结论易知：二面角、的平面角分别为，则二面角为，由，，结合（2）知：，∴，，则，，由二面角的余弦值知：.
2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知，，，则与的位置关系是______.【答案】异面【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系.【详解】如图所示，因为，，故与不相交，又与不平行，故与的位置关系是异面.故答案为：异面2．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________．【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.【详解】由题意，正四棱柱如下图：不妨设正四棱柱底面边长为，，由已知条件可得，，又因为底面，所以对角线与底面所成角为，因为对角线与底面所成角的余弦值为，，所以，解得，从而，故该正四棱柱的表面积.故答案为：10.3．如图所示，是的直观图，则的面积_________（请用数字填写）【答案】2【分析】根据斜二测画法的性质进行求解即可.【详解】由图可知：在三角形中，，，由斜二测画法可知：在中，，所以的面积为，故答案为：24．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是____________ ．【答案】【详解】试题分析：画出长方体的展开图，在三种不同情况下，利用勾股定理得故小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．【解析】本题主要考查长方体的几何特征及其展开图．点评：“化曲为直”是常用方法之一，当把长方体展开图画出后小虫爬行最短距离转化为计算线段的长度．注意三种情况下，线段长度的比较．5．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________.【答案】【分析】把四棱锥放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．【详解】把四棱锥放置在长方体中，则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，，，，长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径，该阳马的外接球的表面积为．故答案为：．6．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为___________.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若mα，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若mα，则在β内一定存在与m垂直的直线.【答案】②④【分析】根据各项的线面关系，结合平面的基本性质判断正误即可.【详解】若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；若mα，在空间中其它平面都可找到与m平行的直线，故在面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.故答案为：②④7．如图所示，是所在平面外一点，平面平面，分别交线段，，于，，，若，则_____. 【答案】425##0.16【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到面积比．【详解】解：由图知，平面平面，平面，又由平面平面，则，同理可得，，，，，，，即，由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，．故答案为：．8．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________．【答案】1【分析】利用线面平行证明出，再通过中位线的性质证明出点为的中点，即可得出结论.【详解】，且平面平面，，四边形是菱形，为的中点，为的中点，即.9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为_____.【答案】7【详解】试题分析：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，解得r=7．故答案为7．【解析】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．10．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】【详解】试题分析：求不熟悉平面图形面积或者立体图形体积的时候，往往会通过割补、转化的方法，把问题转化为熟悉的面积问题或体积问题来处理，该圆锥被分成的这三部分从上至下分别为圆锥、圆台、圆台，所以这个问题相当于三个几何体的侧面积之比，而圆台的侧面积又等于圆锥侧面积的差，这样就把问题转化为求圆锥的侧面积问题 了，圆锥的侧面积为，设最上面圆的半径为,母线为,则下面两个圆的半径依次为，三部分几何体的侧面积分别为【解析】圆锥、圆台的侧面积问题．11．设、是直角梯形两腰的中点，于（如下图）．现将沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则、的连线与所成角的大小等于________．【答案】【分析】先取的中点，将平移到，则角或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中再利用等腰直角三角形的中线就是高这一原理即可求的结果.【详解】解：如图，取中点，连接，，点，点是，的中点，.，为直角梯形，，.,且，四边形为平行四边形，.，，.，.、的连线与所成角的大小等于.故答案为：.12．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________．【答案】【分析】分类讨论点的位置，当异于时，先作二面角的平面角，并设，进而转化为关于的函数，最后求出该函数的最小值即可【详解】如下图所示：当与重合时，可得：；②当异于时，延长交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面，平面，可得：过作于点，连接，可得：平面可得：故为平面与平面所成的角，即设，可得：，，可得：当且仅当，即为的中点时取等号.综上，的最小值为故答案为：【点睛】求二面角方法：（1）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；（2）通过向量法：建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，进而根据法向量表示出二面角；二、单选题13．已知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条．A．2 B．3 C．4 D．无数条【答案】D【分析】根据题意画出图形分析可得出答案.【详解】根据题意可作图如下，其中，则平面内任意一条与平行的直线都满足要求，故这样的直线有无数条.故选：D.14．