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2022-2023学年山东省菏泽市高二上学期期末数学试题 解析版
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2021级高二上学期期末考试数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点关于坐标平面对称的点的坐标是（）A.B.C.D.2.已知直线与直线平行，则的值为（）A.3B.C.3或D.3或43.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A.B.C.D.4.在等比数列中，，则公比的值为（）A.1B.C.1或2D.1或5.已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（）A.B.C.D.6.已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.等轴双曲线的焦距为（）A.2B.C.4D.8.已知点与不重合的点共线，若以为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.最小B.C.D.10.下列说法正确的是（）A.若是四面体的底面三角形的正心，则B.在四面体中，苦，则四点共面C.已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为D.若向量，则称为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为11.已知曲线分别为的左､右焦点，点在上，且是直角三角形，下列判断正确的是（）A.曲线的焦距为B.若满足条件的点有且只有4个，则的取值范围是且C.若满足条件的点有且只有6个，则D.若满足条件的点有且只有8个，则的取值范围是12.两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的顶角为，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线.在长方体中，，，点在平面内，下列说法正确的是（）A.若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹为拋物线B.若点到直线的距离与点到的距离之和等于4，则点的轨迹为椭圆C.若，则点的轨迹为拋物伐D.若，则点的轨迹为双曲线三､填空题：本大题共4小题，律小题5分，共20分.13.已知的三个顶点分别是点，则的外接圆的方程为__________.14.已知数列的前项和为，且，则__________.15.如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写，2分）；（2）当__________.（从>，=，<中选择一个填写，3分）时，点的轨迹是双曲线.16.双曲线的左､右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（满分10分）已知拋物线的焦点为，点在上.（1）求的值及的坐标；（2）过且斜率为的直线与交于两点（在第一象限），求.18.（满分12分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相交于点和.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆交于两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线的方程.19.（满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面.（1）若的中点为，求证：平而；（2）若与底面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（满分12分）已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21.（满分12分）已知双曲线的实轴长为2，且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知过点的直线与双曲线交于两点.（i）当时，能否是线段的中点？若能，求出的方程；若不能，说明理由；（ii）若点不是线段的中点，写出所满足的关系式（不要求证明）22.（满分12分）已知椭圆的离心率是，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，且，求面积的最大值.2021级高二上学期期末考试数学试题参考答案一､单项选择题：1-8CBADABCD二､多项选择题：9.BCD10.ACD11.AC12.BD三､填空题：13.14.15.（1）椭圆（2）>16.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.解：（1）将代入，得，解得，所以点的坐标为.（2）由（1）得抛物线方程为，直线的方程为，联立消得，解得或，因为在第一象限，所以，所以，所以18.解：（1）由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为圆的半径为，综上，圆的标准方程：.（2），在圆外，当直线斜率不存在时，直线方程为，则，显然符合题设；当直线斜率存在时，设为，联立圆可得：若，则，，可得：.此时，直线，即.综上，符合条件的直线有2条，分别为.说明：利用垂径定理是处理圆弦长问题的通用方法，一般不用弦长公式处理圆的弦长问题.19.解：（1）如图，取的中点，连接，分别为的中点，，且，且，四边形是平行四边形，，Q平面平面，平面.说明：也可以取中点G，通过证明平面AEG//平面PCD来证明结论.（2）取中点的，，作，由底面为直角梯形且，，由侧面底面，面面面，在面的投影在直线上，又与底面所成的角为，与底面所成角的平面角，则为等边三角形.以为原点，为轴建空间直角坐标系，如下图示：，则，设平面的法向量则取，得设平面的法向量则取得设平面与平面的夹角为，则平面与平面的夹角的余弦值为.20.解：（1）由，两边取倒数得，即，即故数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为（2）由（1）知①②两式相减得：参考答案：（1）（2）（i）不能（参看教材128页第13题）（ii）22.解：（1）由又，解得椭圆的标准方程为.（2）当轴时，位于轴上，且，当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，由，得.由，得①且，从而.已知，可得.设到直线的距离为，则，结合化简得当且仅当即时取等号，此时，满足不等式①此时的面积最大，最大值为2.综上，AOB的面积的最大值为2.
