2022-2023学年湖南省岳阳市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年湖南省岳阳市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.故选：B2．如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.3．等比数列的各项均为正数，且，则（    ）A．5 B．10 C．4 D．【答案】A【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则 =5. 故选：A4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离；故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.5．椭圆的焦距为2，则的值等于（      ）.A．5 B．8 C．5或3 D．5或8【答案】C【分析】分焦点在轴，轴上两种情况，利用，，即可求出的值.【详解】当焦点在轴上时：，，解得：，当焦点在轴上时：，，解得：，所以或，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.6．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（    ）A．224 B．448 C．或448 D．或224【答案】C【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，确定球心在直线上，分球心在线段上或其延长线上两种情况，并利用勾股定理求出，最后根据刍童的体积公式即可求得结果．【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，则由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在直线上，由题意可得，，设球的半径为，由，得．连接，，在中，，即，得．在中，，即，得．当球心在线段上时，，则该刍童的体积；当球心在线段的延长线上时，，则该刍童的体积为．故选：C．7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以，故选：A8．如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体 的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接交于点，过作//交于点，交于，连接.因为四边形是正方形，故可得，又因为平面平面，且交线为，又平面，故平面，不妨设，故可得多面体的体积；则，解得；又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上，且为的中点，设外接球半径为，则；将代入可得，不妨令，则，则，容易知是关于的单调增函数，且当时，，故可得在上单调递减，在单调递减.故.则外接球表面积的最小值.故选：B.【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.二、多选题9．设函数的导函数为，则（    ）A． B．是函数的极值点C．存在两个零点 D．在(1，+∞)上单调递增【答案】AD【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.【详解】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；，得，中，，所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.故选：AD10．如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为【答案】ABD【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：正方体的棱长为2对于选项A：连接，设交于O点平面即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；对于选项B：连接，设交于O点平面点到平面的距离为,故B正确；对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥故异面直线和所成的角即为和所成的角又为等边三角形故C错误；对于选项D：过作，过作，连接PQ为异面直线之间的距离，这时距离最小；设，为等腰直角三角形，则，也为等腰直角三角形，则为直角三角形故当时，取最小值，故，故D正确；故选：ABD11．已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，下列说法正确的是（    ）A．当时，的最小值是B．当时，的取值范围是C．当时，为定值D．当，且时，【答案】ABCD【分析】根据圆的几何性质判断A，由圆上点与圆内点的距离最值分别为过该点直径端点判断B，根据直线与圆相交，根与系数的关系，向量运算判断C，根据圆的几何性质及线段中点求解判断D.【详解】当时，，则，点在圆内，当为直线AB的中垂线时，，故A正确；当时，，则，点在圆内，由圆的性质知，，，故的取值范围是，故B正确；当时，在圆外，当直线斜率存在时，设直线为，设，联立方程可得，当时，，，，当直线斜率不存在时，直线为，则，，综上为定值,故C正确；当时， ，在圆外，设且交点为，则,由知，设，则，解得，所以在直角三角形中，故，所以，故D正确.故选：ABCD12．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，【答案】BCD【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.【详解】设，，，， ，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，，所以，，，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.三、填空题13．圆：与圆：的公切线条数为____________.【答案】3【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.【详解】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.故答案为：314．在空间直角坐标系中，若三点、、满足，则实数的值为__________.【答案】##【分析】分析可知，结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得，，因为，则，即，解得.故答案为：.15．已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．