2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期11月月考数学（理）试题（解析版）

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2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期11月月考数学（理）试题一、单选题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（    ）A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；【详解】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，∴，，，，∴，，，从而，，，故选：B．2．若，，三点共线，则的值为（    ）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】三点共线转化为向量共线，由向量共线可得．【详解】由题意，三点共线，即共线，所以存在实数，使得，所以，解得．所以．故选：A．【点睛】本题考查空间向量共线定理，考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．3．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.4．在长方体中，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别以，，为，，轴正方向建系，则可求出的坐标，进而可求出，的坐标，代入公式即可求解.【详解】分别以，，为，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，则，.设直线与所成角的大小为，则，所以.故选：A.【点睛】本题考查空间向量中异面直线夹角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题.5．已知､两点，直线：与线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】直线恒过点，则直线的斜率为，直线的斜率为，如图，由图可知直线的斜率的取值范围是，故选：D6．直线，（，a、）的图象可能是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】首先假定每个选项中的图象正确，则可得正负，由此可确定图象所经过的象限，对比选项中的图象即可得到结果.【详解】将化为，将化为.对于A，若图象正确，则，，图象经过第一、二、四象限，A不正确；对于B，若图象正确，则，，图象经过第一、二、三象限，B不正确；对于C，若图象正确，则，则，，图象经过第一、二、四象限，C不正确；对于D，若图象正确，则，，图象经过第二、三、四象限，D正确.故选：D.7．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.【详解】设圆的方程为，由题意得，解得，所以，又因为点在圆上，所以，即.故选：C.8．已知圆及直线，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由直线方程可确定直线所过定点；由过圆内一点最长弦为直径、最短弦为与最长弦垂直的弦，结合垂径定理可求得最长弦和最短弦，由对角线垂直的四边形面积公式可求得结果.【详解】将圆方程整理为：，则圆心，半径；将直线方程整理为：，则直线恒过定点，且在圆内；最长弦为过的圆的直径，则；最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，，，直线方程为，即，圆心到直线的距离为，；四边形的面积.故选：A.【点睛】结论点睛：过圆内一点的最长弦为圆的直径；最短弦为过且与最长弦垂直的弦.二、多选题9．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（    ）A．若，则B．两两共面，但不可能共面C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【分析】对于A选项，垂直关系不传递判断；对于B选项，由基底的概念判断；对于C选项，由空间向量的基本定理判断；对于D选项，易知不共面．假设共面，利用反证法判断.【详解】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，A选项错误．对于B选项，根据基底的概念可知两两共面，但不可能共面，B选项正确．对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确．对于D选项，由于是空间一个基底，所以不共面．假设共面，不妨设，化简得，因为不共面，则，而方程无解，所以不共面，可以作为空间的一个基底，D选项正确．故选：BCD．10．四边形中，，，现将沿拆起，当二面角的大小在时，直线和平面所成的角为，则的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此确定正确选项.【详解】是边长为的等边三角形，是以为直角的等腰三角形，设的中点为，则，二面角的平面角为.以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设.则，即，，平面的法向量为，直线与平面所成角为，则，，，所以.故选：AB11．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）A．点到右焦点的距离的最大值为9，最小值为1B．的最小值为C．若，则的面积为9D．直线与直线斜率乘积为定值【答案】ACD【分析】根据椭圆的性质可以判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，再结合基本不等式即可判断B；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C；设出点P的坐标，得到斜率，进而结合点P的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.【详解】对A，，则，A正确；对B，记，则，由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B错误；对C， ，所以，C正确；对D，设，则，，于是,D正确.故选：ACD.12．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（    ）A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆B．曲线可表示为焦距是4的双曲线C．曲线可表示为离心率是的椭圆D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线【答案】ACD【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可【详解】由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或．其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．故选:ACD．三、填空题13．若, ,则与同方向的单位向量是_______.