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2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考（1）数学试题（解析版）
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2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考（1）数学试卷一、单选题已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程为( )A. B. C. D. 设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A. 或 B. C. D. 或与向量平行的一个向量的坐标是( )A. B. C. D. 已知点，，则直线AB的斜率是( )A. QUOTE B. C. 3 D. 如图所示，在四面体中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则( ) A. B. C. D. 直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为( )A. QUOTE B. QUOTE C. D. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D. 已知直线l过定点，且方向量为，则点到l的距离为( )A. B. C. D. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )A. B. C. D. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为( )A. 4 B. 2 C. QUOTE D. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______ .直线l：被圆O：截得的弦长最短，则实数______.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是______.已知向量，，若，则__________.在中，已知，， 求边BC所在的直线方程； 求的面积．已知三角形的三个顶点的坐标分别是、、 求BC边所在直线的方程； 求BC边上的中线所在直线的方程．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点． 求证：平面PCD； 求PD与平面PMC所成角的正弦值．20.已知直线经过点，，直线经过点，，且，求实数a的值．21.如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，， 证明：平面平面； 在线段上是否存在点M，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且， 若点F为PD上一点且，证明：平面PAB； 求直线PA与平面BPD所成角的正弦 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为 故选： 2.【答案】D 【解析】解：， 直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或 故选： 3.【答案】C 【解析】解：对于C中的向量：， 因此与向量平行的一个向量的坐标是 故选： 4.【答案】D 【解析】解：因为，， 所以直线AB的斜率 故选 5.【答案】B 【解析】解： 连接ON， 是BC的中点，， ，， ， 故选： 6.【答案】C 【解析】解：因为M是的中点，为等边三角形，可得， 又平面，平面， 所以，而，， 所以平面， 以M为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，过M平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，， 又，所以，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以， 所以AM与平面所成角的正弦值为， 故选： 7.【答案】B 【解析】解：设该正四面体的棱长为1，为BC中点，N为AD中点， ， 是BC中点，N为AD中点， ， ， ， ， 根据异面直线所成角的定义知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 故选： 8.【答案】A 【解析】解：在直三棱柱中，，，，， 建立以C为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 则，，， 则， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选： 9.【答案】B 【解析】解：为平行四面体， 故选： 10.【答案】A 【解析】解：因为，， 所以， 又因为直线l的方向量为， 所以点P到l的距离为， 故选： 11.【答案】C 【解析】解：，，， ，，， ，， ，，，， 故选： 12.【答案】B 【解析】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为， 可得：， 可得，即， 所以双曲线的离心率为： 故选： 13.【答案】 【解析】解：直线与平行， 所以， 解得， 所以直线：， 直线：， 所以直线与之间的距离为： 故答案为： 14.【答案】1 【解析】解：直线MN的方程可化为， 由，得， 所以直线MN过定点， 因为，即点A在圆内． 当时，取最小值， 由，得， ，即 故答案为： 15.【答案】 【解析】解：设， ，，， 由点Q在直线OP上，可得存在实数使得， 则 ， 根据二次函数的性质，得当时，取得最小值 此时Q点的坐标为： 故答案为： 16.【答案】 【解析】解：因为向量，，， 由， 则， 解得 故答案为： 17.【答案】解：，， 边BC所在的直线方程为，即； 设B到AC的距离为d， 则， ， AC方程为：，即：， 【解析】 直接由两点式直线方程公式求解即可； 求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可． 18.【答案】解：因为、，所以， 所以直线BC的方程为，即； 因为，、，所以BC的中点为， 所以，所以中线AD的方程为，即； 【解析】首先根据斜率公式求出，再由点斜式求出直线方程； 求出BC的中点D的坐标，然后求出，再由点斜式求出直线方程； 19.【答案】解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，所以，， 由于，所以平面 ，， 设平面PMC的法向量为， 则， 令，则，，所以 设直线PD与平面PMC所成角为，则 【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面 利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值． 20.【答案】解：当直线的斜率不存在时，，解得， 此时，，直线的斜率为0，满足， 当直线的斜率存在时， 直线的斜率， 直线的斜率， ， ，解得， 综上所述，实数a的值为0或 【解析】根据已知条件，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即可求解． 21.【答案】解：证明：在中，，，， 有，可得， 又，，可得平面， 即有， 由四边形是边长为的正方形，可得， 而，可得平面， 又平面，则平面平面； 在线段上存在点M，使得，且 理由如下：由可得，以C为原点， CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 设，， 所以，解得，，， 所以，，要使， 则需，即，解得 故线段上存在点M，使得，且 【解析】运用勾股定理和正方形的性质，推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； 假设在线段上存在点M，使得，以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，，运用向量共线的坐标表示和向量垂直的数量积的坐标表示，可判断存在性． 22.【答案】证明：作交PA于点H，连接BH， 因为，则， 又且， 则且， 所以四边形HFCB为平行四边形， 故， 又平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB； 解：因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又 所以，则， 以点B为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以， 设平面PBD的法向量为， 则，即， 令，则，， 故， 所以， 故直线PA与平面BPD所成角的正弦值为 【解析】作交PA于点H，连接BH，利用且，证明四边形HFCB为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可； 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考（1）数学试卷一、单选题已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程为( )A. B. C. D. 