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方体棱长为a,先由球的体积求球的半径r，直径2r为正方体体对角线，列等式即可求出棱长．【详解】正方体外接球的体积是则外接球的半径r=2，设正方体棱长为a,正方体的体对角线=2r=4，则棱长a=故选：D【点睛】本题考查正方体的外接球问题，掌握正方体的体对角线为球的直径是解题的关键.15．体积为的圆台，一个底面积是另一个底面积的倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A． B． C． D．【答案】A【分析】将圆台补成圆锥，利用几何体的相似比与面积比、体积比的关系，可得大圆锥的体积和圆台体积之比，即可得出答案．【详解】如图所示，将圆台补成圆锥，则图中小圆锥与大圆锥是相似的几何体设大、小圆锥的底面半径分别为r、R，高分别为h、H∵圆台上、下底面的面积之比为1：9，∴小圆锥与大圆锥的相似比为1：3，即半径之比且高之比 因此，小圆锥与大圆锥的体积之比（）3，可得 1，因此，截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比27：26，又圆台的体积为52cm3，则截该圆台的圆锥体积为52＝54．故选A．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，通过圆台的上下底面面积之比，求截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比．着重考查了锥体体积计算公式和相似几何体的性质等知识．16．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（ ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据异面直线夹角，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角的定义分别做PB与AC，PB与平面ABC，平面PAC与平面ABC的夹角，再根据三角函数的性质比较几个角的大小.【详解】如图，取BC的中点 D，作VO⊥平面ABC于点O，由题意知点O在AD上，且AO=2OD.作PE//AC，PE交VC于点E，作PF⊥AD于点F，连接BF，则PF⊥平面ABC取AC的中点M，连接BM，VM，VM交 PE于点H，连接BH，易知BH⊥PE，作于点G，连接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由线面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF∴ FG⊥AC,作FN⊥BM于点N.∵ PG∥VM，PF∥VN∴ 平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,四边形PFNH为平行四边形，所以PH=FN因此，直线PB 与直线AC所成的角，直线PB与平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，又又，∴ 因为∴ 综上所述，中最小角为，故选 B.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、解答题17．在长方体中，已知，，，E、F分别是线段AB、BC上的点，且.（1）求二面角的正切值；（2）求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．【详解】以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有3，、3，、0，、1，、3，于是，2，设向量与平面垂直，则有，其中取则是一个与平面垂直的向量，向量0，与平面CDE垂直，与所成的角为二面角的平面角，二面角的正切值为；设与所成角为，则，直线与所成的余弦值为．【点睛】本题主要考查了空间向量求平面间的夹角，异面直线的夹角，属于中档题．18．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．【答案】.【分析】设截面的圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积．【详解】解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球半径为R，因为O′A＝.在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝，所以R＝，所以S球＝4πR2＝π.19．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.【答案】；.【解析】首先根据题中条件求出侧面等腰梯形的高，再根据勾股定理求出棱台的高，最后利用棱台的体积公式求出棱台的体积.【详解】如图所示，在三棱台中，，分别为上、下底面的中心，，分别是，的中点，连接，，，，则点，分别在，上，是等腰梯形的高，记为，所以，上、下底面面积之和为，由，得，所以，又，，记棱台的高为，则，由棱台的体积公式，得棱台体积，计算得棱台体积.【点睛】本题主要考查了棱台的高与棱台的体积的计算，属于基础题.20．如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中．（1）求半径的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．（）【答案】（1） （2）克【分析】（1）在中，用余弦定理求出，用正弦定理求出，从而求出，再用正弦定理，即可求出结果；（2）求出该几何体截面面积，进而求出体积，即可求解.【详解】解：（1），所以，，，， .（2）.所以重量为克.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查几何体的体积，考查计算能力，属于中档题.21．如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点.（1）求证：平面；（2）若平面，试求的值；（3）当是中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）连接，易得，由正方形的性质有，再由线面垂直的性质及判定可证结论.（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，结合题设易得，再应用线面平行的判定可得平面，即可得的值.（3）连接，由题设易知二面角为，进而求的正余弦值，应用诱导公式及两角和余弦公式求二面角的余弦值.【详解】（1）连接，由、分别是、的中点，则，由为正方形，则，故，∵面，面，∴，，则平面；（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，由题设及（1），易知：是的四等分点靠近的位置，∴在△中，即，又面，面，∴平面，符合题设.故面时，.（3）连接，由（1）结论易知：二面角、的平面角分别为，则二面角为，由，，结合（2）知：，∴，，则，，由二面角的余弦值知：.
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