【答案】14【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，从而可得，，得出答案.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形所以, 由椭圆的定义可得，所以所以的周长为：故答案为：1416．已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为___________.【答案】【分析】设切点分别是，得到，化简可得a，转化为是方程的解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设，的公切线的斜率为，直线与，图象的切点分别是，若不存在，则不是图象的切线，所以存在，则，可得，所以，根据题意，此关于的方程有解；令，则有零点，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以有零点当且仅当，解得，即所求a的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式；（2）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设公差为，，∴，解得，∴．（2）∵，， ∴＝，∴当时，最小，最小值为．18．已知圆（1）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短.（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；【答案】（1）；（2）【分析】（1）直线过定点,当时，弦长最短，圆的圆心为，可得，由，可求出；（2）设圆的圆心为，圆心与关于直线对称，可求出的坐标，再由两个圆半径相等，可求出圆的标准方程.【详解】（1）由直线，可化为，可得直线过定点,当时，弦长最短，圆的圆心为，则，因为，所以，（2）由题意，圆的圆心，半径为，设圆的圆心为，因为圆心与关于直线对称，所以，解得，则，半径， 所以圆标准方程为：【点睛】本题考查了弦长问题，考查了两圆关于直线的对称问题，考查了学生的计算求解能力，属于中档题.19．如图所示，在直三棱柱中，，，，分别为棱､的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】构建以为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，并根据已知确定相关点坐标，（1）求面的法向量及，利用空间向量数量积的几何意义可知到平面的距离，即可求距离.（2）求面的法向量为，面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求面与面夹角的余弦值.【详解】如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，得,0,，,2,，,0,，,0,，∴,,，,2,，,0,，（1）设平面的法向量为,,，则，取，得,0,，∴点到平面的距离为.（2）,2,，,0,，则,2,，,0,，设平面的法向量为,,，则，取，得，,，而平面的法向量,1,，设平面与平面夹角为，则平面与平面夹角的余弦值为：.20．已知数列满足，且，是的前n项和．(1)求；(2)若为数列的前n项和，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）运用累和法、裂项相消法进行求解即可；（2）根据放缩法，结合、裂项相消法进行运算证明即可.【详解】（1）∵，∴，，…．由上述个等式相加得，∴，∴，；（2），，∴.21．已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点,(1)求k的取值范围;(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．【答案】（1）；（2），面积为.【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为，由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的的取值范围；（2）利用弦长公式计算得直线斜率为.由题设向量关系，得到，代入双曲线方程，求得，利用面积公式求得面积为.【详解】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，得，故曲线的方程为；设，由题意建立方程组，消去，得，又直线与双曲线左支交于两点，有，解得，（2），依题意得，整理后得，∴或，但∴，故直线的方程为，设，由已知，得，∴，又，∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴，点的坐标为，到的距离为，∴的面积.22．函数，.（1）试讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的集合；（3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.【答案】（1）当时，在 上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.【分析】（1）求导，利用解不等式，分类讨论即可；（2）利用（1）中的单调性结论求的最小值，可得关于的不等式，再解关于的不等式即可；（3）令，原问题转化为的根的个数问题，讨论的单调性，找出根的个数即可.【详解】（1）定义域为： ，，由得： ，当时，， 在 上是减函数，在上是增函数，当时，， 在上是减函数，当时，，在上是减函数，综上所述，当时，在 上是减函数，在上是增函数，          当时，在上是减函数.（2）由（1）知，当时，，由恒成立得，，设，，，由得：， 在 上是增函数，在上是减函数，，，要使恒成立，则，当时，在上是减函数，且，当，，不合题意，综上所述，实数的集合；（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：由得，，令，因为，所以是的一根，， ，当时，，，所以，在上单调递减，，即在上无实根；，当时，，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一实数根 ，，且满足，①当时，，在上单调递减，此时，在上无实根；②当时，，在上单调递增，此时，，故在上有唯一实根；，当时，由（1）知，在上单调递增，所以，故即在上无实根；综合，，得，有且仅有两个实根，即的图象与的图象有且仅有2个交点.【点睛】（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准是解此题的关键；（2）关于恒成立问题，我们首先看能否分离参数，不能分离参数时要分类讨论，注意分类要做到不重复，不遗漏；（3）关于两个函数的交点个数问题，我们一般采用画图法，如果不能画图，构造一个函数，讨论的根的个数问题.