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2022-2023学年河南省皖豫高二上学期阶段测试（一）数学试题 （解析版）
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这是一份2022-2023学年河南省皖豫高二上学期阶段测试（一）数学试题 （解析版）
2022―2023学年（上）高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）A. -7 B. -5 C. -2 D. 2【答案】A【解析】【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，则，即故选:A.2. 已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设，，，解得：（舍）或，.故选：A.3. 已知向量，分别为平面的法向量，则平面与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】，又平面与平面的夹角的取值范围为，平面与的夹角为.故选：C.4. 若直线，，能围成一个三角形，则须满足（ ）A. 且 B. 且C. 且 D. 且【答案】D【解析】【详解】由已知可得三条直线两两均不平行，所以且，即且，又直线与直线的交点为，且直线不过恒成立，故选：D.5. 若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由直线过点，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线方程为，即，故选：C.6. 如图所示，在平行六面体中，分别为的中点．若，则向量可用表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】.故选：B7. 在三棱锥中，，，，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由已知的，所以，所以，故选：C.8. 已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（ ）A. 4 B. C. D. 8【答案】B【解析】【详解】因为平面，平面，所以，又为矩形，则，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，得，则，设平面的法向量为，则，令，得，，所以，又，与平面的线面角的正弦值为，所以，解得，则，又，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在空间直角坐标系中，已知点则与垂直的向量的坐标可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【详解】，设与垂直，则有，即有，由选项可知：只有BD满足上式.故选：BD10. 关于直线，下列说法正确的是（ ）A. 当值变化时，总过定点B. 存在，使得与轴平行C. 存在，使得经过原点D. 存在，使得原点到的距离为3【答案】AC【解析】【详解】，A.其方程可变形为，令，得，即直线恒过定点.故选项A正确.B.时，直线方程变为，此时直线与轴垂直.时，直线方程变为，其斜率，则直线与轴不可能平行. 故选项B不正确.C.当，即时，直线过原点. 故选项C正确.D.若原点到的距离 ，则.因为，则方程无解，即原点到的距离.故选项D不正确.故选：AC11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，点与点在同一平面内，则点到点的距离可能为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】CD【解析】【详解】连接，因为为的中点，则也为的中点.由题意，，且，故四边形为平行四边形，故，故.又，，故.设点到平面的距离为，则，解得.又点与点在同一平面内，则点到点的距离大于等于.选项中CD满足.故选：CD12. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）A. 平面与垂直B. 平面与所成角余弦值为C. 直线与平面平行D. 直线与是异面直线【答案】AD【解析】【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；对于A，，，则平面与垂直，A正确；对于B，，平面与所成角的余弦值为，B错误；对于C，，，直线平面或直线平面，直线过点，又满足，直线平面，C错误；对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，由得：，此时无解，直线与直线无交点，直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若直线与直线互相平行，则实数_____．【答案】【解析】【详解】当时，，两直线不平行；当时，由，得，解得.故答案为：-2.14. 已知直线，直线经过点，若以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线的方程为_____．【答案】【解析】【详解】因为以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线与的倾斜角互补，则直线与的的斜率互为相反数，即.所以直线的方程为，即.故答案为：.15. 已知四点在平面内，且任意三点都不共线，点为平面外的一点，满足，则_____．【答案】2【解析】【详解】因为四点在平面内，且点为平面外的一点，则有，其中，而，所以，解得.故答案为：216. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的棱形，，．，，则_____．【答案】##0.5【解析】【详解】如图所示，取中点，连接，，，，又，，，，，又，且，平面，平面，又平面，，，，，设，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故答案为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：（1）经过直线和的交点，且与直线垂直；（2）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．【答案】（1） （2）或．【解析】【小问1详解】由，解得∴和的交点为．∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即．【小问2详解】当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的方程为；当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为．综上可得l的方程为或．18. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且平面，分别为棱的中点．（1）用向量表示；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】.【小问2详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.19. 已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．（1）若与关于直线对称，求和的倾斜角（2）若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时．求的方程．【答案】（1），的倾斜角分别为和 （2）．【解析】【小问1详解】直线的倾斜角为60°．∵，关于直线对称，且，∴，与直线的夹角均为，∴，倾斜角分别为和．【小问2详解】∵，，，∴四边形为矩形．设，，则，，当且仅当时取等号．若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到的距离为，令，得（负值舍去）．∴当的面积最大时，的方程为．20. 在中，已知的平分线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】设关于的平分线的对称点为，则直线为线段的中垂线，∴解得即，再由，B直线BC上，可得，所以直线BC的方程为，即．由解得可得点C的坐标为，【小问2详解】∵，，∴，∴直线AB方程为，即，则点C到直线AB的距离为，而，∴的面积为．21. 如图所示，在三棱锥中，平面，点分别在棱上，满足，且．（1）求实数的值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1） （2）．【解析】【小问1详解】∵平面ABC，平面，∴，又∵，，平面，∴平面PCD，平面，∴．由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．所以，因为，所以，，，所以，∴．∵，，∴.∴．由，解得．【小问2详解】由（1）及条件可得，，，，．设平面PDE的法向量为，则令，得，，所以．又，∴，∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．22. 如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面平面且，棱与的中点分别为．（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【小问1详解】由题意得上底面面积为，下底面面积为，设三棱台的高为h，则，得．设DF的中点为I，如图，连接GB，GI，由条件可知GB，GC，GI两两互相垂直，以G为坐标原点，以GB，GC，GI所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由已知可得，，，∴，，设平面FGH的法向量为，则,令，可得．由，可得，∴，又平面FGH，∴平面FGH．【小问2详解】由（1）知平面FGH，直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d．∵，∴．【小问3详解】设平面BCF的法向量为，由，，可得，，∴，令，得．∴，∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为．
