2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.
【详解】因为所求直线与直线垂直，
所以其斜率为，
又所求直线过点，
因此，所求直线方程为，即.
故选：C.
2．若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（ ）
A．10B．－10
C．D．－
【答案】B
【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值
【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10．
故选：B
3．已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】计算出原点到直线的距离，即为所求.
【详解】当与直线垂直时，圆的半径最小，
因此，圆半径的最小值为.
故选：B.
4．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意,,所以,从而,,故选B．
【考点定位】考查双曲线方程．
5．已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设公比为，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值
【详解】成等差数列，得，即：，
所以＝16，
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
7．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.
【详解】设是中点，
.
故选：B
8．已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是
A．B．[,]
C．D．）
【答案】D
【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），
因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，
则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.
直线过定点（0，－2），直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：，解得：，
即实数的取值范围是）.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
9．已知圆：和圆：，以下结论正确的是（ ）
A．若和只有一个公共点，则
B．若，则和关于直线对称
C．若，则和外离
D．若且和的公共弦长为，则
【答案】BCD
【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径为.
圆心距.
当时，，两圆内切，和只有一个公共点，A选项错误.
当时，两个圆的半径相等，和关于直线对称，B选项正确.
当时，，即，和外离，C选项正确.
当，，，
所以，所以两圆相交，，两式相减并化简得，
即相交弦所在直线方程为，
所以公共弦长为，D选项正确.
故选：BCD
10．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C为圆B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则
C．当或时，曲线C为双曲线D．当曲线C为双曲线时，焦距等于4
【答案】AC
【分析】写出当时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当或时，判断的正负，即可判断C; 当曲线C为双曲线时,确定k的范围，求得焦距，可判断D.
【详解】当时,方程为，即，表示圆，故A正确；
若曲线C为椭圆，且焦距为，
则当焦点在x轴上， 且 ，解得 ；
当焦点在y轴上， 且 ，解得 ,
故此时或，故B错误；
当时， ，曲线表示的是焦点位于y轴上的双曲线；
当时， ，曲线表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；
当曲线C为双曲线时， ，即或，
当时，，焦距 ，
当时，，焦距 ，
故D错误，
故选：AC
11．已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则
B．若是等比数列，则
C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或
D．若是递增等差数列，对恒成立，则
【答案】BC
【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前项和求出，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.
【详解】因为数列的前项和为，与是方程的两根，
由韦达定理得，，，所以解得，或，；
对于A选项：若是等差数列，则，故A不正确；
对于B选项：若是等比数列，则，因为，
所以，则，故B正确；
对于C选项：若是递减等差数列，所以，，解得公差，
首项，所以，
故当或时取得最大值，故C正确；
对于D选项：若是递增等差数列，所以，，解得公差，
首项1，所以，因为对恒成立，
即恒成立，即恒成立，因为，
当且仅当时等号成立，故，则，故D不正确.
故选：BC.
12．如图所示，在正方体中，为的中点.则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
设该正方体的棱长为，
则，
因为，所以，
因为，所以，因此选项A正确；
因为，
所以，所以选项B正确；
因为,
所以有，所以选项C正确；
因为，
所以有，
所以不正确，因此选项D不正确，
故选：ABC
三、填空题
13．两直线与平行，则它们之间的距离为_______.
【答案】
【详解】因为直线与平行，得，
所以，即，
化为
由平行直线距离公式.
14．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则_________
【答案】
【解析】首先利用韦达定理可得，再利用等比数列的性质即可求解.
【详解】由韦达定理可知，，
则，，从而，且.
故答案为：
【点睛】本题考查了等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.
15．如图,在棱长都为1的平行六面体中,两两夹角均为,则__________.
【答案】0
【分析】根据空间向量的加减,将转化为之间的运算,再根据模及夹角计算结果即可.
【详解】解:由题知平行六面体棱长为1,
且两两夹角均为,
所以
.
