2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（    ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】判断是否存在唯一的有序实数对，使选项中的向量等于即可.【详解】由已知，与不共线，对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，该方程组无解，故选项A错误；对于B，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，解得，即，与，共面，故选项B正确；对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，该方程组无解，故选项C错误；对于D，由选项A及选项C的判断知，选项D错误.故选：B.2．已知在平行六面体中，同一顶点为端点的三条棱长都等于，且彼此的夹角都是，则此平行六面体的对角线的长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量基本定理，表示出，进而求出的长.【详解】如图，由题意可知，   ，．故选：D．3．已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（    ）A． B．C．或 D． 或【答案】C【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设，则，，因为，所以，，，所以，又，解得或，所以或，故选:C4．直线与直线交于点，则点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立直线的方程，求出点的坐标，再结合点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】联立，解得，故,所以点到直线的距离为，故选：B.5．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简曲线方程，根据方程确定曲线形状，位置及大小，根据直线与曲线的位置关系，列不等式求的取值范围.【详解】方程可化为且，所以曲线的轨迹为原点为圆心，半径为1的圆上横坐标为非负实数的点的集合，因为直线：表示与平行的直线系，为直线在轴上的截距，作出曲线和直线，对应的图象如下，从图中可知在，之间的平行线都与圆有两个交点，（包含，不包含直线），设的方程为，直线的方程为，其中，因为直线过点，所以，即，又到直线的距离为，所以，又，所以，所以当时，直线与曲线有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选：D．6．已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的面积以及该三角形为直角三角形可得，，然后结合，简单计算即可.【详解】依题意有，所以又，，所以，又，可得，即，则，故选：B.7．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意设椭圆右焦点为，根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率.【详解】设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，则，，由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率故选：C.8．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（    ）A．椭圆的离心率 B．椭圆离心率的平方C．短轴长与长轴长的比 D．短轴长与长轴长比的平方【答案】D【分析】特殊化，将P取为椭圆短轴端点.【详解】设椭圆方程为，为上顶点，则为原点. ，，则.故选：D.二、多选题9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ）A． B．C．的长为 D．【答案】BD【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.10．下列结论错误的是（    ）A．过点，的直线的倾斜角为B．直线与直线之间的距离为C．已知点，，点在轴上，则的最小值为D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是【答案】ABD【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义求出倾斜角可判断A；根据两平行线间的距离可判断B；点关于轴的对称点为，则求出最小值可判断C；求出临界值和，由可判断D，进而可得符合题意的选项.【详解】对于，因为，，所以，因为直线的倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为，故选项A错误；对于B，由可得，与平行，则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，对于C，点关于轴的对称点为，则，所以，的最小值为，故选项C正确，对于D，，，又因为直线与线段没有公共点，所以，故选项D错误，故选：ABD.11．圆：和圆：的交点为，，则有（    ）A．公共弦所在直线方程为B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为C．公共弦的长为D．圆：与圆关于直线对称【答案】ABD【分析】对于A，将两圆方程相减即可；对于B，切线段长，圆半径为定值，故令最小即可，而的最小值，就是到直线的距离；对于C，求出圆或圆的圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式求解即可；对于D，判断两圆半径是否相同，圆心是否关于直线对称即可.【详解】对于A，由已知两圆相交，将两圆方程相减得，即，∴公共弦所在直线方程为，故选项A正确；对于B，由选项A的判断知，直线的方程为， 圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，直线与圆相离，过作圆的切线，与圆切于点，则，∵，∴，∴线段长度的最小值为，故选项B正确；对于C，圆：的圆心，半径，由选项A的判断知，公共弦所在直线方程为，圆心到公共弦所在直线的距离，∴公共弦长，故选项C错误，对于D，圆：的圆心，半径，由选项C的判断知，圆的圆心，半径，两圆心连线的斜率，直线的斜率，∵，∴两圆心连线与直线垂直，又∵中点在直线上∴圆与圆的圆心关于直线对称，又∵，∴圆与圆关于直线对称，故选项D正确.故选：ABD.12．椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是（    ）A．椭圆的离心率为B．椭圆上存在点，使得C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点【答案】BD【分析】利用椭圆方程给出的信息逐项分析、推理、计算即可判断作答.