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2022-2023学年广东省江门市台山市华侨中学高二上学期期中数学试题（解析版）
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2022-2023学年广东省江门市台山市华侨中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若直线l过点且斜率，则l的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线的点斜式方程可求出.【详解】由点斜式可得直线方程为，整理得.故选：A.2．已知空间向量，，则（ ）A． B．6 C．36 D．40【答案】B【分析】根据空间向量的减法结合模长公式求解即可.【详解】由题意，.故选：B3．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为A． B． C．与相交但不垂直 D．【答案】A【详解】.本题选择A选项.4．若直线与直线平行，则的值为（ ）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】D【分析】利用两直线平行的条件列出方程，解之并检验即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得：或，当时，直线分别为和，满足题意；当时，直线分别为和，满足题意，综上：实数的值为或，故选：.5．平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）A．10 B．3 C． D．【答案】D【解析】利用点到平面的距离的向量公式求解.【详解】，则点到平面的距离.故选：D6．如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则A． B．C． D．【答案】A【解析】利用向量回路方法运算求解即可.【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面体中，，，，所以，，所以，故选：A．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法.7．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：C.8．下列命题正确的是（ ）A．若方程表示圆，则的取值范围是B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C．已知点在圆上，的最大值为1D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为【答案】D【分析】根据得到关于m的一元二次不等式，解之即可判断A；根据直线与圆相切等价于圆心到直线的距离为半径，即可判断B；设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率，结合的几何意义即可判断C；两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用几何法求出弦长即可判断D..【详解】A：若方程表示圆，则，即，解得或，故A错误；B：设圆心，则圆心到直线的距离为，解得，即，所以圆的标准方程是，故B错误；C：由可得，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故C错误；D：将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，圆心到直线的距离，所以弦长为，所以公共弦长为，故D正确.故选：D.二、多选题9．已知向量，，满足，，，设向量，的夹角为θ，则（ ）A． B． C． D．θ=135°【答案】BD【分析】根据向量的坐标运算直接计算可知.【详解】因为，所以，，即，因为，故A错误；因为，故B正确；又，所以C错误；因为，，所以，即，故D正确.故选：BD10．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）A．短轴长是3 B．的周长为15C．离心率 D．若，则的面积为9【答案】CD【分析】根据短轴长的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.【详解】A，由，可得，，所以椭圆的短轴长为，故A不正确；B，的周长为，故B不正确.C，离心率，故C正确；D，，，又因为，所以，即，解得,所以，故D正确.故选：CD11．下列结论错误的是（ ）A．直线恒过定点B．直线的倾斜角为150°C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条【答案】ABD【分析】A.将化为，得到即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.【详解】A. 因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B. 因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；C. 圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；D.因为圆的圆心为，半径为，当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；故选：ABD.12．在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A． B．平面EFPQC．平面EFPQ D．直线和所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】A.根据线面垂直作出判断；B.假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过面面平行来证明线面平行；D.将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所成角的余弦值.【详解】A．如图所示，因为，所以四边形是正方形，所以，又因为几何体为长方体，所以平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以，故结论正确；B．如图所示，假设平面，因为平面，所以，显然不成立，故假设错误，所以结论错误；C．如图所示，连接，由条件可知，所以，又因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；D．如图所示， 连接，因为，所以和所成角即为或其补角，由条件可知：，所以，故结论正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算，属于立体几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过将直线平移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角.三、填空题13．已知直线，，若，则的值为______.【答案】-1【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：-1.14．若，，且，则实数______________.【答案】【分析】题目考察向量数量积的坐标运算，向量垂直，即数量积等于0，从而求出参数的值【详解】，，因为，所以，即，解得： 故答案为：15．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______.【答案】【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案.【详解】椭圆的离心率为，设所求椭圆方程为，则，从而，，又，∴，∴所求椭圆的标准方程为.故答案为： .16．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为__________．【答案】【详解】试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.【解析】点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．四、解答题17．