设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A. 或 B. C. D. 或与向量平行的一个向量的坐标是( )A. B. C. D. 已知点，，则直线AB的斜率是( )A. QUOTE B. C. 3 D. 如图所示，在四面体中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则( ) A. B. C. D. 直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为( )A. QUOTE B. QUOTE C. D. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D. 已知直线l过定点，且方向量为，则点到l的距离为( )A. B. C. D. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )A. B. C. D. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为( )A. 4 B. 2 C. QUOTE D. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______ .直线l：被圆O：截得的弦长最短，则实数______.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是______.已知向量，，若，则__________.在中，已知，， 求边BC所在的直线方程； 求的面积．已知三角形的三个顶点的坐标分别是、、 求BC边所在直线的方程； 求BC边上的中线所在直线的方程．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点． 求证：平面PCD； 求PD与平面PMC所成角的正弦值．20.已知直线经过点，，直线经过点，，且，求实数a的值．21.如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，， 证明：平面平面； 在线段上是否存在点M，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且， 若点F为PD上一点且，证明：平面PAB； 求直线PA与平面BPD所成角的正弦 答案和解析1.【答案】C 【解析】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为 故选： 2.【答案】D 【解析】解：， 直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或 故选： 3.【答案】C 【解析】解：对于C中的向量：， 因此与向量平行的一个向量的坐标是 故选： 4.【答案】D 【解析】解：因为，， 所以直线AB的斜率 故选 5.【答案】B 【解析】解： 连接ON， 是BC的中点，， ，， ， 故选： 6.【答案】C 【解析】解：因为M是的中点，为等边三角形，可得， 又平面，平面， 所以，而，， 所以平面， 以M为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，过M平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，， 又，所以，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以， 所以AM与平面所成角的正弦值为， 故选： 7.【答案】B 【解析】解：设该正四面体的棱长为1，为BC中点，N为AD中点， ， 是BC中点，N为AD中点， ， ， ， ， 根据异面直线所成角的定义知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 故选： 8.【答案】A 【解析】解：在直三棱柱中，，，，， 建立以C为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 则，，， 则， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选： 9.【答案】B 【解析】解：为平行四面体， 故选： 10.【答案】A 【解析】解：因为，， 所以， 又因为直线l的方向量为， 所以点P到l的距离为， 故选： 11.【答案】C 【解析】解：，，， ，，， ，， ，，，， 故选： 12.【答案】B 【解析】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为， 可得：， 可得，即， 所以双曲线的离心率为： 故选： 13.【答案】 【解析】解：直线与平行， 所以， 解得， 所以直线：， 直线：， 所以直线与之间的距离为： 故答案为： 14.【答案】1 【解析】解：直线MN的方程可化为， 由，得， 所以直线MN过定点， 因为，即点A在圆内． 当时，取最小值， 由，得， ，即 故答案为： 15.【答案】 【解析】解：设， ，，， 由点Q在直线OP上，可得存在实数使得， 则 ， 根据二次函数的性质，得当时，取得最小值 此时Q点的坐标为： 故答案为： 16.【答案】 【解析】解：因为向量，，， 由， 则， 解得 故答案为： 17.【答案】解：，， 边BC所在的直线方程为，即； 设B到AC的距离为d， 则， ， AC方程为：，即：， 【解析】 直接由两点式直线方程公式求解即可； 求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可． 18.【答案】解：因为、，所以， 所以直线BC的方程为，即； 因为，、，所以BC的中点为， 所以，所以中线AD的方程为，即； 【解析】首先根据斜率公式求出，再由点斜式求出直线方程； 求出BC的中点D的坐标，然后求出，再由点斜式求出直线方程； 19.【答案】解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，所以，， 由于，所以平面 ，， 设平面PMC的法向量为， 则， 令，则，，所以 设直线PD与平面PMC所成角为，则 【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面 利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值． 20.【答案】解：当直线的斜率不存在时，，解得， 此时，，直线的斜率为0，满足， 当直线的斜率存在时， 直线的斜率， 直线的斜率， ， ，解得， 综上所述，实数a的值为0或 【解析】根据已知条件，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即可求解． 21.【答案】解：证明：在中，，，， 有，可得， 又，，可得平面， 即有， 由四边形是边长为的正方形，可得， 而，可得平面， 又平面，则平面平面； 在线段上存在点M，使得，且 理由如下：由可得，以C为原点， CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 设，， 所以，解得，，， 所以，，要使， 则需，即，解得 故线段上存在点M，使得，且 【解析】运用勾股定理和正方形的性质，推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； 假设在线段上存在点M，使得，以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，，运用向量共线的坐标表示和向量垂直的数量积的坐标表示，可判断存在性． 22.【答案】证明：作交PA于点H，连接BH， 因为，则， 又且， 则且， 所以四边形HFCB为平行四边形， 故， 又平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB； 解：因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又 所以，则， 以点B为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以， 设平面PBD的法向量为， 则，即， 令，则，， 故， 所以， 故直线PA与平面BPD所成角的正弦值为 【解析】作交PA于点H，连接BH，利用且，证明四边形HFCB为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可； 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
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