2022―2023学年（上）高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）A. -7 B. -5 C. -2 D. 2【答案】A【解析】【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，则，即故选:A.2. 已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设，，，解得：（舍）或，.故选：A.3. 已知向量，分别为平面的法向量，则平面与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】，又平面与平面的夹角的取值范围为，平面与的夹角为.故选：C.4. 若直线，，能围成一个三角形，则须满足（ ）A. 且 B. 且C. 且 D. 且【答案】D【解析】【详解】由已知可得三条直线两两均不平行，所以且，即且，又直线与直线的交点为，且直线不过恒成立，故选：D.5. 若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由直线过点，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线方程为，即，故选：C.6. 如图所示，在平行六面体中，分别为的中点．若，则向量可用表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】.故选：B7. 在三棱锥中，，，，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由已知的，所以，所以，故选：C.8. 已知四棱锥的底面为矩形，平面，直线与平面所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为（ ）A. 4 B. C. D. 8【答案】B【解析】【详解】因为平面，平面，所以，又为矩形，则，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，得，则，设平面的法向量为，则，令，得，，所以，又，与平面的线面角的正弦值为，所以，解得，则，又，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在空间直角坐标系中，已知点则与垂直的向量的坐标可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【详解】，设与垂直，则有，即有，由选项可知：只有BD满足上式.故选：BD10. 关于直线，下列说法正确的是（ ）A. 当值变化时，总过定点B. 存在，使得与轴平行C. 存在，使得经过原点D. 存在，使得原点到的距离为3【答案】AC【解析】【详解】，A.其方程可变形为，令，得，即直线恒过定点.故选项A正确.B.时，直线方程变为，此时直线与轴垂直.时，直线方程变为，其斜率，则直线与轴不可能平行. 故选项B不正确.C.当，即时，直线过原点. 故选项C正确.D.若原点到的距离 ，则.因为，则方程无解，即原点到的距离.故选项D不正确.故选：AC11. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，点与点在同一平面内，则点到点的距离可能为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】CD【解析】【详解】连接，因为为的中点，则也为的中点.由题意，，且，故四边形为平行四边形，故，故.又，，故.设点到平面的距离为，则，解得.又点与点在同一平面内，则点到点的距离大于等于.选项中CD满足.故选：CD12. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）A. 平面与垂直B. 平面与所成角余弦值为C. 直线与平面平行D. 直线与是异面直线【答案】AD【解析】【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；对于A，，，则平面与垂直，A正确；对于B，，平面与所成角的余弦值为，B错误；对于C，，，直线平面或直线平面，直线过点，又满足，直线平面，C错误；对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，由得：，此时无解，直线与直线无交点，直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若直线与直线互相平行，则实数_____．【答案】【解析】【详解】当时，，两直线不平行；当时，由，得，解得.故答案为：-2.14. 已知直线，直线经过点，若以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线的方程为_____．【答案】【解析】【详解】因为以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则直线与的倾斜角互补，则直线与的的斜率互为相反数，即.所以直线的方程为，即.故答案为：.15. 已知四点在平面内，且任意三点都不共线，点为平面外的一点，满足，则_____．【答案】2【解析】【详解】因为四点在平面内，且点为平面外的一点，则有，其中，而，所以，解得.故答案为：216. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的棱形，，．，，则_____．【答案】##0.5【解析】【详解】如图所示，取中点，连接，，，，又，，，，，又，且，平面，平面，又平面，，，，，设，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故答案为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 分别求出满足下列条件的直线的方程：（1）经过直线和的交点，且与直线垂直；（2）过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．【答案】（1） （2）或．【解析】【小问1详解】由，解得∴和的交点为．∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即．【小问2详解】当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的方程为；当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为．综上可得l的方程为或．18. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且平面，分别为棱的中点．（1）用向量表示；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】.【小问2详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.19. 已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．（1）若与关于直线对称，求和的倾斜角（2）若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时．求的方程．【答案】（1），的倾斜角分别为和 （2）．【解析】【小问1详解】直线的倾斜角为60°．∵，关于直线对称，且，∴，与直线的夹角均为，∴，倾斜角分别为和．【小问2详解】∵，，，∴四边形为矩形．设，，则，，当且仅当时取等号．若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到的距离为，令，得（负值舍去）．∴当的面积最大时，的方程为．20. 在中，已知的平分线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】设关于的平分线的对称点为，则直线为线段的中垂线，∴解得即，再由，B直线BC上，可得，所以直线BC的方程为，即．由解得可得点C的坐标为，【小问2详解】∵，，∴，∴直线AB方程为，即，则点C到直线AB的距离为，而，∴的面积为．21. 如图所示，在三棱锥中，平面，点分别在棱上，满足，且．（1）求实数的值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1） （2）．【解析】【小问1详解】∵平面ABC，平面，∴，又∵，，平面，∴平面PCD，平面，∴．由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．所以，因为，所以，，，所以，∴．∵，，∴.∴．由，解得．【小问2详解】由（1）及条件可得，，，，．设平面PDE的法向量为，则令，得，，所以．又，∴，∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．22. 如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面平面且，棱与的中点分别为．（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【小问1详解】由题意得上底面面积为，下底面面积为，设三棱台的高为h，则，得．设DF的中点为I，如图，连接GB，GI，由条件可知GB，GC，GI两两互相垂直，以G为坐标原点，以GB，GC，GI所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由已知可得，，，∴，，设平面FGH的法向量为，则,令，可得．由，可得，∴，又平面FGH，∴平面FGH．【小问2详解】由（1）知平面FGH，直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d．∵，∴．【小问3详解】设平面BCF的法向量为，由，，可得，，∴，令，得．∴，∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为．
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