直线经过两条直线和的交点，且_____．(1)求直线的方程；(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线平行，②直线在轴上的截距为．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求解；选②，由点斜式求解即可；（2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解【详解】（1）选①直线经过两条直线和的交点，，解得，，即，直线与直线平行．可设直线的方程，把代入可得，直线的方程为，选②直线经过两条直线和的交点，，解得，，即，由题意可知直线的斜率存在，设为且，则过，代入可得，直线的方程，（2）在直线中，令可得，令可得，所以直线与坐标轴围成的三角形面积．18．在平面直角坐标系中，点，圆.(1)求的取值范围，并求出圆心坐标；(2)若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程.【答案】(1)的取值范围，圆心坐标为；(2)，或.【分析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）由，因为该方程表示圆，所以有，因此的取值范围，圆心坐标为；（2）若圆的半径为1，则有，当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意，当过的切线存在斜率时，设为，方程为，若圆的半径为1，则有，或，即，或，所以切线的方程为，或.19．已知向量，，.(1)求(2)当时，若向量与垂直，求实数和的値；(3)当 时，求证：向量与向量，共面.【答案】(1)(2)，(3)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的模的公式计算即可；（2）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可；（3）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.【详解】（1），，，.（2）因为，所以，解得，因为，且向量与垂直，所以，即，.所以实数和的值分别为和；（3）证明：当时，，设，则，，解得，即，所以向量与向量，共面.20．已知圆过三点，，(1)求圆的方程.(2)判断圆与直线的位置关系并证明.【答案】(1)；(2)相交，证明见解析.【分析】(1)设圆的一般方程，将点A、B、C的坐标代入，即可求解；(2)将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式可得，即可求解.【详解】（1）设圆的一般方程为，因为圆过点，所以，解得，所以圆的方程为；（2）圆与直线相交.证明如下：由(1)知，，化为标准方程为，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，得，所以圆与直线相交.21．已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.【答案】(1)椭圆的方程为：，；(2).【分析】(1)由题意可得，，再由可得，即可得椭圆的方程及离心率的值；(2)联立直线方程与椭圆方程得，由求解即可.【详解】（1）解：由题意可得， ，所以，，所以椭圆的方程为：；；（2）解：由，可得，因为直线与这个椭圆交于两不同的点，所以，解得，所以的取值范围为.22．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）底面中，根据余弦定理求，三边满足勾股定理，所以，又根据原几何体是直平行六面体，所以，也能证明，这样就垂直了平面内的两条相交直线，所以线面垂直；（Ⅱ）以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据公式.试题解析：（Ⅰ）证明：在中，∵，．由余弦定理，，∵，∴，在直平行六面体中，平面，平面，∴，又，∴平面．（Ⅱ）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，∵，，∴，，，，，，，设平面的法向量，令，得，，∴，设直线和平面的夹角为，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为．
2022-2023学年广东省江门市台山市华侨中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若直线l过点且斜率，则l的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线的点斜式方程可求出.【详解】由点斜式可得直线方程为，整理得.故选：A.2．已知空间向量，，则（ ）A． B．6 C．36 D．40【答案】B【分析】根据空间向量的减法结合模长公式求解即可.【详解】由题意，.故选：B3．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为A． B． C．与相交但不垂直 D．【答案】A【详解】.本题选择A选项.4．若直线与直线平行，则的值为（ ）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】D【分析】利用两直线平行的条件列出方程，解之并检验即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得：或，当时，直线分别为和，满足题意；当时，直线分别为和，满足题意，综上：实数的值为或，故选：.5．平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）A．10 B．3 C． D．【答案】D【解析】利用点到平面的距离的向量公式求解.【详解】，则点到平面的距离.故选：D6．如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则A． B．C． D．【答案】A【解析】利用向量回路方法运算求解即可.【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面体中，，，，所以，，所以，故选：A．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法.7．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：C.8．下列命题正确的是（ ）A．若方程表示圆，则的取值范围是B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C．已知点在圆上，的最大值为1D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为【答案】D【分析】根据得到关于m的一元二次不等式，解之即可判断A；根据直线与圆相切等价于圆心到直线的距离为半径，即可判断B；设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率，结合的几何意义即可判断C；两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用几何法求出弦长即可判断D..【详解】A：若方程表示圆，则，即，解得或，故A错误；B：设圆心，则圆心到直线的距离为，解得，即，所以圆的标准方程是，故B错误；C：由可得，表示圆上的点与原点连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故C错误；D：将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，圆心到直线的距离，所以弦长为，所以公共弦长为，故D正确.故选：D.二、多选题9．已知向量，，满足，，，设向量，的夹角为θ，则（ ）A． B． C． D．θ=135°【答案】BD【分析】根据向量的坐标运算直接计算可知.【详解】因为，所以，，即，因为，故A错误；因为，故B正确；又，所以C错误；因为，，所以，即，故D正确.故选：BD10．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）A．短轴长是3 B．的周长为15C．离心率 D．若，则的面积为9【答案】CD【分析】根据短轴长的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.