2022-2023学年内蒙古尔沁右翼前旗第二中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年内蒙古尔沁右翼前旗第二中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．中，，，，则（    ）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】先利用三角形内角和定理求角B，然后由正弦定理可得.【详解】因为，，所以由正弦定理知：，所以.故选：B2．已知平面向量，，若，则(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可知，求出y，从而可求的坐标，根据向量模的坐标计算公式即可求解．【详解】，则，∴．故选：D．3．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理即可求解.【详解】解：因为，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D.4．设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量共线定理即可求解．【详解】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，使得．故选：A．5．已知，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据角的范围判定符号，然后直接由半角公式求解.【详解】∵，∴，∵，∴由半角公式可得.故选：B6．设D为△ABC所在平面内一点，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理和向量的线性运算展开整理化简即可求解.【详解】因为，也即，整理化简可得：，故选：.7．某人从出发点向正东走后到，然后向左转150°再向前走到，测得的面积为，此人这时离出发点的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，再由的面积为，求出的长，然后利用余弦定理求出即可【详解】如图，由题意可得，因为的面积为，，，所以，解得，由余弦定理得，所以，故选：D8．如图所示，在菱形中，，，为 的中点，则的值是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出，然后根据数量积的运算法则求得答案.【详解】由题意得： ,故 ，故选：A9．若的三个内角A，B，C满足，则（    ）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰直角三角形【答案】C【分析】设，结合余弦定理和三角形内角的范围即可得出结果.【详解】设，∴，∴角C为钝角．故选：C10．已知，则下列结论中正确的是（    ）A．与共线的一个单位向量是 B．C． D．在上的投影为【答案】C【分析】A项根据共线可以把单位向量表示成，根据模长为，求出；B项根据，代入即可；C项，根据，则来求解；D项,在上的投影为来求解.【详解】对于A项，设与共线的单位向量为，又，所以共线的单位向量为或所以A错误；对于B项， 又，故B错误.对于C项，,故C正确.对于D项,在上的投影为，故D错误.故选：C.11．在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由所给条件变形可得，即三角形为正三角，由数量积的运算可求出三角形边长，再由正弦定理求外接圆半径即可.【详解】因为，所以，即.因为O为△ABC的重心，且，所以△ABC为等边三角形.因为，所以.因为，所以△ABC外接圆的半径为.故选：B12．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．二、填空题13．向量_________【答案】##【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解.【详解】.故答案为：.14．已知向量，，且，则等于___.【答案】【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程，即可求出．【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：．15．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积，则___________.【答案】##【分析】结合三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系式、正弦定理求得【详解】依题意，即，所以为锐角，.由正弦定理得.故答案为：16．如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，则______．【答案】【分析】在中，利用余弦定理求得，再在，利用正弦定理求解.【详解】由题，在中，，所以，在中，，即，所以.故答案为：三、解答题17．已知向量若(1)求的夹角；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可计算得答案；（2）首先计算出，然后可得答案.【详解】（1）因为，所以，因为，所以；（2）因为，所以.18．在中，内角对应的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求的值及的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角,化简题中等式,求出正切值即可；（2）直接运用余弦定理以及三角形面积公式即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，因为，代入化简得，因为，所以，所以，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理得，代入数据解得.三角形面积为19．在平面直角坐标系xOy中，点.(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数满足，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；（2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.【详解】（1）由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为，所以，，对角线，因此；另一条对角线，因此；（2）因为，所以，，由，即，解得．20．设的内角所对边的长分别是，且.（1）求的值；        （2）求的值.【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：因为，所以，由余弦定理得， 所以由正弦定理可得.因为，，所以，即. （2）解：由余弦定理得因为，所以.故. 【解析】正弦定理和余弦定理的应用．21．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，且，求△ABC的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.【详解】（1）由及正弦定理得        因为，故．        又∵ 为锐角三角形，所以．（2）由余弦定理，        ∵，得    解得：或   ∴ 的周长为．22．已知向量，，，设函数.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设，，别为内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.【答案】（1）, 函数的单调递增区间为，（2）【分析】（1）由向量，，得，求得单调区间；（2）由，得，又的面积为，，结合余弦定理，求得【详解】（1）令，，解得；，；所以函数的单调递增区间为，.（2），.，，，即.由得，又由余弦定理得，解得.【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系，然后求解，对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化