【答案】【分析】先由已知求出的坐标，再除以可得答案【详解】因为,，所以所以与同方向的单位向量为，故答案为：14．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.【答案】【解析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.【详解】由，解得根据二次函数的性质得出，即曲线可化为，所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示当直线运动到时，过，代入得：当直线运动到时，此时与曲线相切则，解得或（舍）要使得直线与曲线有公共点，则故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.15．若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为__________．【答案】【解析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知则所以椭圆右焦点为长半轴为.根据题意可知，为圆心，为圆的半径.则圆的方程为.故答案为：.16．设分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则=______.【答案】【分析】先设P点，中点，再求焦点,再根据线段的中点在轴上，求出P点坐标，再利用焦半径公式即可得的长,则可解.【详解】设，中点. 由题意得，，由线段的中点在轴上，则有，，代入中得P点坐标为或根据焦半径公式可得，，∴.故答案为：.【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P点坐标.四、解答题17．已知，.（1）若，分别求与的值；（2）若，且与垂直，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据平行关系可得，由此构造方程组求得结果；（2）根据向量垂直和模长可构造方程组求得，由此得到.【详解】（1）由得：，即，解得：；（2），，又，，即，由得：，.18．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接交于点，连接，为的中点，易得四边形为平行四边形，从而，再利用线面垂直的判定定理证得平面即可.（2）以O为原点，以OB，OC，OF建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，然后由求解.【详解】（1）如图所示：连接交于点，连接，为的中点，所以，，又为的中点﹐，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，.直四棱柱中，平面，平面，所以.又因为底面是菱形，所以，又，平面，平面，所以平面.所以平面.（2）建立如图空间直角坐标系，由，知，又，则，，，，设为平面的一个法向量.由，得，令，可得.设为平面的一个法向量.由，即，令，可得..如图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC，BD的夹角为β，则cos β＝.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．已知直线方程经过两条直线与的交点.(1)求垂直于直线的直线的方程；(2)求与坐标轴相交于两点，且以为中点的直线方程．【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）联立方程组求出两直线的交点，再由直线垂直的条件求得直线的斜率，代入直线方程的点斜式可得到直线的方程；（2）设过点的直线与轴交于点与轴交于点，由中点坐标公式求得的值，得到的坐标，可求出所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.试题解析：(1)由解得，∴点P的坐标是(－2,2)．∵所求直线l与l3垂直，∴设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，得C＝2.∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.(2)设与x轴交于A(a,0)，与y轴交于B(0，b)，∵点P(－2,2)为中点，∴a＝－4，b＝4，直线方程l为＝1，即x－y＋4＝0.20．已知圆，点、，其中．（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若以为直径的圆与圆有公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）求出圆心的圆心坐标与半径长，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，求出的值，进而可求得直线的方程；（2）求出线段的中点的坐标，由题意可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径为，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，解得或，因此，直线的方程为或；（2）线段的中点为，且，由于以为直径的圆与圆有公共点，则，可得，解得，故实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为、，半径分别为、，可将问题等价转化为来处理.21．已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内接于矩形，与轴交于点，点是半圆上异于，的任意一点.当点位于点处时，的面积最大.（1）求曲线的方程；（2）连，分别交于点，，求证：为定值.【答案】(1) 和. (2)证明见解析，定值为4【分析】（1）由点在半圆上，求得，再由的面积最大，则与半圆在点处的切线平行，从而可求得，可得曲线方程．（2）设，写出直线方程，求出点坐标，计算即可．【详解】（1）因为点在半圆上，得，∵，∴，当半圆在点处的切线与直线平行时，的面积最大.∵，∴，，，所以曲线的方程和.（2）得，，设，则：，令，得，：，令，得，又，，，所以.【点睛】本题考查求曲线的方程，考查解析几何中的定值问题．对于定值问题，直接设动点坐标，然后根据已知计算点的坐标，计算线段长度等等，再利用动点在曲线上的性质得出定值是一种基本方法．22．已知椭圆上的动点P到右焦点距离的最小值为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l和椭圆C交于M、N两点，A为椭圆的右顶点，，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意，得到，求得且，即可得到椭圆C的方程；（2）设直线的方程为，进而得到直线的方程为，联立方程组，求得点的横坐标，得出,进而得到的面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆上的动点P到右焦点距离的最小值为，可得，解得，又由，故椭圆C的方程为.（2）设直线的方程为，不妨设.因为，则直线的方程为.由可得.设，因为点A的坐标为，所以，即，所以，同理可得，所以的面积，当且仅当，即时等号成立.所以面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．