2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高二上学期1月网课调研数学试题（解析版）

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2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高二上学期1月网课调研数学试题一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据指数函数、对数函数的性质求出集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以；故选：B2．若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出复数，再求出的共轭复数判断所在象限即可.【详解】由得，则，则复平面内的共轭复数对应的点位于第一象限.故选：A.3．已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【分析】由公比且可得充分性不成立，必要性显然成立，由此可得答案.【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立，当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立.综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件.故选：A4．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题利用勾股定理求出半径，再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题.【详解】由题意得：，所以cm，所以cm，所以两个球冠的面积为cm2，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：cm2，故选：C.5．若，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.【详解】，.由，可得，即.，，，，且，根据函数易知：，即得：.故选：A6．为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“合检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对来自重点管控区的人进行核酸检测，若有人感染病毒，则随机将其平均分成组后这两名感染患者在同一组的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据组合计数原理结合平均分组法以及古典概型的概率公式可求得结果.【详解】若有人感染病毒，随机这人平均分成组，则这两名感染患者在同一组的分组方法数为，因此，所求概率为.故选：C.7．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（    ）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函数的周期为，再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由，得，即，所以，所以函数的周期为，又为偶函数，则，所以，所以函数也为偶函数，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故选：.8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多选题9．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为C．与共线的单位向量只有一个为D．存在，使得【答案】BD【分析】根据向量垂直、向量投影、向量夹角、共线向量、单位向量以及模的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，则，，A选项错误.B选项，在上的投影向量为，所以， ，由于，所以，B选项正确.C选项，与共线的单位向量可以是，即和，所以C选项错误.D选项，若，则，，，，其中，所以，由于，，则当时，，所以存在，使得，D选项正确.故选：BD10．（多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球，先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（    ）A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件C不是独立事件C． D．【答案】BCD【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.【详解】对于A：事件B与事件C能同时发生，事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；对于B：事件A发生与否与事件C有关，故B正确：对于C：，故C正确；对于D：，，所以，故D正确．故选：BCD.11．已知是的导函数，，则下列结论正确的是（    ）A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象B．与的图象关于直线对称C．与有相同的最大值D．当时，与都在区间上单调递增【答案】AC【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.【详解】，.将的图像向右平移个单位得的图像，故A选项正确；已知的图像与的图像关于直线对称，，故B选项错误；，其中，最大值为，，其中，最大值为，故C选项正确；当时，，，当时，在上单调递增，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递减，综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.故选：AC12．对于函数，下列说法正确的是（    ）A．在上单调递增，在上单调递减B．若方程有个不等的实根，则C．当时，D．设，若对，，使得成立，则【答案】BD【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B，C；求出函数在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含关系即可判断作答.【详解】函数的定义域为，，当或时，，当时，，在，上都单调递减，在上单调递增，A不正确；当时，的图象在x轴上方，且在时，，在上的图象在x轴下方，显然是偶函数，在方程中，或时，方程有两个不等实根，时，方程无实根，时，方程有个不等的实根，B正确；因，则有，即，于是得，C不正确；当时，的值域为，当时，的值域为，因对，，使得成立，从而得，即得，D正确.故选：BD【点睛】结论点睛：已知函数，，若，，有，则的值域是值域的子集,三、填空题13．在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为___________【答案】【分析】先求得展开式的二项式系数之和为，令，得到展开式的各项系数之和为，根据题意列出方程，求得的值，结合展开式的性质，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式的二项式系数之和为，令，可得展开式的各项系数之和为，因为二项式系数之和与各项系数之和比为，可得，即，解得，所以二项式展开式的项数为.故答案为：.14．已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．【答案】【分析】圆心到点的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到点坐标，利用直线方程两点式即可求解.【详解】因为的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，即的外接圆方程为．联立，解得，或，所以或（与点重合），舍，所以直线的方程为，即．故答案为：.15．若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为，则得切线方程，过点，则，构造函数，确定函数的单调性及取值情况，即可得的取值范围.【详解】解：函数的定义域为，则，设切点坐标为，则切线斜率为，故切线方程为：，又切线过点，则，设，则得，或，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，又时，，时，，所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是.故答案为：.16．已知四面体ABCD中，为等边三角形，，，若，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______【答案】【分析】由已知证明平面ABC，设，则，求出底面外接圆的半径r，再求得球心到底面中心的距离，利用勾股定理结合二次函数求得四面体外接球的半径R的最小值，则四面体ABCD外接球表面积的最小值可求.【详解】解：由题意可得，，，，所以，则，，，得到：平面ABC，设，则，取正三角形ABC的外心为，四面体ABCD的外接球球心O，连接，则底面ABC，底面外接圆的半径，，所以四面体外接球的半径，当时，R有最小值为，所以四面体ABCD外接球表面积的最小值为，故答案为：.四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，则所以，解得，所以.（2），所以，，两式相减得，所以.18．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，(1)求B；(2)设，，求函数的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入计算可得，化简即可得解；（2）首先找到各个角之间的关系，，，再由正弦定理可得，再在三角形ABC中，由正弦定理得，所以，利用三角函数求最值即可得解.【详解】（1）由，可得，即，可得，因为，所以，（2）∵，则，，在三角形ACD中，由正弦定理得，可得，在三角形ABC中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的值域为．19．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛(2)的取值范围为：（单位：万元）.【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.（2）由已知万元或万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范围.【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：;第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，因为，所以，所以.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.（2）由已知万元或万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为，专业队获胜的概率为，所以，非平局的概率为，平局的概率为.的分布列为：的数学期望为（万元）而，所以的取值范围为：（单位：万元）.20．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方程（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线联立方程组得到，再写出直线的方程，根据两点式写出 ，整理消去 ，即可求出直线所过定点（ⅱ）因为，根据（ⅰ）中的结论和弦长公式求出，再根据列出关于的不等式，解出的范围即可【详解】（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，即，所以.抛物线C的标准方程为（2）设，，，（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，与抛物线方程联立，化简得：，根据韦达定理可得： 即，，直线方程为，整理得：.又因为，即.将代入化简可得：，代入整理得： 故直线过定点（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在，由（ⅰ）知所以，又因为即，化简得或又由，得：且，即或综上所述，21．设函数．(1)若，求的单调区间和极值；(2)在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；(3)若存在，使得，求的取值范围【答案】(1)递减区间是，单调递增区间是，极小值(2)证明见解析(3)【分析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论. （3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，， 由解得．与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值．（2）由（1）知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，从而．当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．（3）设，．①若，则，符合题意．②若，则，故当时，，在上单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，解得．③若，则，故当时，；当时，．在上单调递减，在上单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意．综上，的取值范围是．【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.        –              ↘    ↗