【详解】A，由，可得，，所以椭圆的短轴长为，故A不正确；B，的周长为，故B不正确.C，离心率，故C正确；D，，，又因为，所以，即，解得,所以，故D正确.故选：CD11．下列结论错误的是（ ）A．直线恒过定点B．直线的倾斜角为150°C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条【答案】ABD【分析】A.将化为，得到即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.【详解】A. 因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B. 因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；C. 圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；D.因为圆的圆心为，半径为，当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；故选：ABD.12．在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A． B．平面EFPQC．平面EFPQ D．直线和所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】A.根据线面垂直作出判断；B.假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过面面平行来证明线面平行；D.将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所成角的余弦值.【详解】A．如图所示，因为，所以四边形是正方形，所以，又因为几何体为长方体，所以平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以，故结论正确；B．如图所示，假设平面，因为平面，所以，显然不成立，故假设错误，所以结论错误；C．如图所示，连接，由条件可知，所以，又因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；D．如图所示， 连接，因为，所以和所成角即为或其补角，由条件可知：，所以，故结论正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算，属于立体几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过将直线平移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角.三、填空题13．已知直线，，若，则的值为______.【答案】-1【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：-1.14．若，，且，则实数______________.【答案】【分析】题目考察向量数量积的坐标运算，向量垂直，即数量积等于0，从而求出参数的值【详解】，，因为，所以，即，解得： 故答案为：15．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______.【答案】【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案.【详解】椭圆的离心率为，设所求椭圆方程为，则，从而，，又，∴，∴所求椭圆的标准方程为.故答案为： .16．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为__________．【答案】【详解】试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.【解析】点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．四、解答题17．直线经过两条直线和的交点，且_____．(1)求直线的方程；(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线平行，②直线在轴上的截距为．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求解；选②，由点斜式求解即可；（2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解【详解】（1）选①直线经过两条直线和的交点，，解得，，即，直线与直线平行．可设直线的方程，把代入可得，直线的方程为，选②直线经过两条直线和的交点，，解得，，即，由题意可知直线的斜率存在，设为且，则过，代入可得，直线的方程，（2）在直线中，令可得，令可得，所以直线与坐标轴围成的三角形面积．18．在平面直角坐标系中，点，圆.(1)求的取值范围，并求出圆心坐标；(2)若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程.【答案】(1)的取值范围，圆心坐标为；(2)，或.【分析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）由，因为该方程表示圆，所以有，因此的取值范围，圆心坐标为；（2）若圆的半径为1，则有，当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意，当过的切线存在斜率时，设为，方程为，若圆的半径为1，则有，或，即，或，所以切线的方程为，或.19．已知向量，，.(1)求(2)当时，若向量与垂直，求实数和的値；(3)当 时，求证：向量与向量，共面.【答案】(1)(2)，(3)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的模的公式计算即可；（2）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可；（3）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.【详解】（1），，，.（2）因为，所以，解得，因为，且向量与垂直，所以，即，.所以实数和的值分别为和；（3）证明：当时，，设，则，，解得，即，所以向量与向量，共面.20．已知圆过三点，，(1)求圆的方程.(2)判断圆与直线的位置关系并证明.【答案】(1)；(2)相交，证明见解析.【分析】(1)设圆的一般方程，将点A、B、C的坐标代入，即可求解；(2)将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式可得，即可求解.【详解】（1）设圆的一般方程为，因为圆过点，所以，解得，所以圆的方程为；（2）圆与直线相交.证明如下：由(1)知，，化为标准方程为，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，得，所以圆与直线相交.21．已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.【答案】(1)椭圆的方程为：，；(2).【分析】(1)由题意可得，，再由可得，即可得椭圆的方程及离心率的值；(2)联立直线方程与椭圆方程得，由求解即可.【详解】（1）解：由题意可得， ，所以，，所以椭圆的方程为：；；（2）解：由，可得，因为直线与这个椭圆交于两不同的点，所以，解得，所以的取值范围为.22．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【详解】试题分析：（Ⅰ）底面中，根据余弦定理求，三边满足勾股定理，所以，又根据原几何体是直平行六面体，所以，也能证明，这样就垂直了平面内的两条相交直线，所以线面垂直；（Ⅱ）以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据公式.试题解析：（Ⅰ）证明：在中，∵，．由余弦定理，，∵，∴，在直平行六面体中，平面，平面，∴，又，∴平面．（Ⅱ）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，∵，，∴，，，，，，，设平面的法向量，令，得，，∴，设直线和平面的夹角为，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为．
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