【详解】对于A：因，，则，即，离心率， A错误；对于B：以线段为直径的圆O：，显然椭圆的短轴端点在圆O内，于是得圆O与椭圆C有公共点，即椭圆上存在点，有，则，B正确；对于C：显然直线AB不垂直于y轴，将直线的方程代入椭圆的方程得：，设，，，因此，因为，当且仅当取等号，则，C错误；对于D：椭圆中，，而伴随曲线中，，因此，曲线与椭圆C不可能有公共点，D正确. 故选：BD三、填空题13．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.【答案】【分析】由空间向量的基本定理求解即可【详解】因为BG＝2GD，所以，又，所以故答案为：14．在平面直角坐标系中，已知点，，圆C：，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是______．【答案】######【分析】设点，根据可得点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，将问题转化为两个圆有公共点问题，借助圆与圆的位置关系计算化简即可．【详解】解：设点，由可得，化简得即点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，因为点P在圆C：上，所以圆O和C有公共点， 所以，故即，所以，又，所以，故答案为：.15．已知点为圆上一点，且点到直线的距离的最小值为，则的值为 ________________.【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由圆上一点到直线距离的最小值为，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】解：将圆的方程化为标准方程得：，圆心坐标为，半径，圆上一点到直线距离最小值为，圆心到直线的距离为，即，解得．故答案为：16．已知是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于两点，若，则斜率的值为______．【答案】或【分析】由已知点A,B坐标即可表示椭圆标准方程，联立椭圆方程与直线EF可得，此后再由平面向量的已知关系构建方程求得参数即可.【详解】由题可知，该椭圆的方程为，直线，的方程分别为，设，其中，联立方程，故，由，知，由点D在直线AB上，则，所以或故答案为：或【点睛】本题考查椭圆的基本性质，还考查了由直线与椭圆的位置关系进而联立方程与已知平面向量关系求参数，属于较难题.四、解答题17．已知空间三点，，.(1)求以、为边的平行四边形的面积；(2)若，且分别与、垂直，求向量的坐标.【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据向量数量积的定义求出夹角的余弦值，从而根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，再根据面积公式计算可得；（2）设，依题意得到方程组，解得即可；【详解】（1）解：因为，，，所以，，所以，，，，∴，∴平行四边形面积为.（2）解：设，则，①∵，，所以，∴，②，③由①②③解得，，或，，.∴或.18．如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，，M为AD中点.(1)证明：直线面DEF；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，连接BD，可得，以为原点，为轴，竖直向上为轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算与平面的法向量的数量积为0即可得证；（2）分别计算出平面和平面的法向量，然后利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，连接BD，则为等边三角形，所以，以为原点，为轴，竖直向上为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设为平面的法向量，因为，则有， 取，又因为，所以，因为平面，所以平面；（2）解：分别设为平面和平面的法向量，因为，则有，取，因为，则有，取，所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.19．已知圆过点，，且圆心在直线：上.(1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.(2)若点在直线上运动，求的最小值.【答案】(1)(2)20【分析】（1）根据点关于线的对称，求解，由几何法求圆心坐标，进而根据两点坐标即可求解直线方程，（2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）点关于直线的对称点，解得，所以，由于圆过点，，因为圆心在直线：：上，垂直平分线的方程为，联立与得圆的圆心：    则反射光线必经过点和点，，由点斜式得为：，：，（2）设点，则，则又，故当时，的最小值为20．20．在平面直角坐标系中，已知圆：．(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程；(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直线即可；（2）根据题意得到，即，即，化简得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值.【详解】（1）直线的方程变形为，令，解得，所以无论取何值，直线过定点，又因为圆的圆心，因为过点的最短弦与垂直，且直线CM的斜率，所以最短弦所在直线的斜率为，故最短弦的直线方程为，即；（2）由于，所以，又，所以，所以，化简得，所以点的轨迹方程为，因为，所以取得最小值，即取得最小值，点到直线的距离，即的最小值为．21．已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且是与的等差中项.(1)求此椭圆方程；(2)若点满足，求的面积．【答案】(1) ;(2) .【分析】(1)根据椭圆的两焦点为，可设出椭圆的标准方程，再根据为椭圆上一点，且是与的等差中项，结合椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；(2)利用余弦定理和面积公式可以直接求出的面积．【详解】(1)设所求椭圆方程为，根据已知可得,所以此椭圆方程为；(2)在中，设，由余弦定理得：【点睛】本题考查了椭圆的定义和余弦定理以及三角形面积公式，考查了数学运算能力.22．已知椭圆的左、右焦点分别为， 离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且．(1)求的标准方程;(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线与轴的交点为定点时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设可得直线AD的方程令x=0，求出y，再根据韦达定理结合直线过定点可求出t的值.【详解】（1）由题意可知，点P的坐标为，则，解得，所以所求的椭圆C的标准方程为.（2）设，联立方程，消去y得：.所以.由题意得.所以直线AD的方程为：.令得：因为直线AD与y轴的交点为定点Q，所以，即，解得：.即当直线AD与y轴的交点为定点时，t的值为.