2022-2023学年江西省上饶市第四中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江西省上饶市第四中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）
2022-2023学年江西省上饶市第四中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．若直线与直线平行，则（    ）A． B． C．或 D．不存在【答案】B【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线与直线平行，可得:，解得．故选:B.2．加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（    ）种加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64【答案】A【分析】考察排列组合的捆绑与插空的方法【详解】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A3．曲线与曲线（且）的（    ）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项.【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆．曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆．故选：C.4．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为，，则由两点间斜率公式可得，所以与垂直的直线斜率为，则由点斜式可得过点的直线方程为，化简可得，故选：B5．若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（    ）A． B． C． D．π【答案】A【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为.故选：A.6．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线，然后根据过焦点直线方程和抛物线联立求得线段中点横坐标即可求得答案.【详解】解：由题意得：的交点坐标为，准线为直线，设联立直线和双曲线方程可知：有韦达定理可知：线段的中点横坐标为：故线段的中点到准线的距离为故选：B7．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（    ）A．24 B．36 C．60 D．240【答案】C【分析】分两种情况分类计算，一种是基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.故选：C8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.二、多选题9．已知直线，，则（    ）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，令得：，所以直线恒过点，故选项A错误，对于选项B：若时，显然不平行，若时，显然不平行，所以若，则，且，解得，故选项B正确，对于选项C：若，则，解得，故选项C错误，对于选项D：若直线不经过第三象限，当时，直线，符合题意，当时，则，解得，综上，，故选项D正确，故选：BD.10．已知曲线C：下列说法正确的是（    ）A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆B．若，则C是椭圆，且其离心率C．若，则C是双曲线，其渐近线程为D．若，则C是双曲线，其离心率为或【答案】AD【分析】根据椭圆、双曲线的知识求得正确答案.【详解】对于曲线C：，A选项，当时，C是焦点在x轴上的椭圆，A选项正确.B选项，，则，则C是椭圆，焦点在轴上，离心率，B选项错误，C选项，当，所以没有意义，C选项错误. D选项，依题意可知不为零，若，则异号，所以表示双曲线，当时，焦点在轴上，离心率，当时，焦点在轴上，离心率，所以D选项正确.故选：AD11．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（    ）A．满足的点M的轨迹长度为B．点M存在无数个位置满足直线平面C．在线段上存在点M，使异面直线与CD所成的角是30°D．若E是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为【答案】ABD【分析】利用线面垂直判定可得平面，可知点轨迹即为平面与平面的交线可判断A，利用面面平行得判定可证得平面平面，可知当轨迹为平面与平面的交线可判断B，利用坐标法，根据线线角的向量求法及二面角的向量求法可判断CD.【详解】对于A，平面，平面，，又四边形为正方形，，又平面，，平面，点轨迹即为平面与平面的交线，即为，点轨迹的轨迹长度为，A正确；对于B，，平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面平面，轨迹为平面与平面的交线，即，点存在无数个位置满足直线平面，B正确；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 在线段上存在点M，设，则，，设异面直线与CD所成的角为，又，所以，而，所以在线段上不存在点M，使异面直线与CD所成的角是，故C错误；对于D，因为，，，，，设平面的法向量，，令，，又平面的一个法向量，，，即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D正确.故选：ABD.12．已知双曲线）的左，右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）A．存在点，使B．存在点，使得直线的斜率的绝对值之和C．使得应为等腰三角形的点有且仅有四个D．若，则【答案】AD【分析】由双曲线的定义，可判断A；由，结合双曲线的方程，得到可判断B；结合双曲线的几何性质，可判断C；根据数量积的坐标表示可得，进而，可判断D．【详解】设．对于A，由双曲线的定义，只需即可，即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点，故A正确；对于B，因为，所以，又，所以，故，当且仅当时等号成立，又等号不可能成立，故B错误；对于C，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个；同理，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，故C错误；对于D，由，得，从而，故D正确．故选：AD．三、填空题13．若，则______.【答案】或【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可；【详解】因为所以或,解得或，经检验成立故答案为：或14．直线与焦点在y轴上的椭圆总有两个公共点，则实数m的取值范围是____.