故答案为:0
16．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．
【详解】由已知得，故，∵的面积为，
∴，∴，又，
∴，，∴，
又，∴，
∴.
即的取值范围为.
故答案为
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．
四、解答题
17．已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,再从①;②;③这三个条件中任选一个作为已知,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)选①时,;选②时,;选③时,.
【分析】(1)由题意设出公差,代入中,求出基本量即可求出通项公式;
(2)先选择一种条件,根据递推关系得到为等比数列,求出的首项和公比,用分组求和即可得.
【详解】（1）解:由题知是等差数列,
记数列公差为,
因为,
所以,
解得,
故;
（2）由(1)知,
当选择①时:
因为,,
故,
所以,
即为以2为首项,2为公比的等比数列,
所以,
;
当选择②时:
因为,,
故,
所以,
即为以2为首项,为公比的等比数列,
所以,
;
当选择③时:
因为,,
故,
所以,
即为以2为首项,-1为公比的等比数列,
所以,
.
18．已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
【答案】（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
【分析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.
【详解】（1）当时，
双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．如图，在长方体中，，，E为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）首先建立空间直角坐标系，证明；
（2）求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；
（3）求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.
【详解】（1）如图，以，，为轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，
所以；
（2），，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，令则，
所以，
则点到平面的距离；
（3）由（1）可知，
又，，且，
平面，是平面的法向量，
，
平面与平面夹角是锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.
20．已知抛物线的准线方程是.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON
试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以 抛物线的方程为.
（Ⅱ）证明：设，.
将代入，
消去整理得 .
所以 .
由，，两式相乘，得 ，
注意到，异号，所以 .
所以直线与直线的斜率之积为，
即 .
【解析】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程
21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面，是中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角的大小是；②．
若______，求与平面所成角的正弦值．
【答案】答案见解析.
【分析】若选①，先证明，轴，以为坐标原点，以，所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求与平面所成角的正弦值；
若选②，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求与平面所成角的正弦值.
【详解】若选①：
因为平面，所以，，
所以就是二面角的平面角，所以.
过作轴，以为坐标原点，以，所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，.
所以.
取平面的一个法向量.
设与平面所成角为，则.
所以与平面所成角的正弦值是.
若选②，
因为平面，，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.所以.
取平面的一个法向量.
设与平面所成角为，
则.
所以与平面所成角的正弦值是.
【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．已知圆，P（2，0），M点是圆Q上任意一点，线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，当M点在圆上运动时，点C的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C方程；
(2)已知直线l：x＝8，A、B是曲线C上的两点，且不在x轴上，，垂足为，，垂足为，若D（3，0），且的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由定义法求出曲线C的方程；
（2）先判断出直线AB过定点H(2,0)或H(4,0).当AB过定点H(4,0)，求出最大；当H(2,0)时，可设直线AB：.用“设而不求法”表示出，不妨设（），利用函数的单调性求出△ABD面积的最大值.
【详解】（1）因为线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，所以,
所以,符合椭圆的定义，
所以点C的轨迹为以P、Q为焦点的椭圆，其中，所以
，
所以曲线C的方程为.
（2）不妨设直线l：x＝8交x轴于G(8,0)，直线AB交x轴于H(h,0)，则,.
因为，， ，所以.
又因为的面积是△ABD面积的5倍，所以.
因为G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).
当H(4,0)时，则H与A（或H与B）重合，不妨设H与A重合，此时，，
要使△ABD面积最大，只需B在短轴顶点时，=2最大，所以最大；
当H(2,0)时，要想构成三角形ABD，直线AB的斜率不为0，可设直线AB：.
设,则，消去x可得：，
所以，，，
所以.
不妨设（），则，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，所以当t=4时，，此时最大
综上所述，△ABD面积的最大值为.
【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（2）解析几何中最值计算方法有两类：
①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：表示为函数，利用函数求最值.