2021级高二上学期期末考试数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点关于坐标平面对称的点的坐标是（）A.B.C.D.2.已知直线与直线平行，则的值为（）A.3B.C.3或D.3或43.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A.B.C.D.4.在等比数列中，，则公比的值为（）A.1B.C.1或2D.1或5.已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（）A.B.C.D.6.已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.等轴双曲线的焦距为（）A.2B.C.4D.8.已知点与不重合的点共线，若以为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.最小B.C.D.10.下列说法正确的是（）A.若是四面体的底面三角形的正心，则B.在四面体中，苦，则四点共面C.已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为D.若向量，则称为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为11.已知曲线分别为的左､右焦点，点在上，且是直角三角形，下列判断正确的是（）A.曲线的焦距为B.若满足条件的点有且只有4个，则的取值范围是且C.若满足条件的点有且只有6个，则D.若满足条件的点有且只有8个，则的取值范围是12.两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的顶角为，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线.在长方体中，，，点在平面内，下列说法正确的是（）A.若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹为拋物线B.若点到直线的距离与点到的距离之和等于4，则点的轨迹为椭圆C.若，则点的轨迹为拋物伐D.若，则点的轨迹为双曲线三､填空题：本大题共4小题，律小题5分，共20分.13.已知的三个顶点分别是点，则的外接圆的方程为__________.14.已知数列的前项和为，且，则__________.15.如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写，2分）；（2）当__________.（从>，=，<中选择一个填写，3分）时，点的轨迹是双曲线.16.双曲线的左､右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（满分10分）已知拋物线的焦点为，点在上.（1）求的值及的坐标；（2）过且斜率为的直线与交于两点（在第一象限），求.18.（满分12分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相交于点和.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆交于两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线的方程.19.（满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面.（1）若的中点为，求证：平而；（2）若与底面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（满分12分）已知数列的首项，且满足.（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21.（满分12分）已知双曲线的实轴长为2，且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知过点的直线与双曲线交于两点.（i）当时，能否是线段的中点？若能，求出的方程；若不能，说明理由；（ii）若点不是线段的中点，写出所满足的关系式（不要求证明）22.（满分12分）已知椭圆的离心率是，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，且，求面积的最大值.2021级高二上学期期末考试数学试题参考答案一､单项选择题：1-8CBADABCD二､多项选择题：9.BCD10.ACD11.AC12.BD三､填空题：13.14.15.（1）椭圆（2）>16.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.解：（1）将代入，得，解得，所以点的坐标为.（2）由（1）得抛物线方程为，直线的方程为，联立消得，解得或，因为在第一象限，所以，所以，所以18.解：（1）由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为圆的半径为，综上，圆的标准方程：.（2），在圆外，当直线斜率不存在时，直线方程为，则，显然符合题设；当直线斜率存在时，设为，联立圆可得：若，则，，可得：.此时，直线，即.综上，符合条件的直线有2条，分别为.说明：利用垂径定理是处理圆弦长问题的通用方法，一般不用弦长公式处理圆的弦长问题.19.解：（1）如图，取的中点，连接，分别为的中点，，且，且，四边形是平行四边形，，Q平面平面，平面.说明：也可以取中点G，通过证明平面AEG//平面PCD来证明结论.（2）取中点的，，作，由底面为直角梯形且，，由侧面底面，面面面，在面的投影在直线上，又与底面所成的角为，与底面所成角的平面角，则为等边三角形.以为原点，为轴建空间直角坐标系，如下图示：，则，设平面的法向量则取，得设平面的法向量则取得设平面与平面的夹角为，则平面与平面的夹角的余弦值为.20.解：（1）由，两边取倒数得，即，即故数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为（2）由（1）知①②两式相减得：参考答案：（1）（2）（i）不能（参看教材128页第13题）（ii）22.解：（1）由又，解得椭圆的标准方程为.（2）当轴时，位于轴上，且，当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，由，得.由，得①且，从而.已知，可得.设到直线的距离为，则，结合化简得当且仅当即时取等号，此时，满足不等式①此时的面积最大，最大值为2.综上，AOB的面积的最大值为2.
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