【答案】【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，需在椭圆内，进而求得的范围.【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以，由，所以直线恒过点，直线与椭圆恒有公共点，在椭圆内，即，因为，所以由，而，所以，所以实数m的取值范围是，故答案为：.15．已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______【答案】.【分析】设点的坐标为，得到点是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到，结合圆的方程，得到，进而求得的最小值.【详解】由双曲线，可得，则，如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点，根据双曲线的定义，可得，所以，又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为，所以，所以，当点在线段上时，取得等号，即的最小值为.故答案为：.16．已知椭圆的右焦点为上的两点关于原点对称，，且，则离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】设椭圆的左焦点为E，根据椭圆的定义可知，，利用余弦定理求出，利用，最后结合平面向量的数量积计算即可得答案.【详解】解：由题意得：椭圆的左焦点为E，则因为两点关于原点对称，所以四边形为平行四边形由，得，，且在中，，由得：整理得：，又所以故答案为: 四、解答题17．已知直线经过点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)若的方程是，直线与相切，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线垂直可设直线方程，求出参数即可.（2）根据直线l的斜率是否存在分为两类，然后利用直线和圆相切的位置关系可知点到直线的距离等于半径便可求得.【详解】（1）解：由题意得：因为直线l与直线垂直，故设直线l的方程为因为直线l过点，所以，解得．所以直线l的方程为．（2）的方程化为标准形式是，圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，由直线l与相切，得，解得，所以直线l的方程是，即．综上所述，直线l的方程是或．18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为AB中点，F为PD中点，AB=2，PD=BC=1.(1)证明:EF∥平面PBC；(2)求点E到平面PBC的距离.【答案】(1)证明过程见详解；(2).【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得两两垂直，所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：取的中点，连接,因为F为中点，所以∥，，因为为中点，所以，因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面；（2）因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，因为为中点，F为中点，所以，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离为.19．（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【答案】（1）10；（2）65；（3）1560.【分析】（1）应用隔板法，在6个小球队列的5个空隙中插入3块隔板，即可得结果；（2）将6个不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}两种方案分组放入箱子，即得结果；（3）在（2）的基础上，作全排列即可得结果.【详解】（1）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，所以不同的放法种数为；（2）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，所以不同的放法种数为；（3）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，所以不同的放法种数为．20．已知椭圆：的中心是坐标原点，左、右焦点分别为，，设是椭圆上一点，满足轴，，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用是椭圆上一点，满足轴，，离心率为.列出方程组，求出，，即可得到椭圆方程.(2)求出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由题意是椭圆上一点，满足轴，，离心率为可知，，，，，所以椭圆方程为：.（2）过椭圆左焦点且倾斜角为的直线，可知：，联立直线和椭圆，有，有，设，，则，，，所以.21．已知抛物线，其中，过B的直线l交抛物线C于M，N两点．(1)当直线l垂直于x轴，且为直角三角形，求实数m的值；(2)若四边形是平行四边形，当点P在直线l上时，求实数m，使得．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直，即可利用坐标运算求解，（2）根据平行得斜率关系，进而联立方程得韦达定理，结合向量垂直由坐标运算即可求解.【详解】（1）由题意，代入中，解得，不妨取，则，为直角三角形,故只能是为直角，即，故或1，易知不合题意，舍去，故．（2）由题意四边形为平行四边形，则，设直线，联立得，由题意，判别式，，要使，则，又，即，化简，得，即，代入得故．故时，有．22．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案;（2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线，联立双曲线与直线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案.【详解】（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，故C的方程为.（2）由O，A，N，M四点共圆可知，，又，即，故，即，所以,设，，，由题意可知，则直线，直线，因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，故M坐标为，所以，又，由，则，整理可得，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线，代入双曲线方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以点P坐标为.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.