2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二上学期第三次阶段性考试数学试题（解析版）

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2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二上学期第三次阶段性考试数学试题一、单选题1．已知数列、、、、，那么在此数列中的项数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程，可得出结论.【详解】由可得，因此，在此数列中的项数是.故选：C.2．已知是圆内过点的最短弦，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】解：圆即为，则圆心坐标为，半径，又，即在圆内，所以过点的最短弦为过点且与过点的半径垂直的弦，又，所以，故选：B．3．若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（    ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据双曲线的定义和必要不充分条件的定义可得答案.【详解】由题意可知，，，，若，则，或12，若，，，故“”是“”的必要不充分条件．故选：A．4．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解.【详解】由题意可知，四边形是平行四边形，，又，，，，，，，，，，，，即，则线段的长度为．故选：B.5．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、，即可得解.【详解】解：椭圆的焦点为，又双曲线：的一条渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线方程为.故选：C6．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值.【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，且该数列的公差为，则，所以，，因此，.故选：D.7．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（    ）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A，B作准线的垂线，得到直角梯形，结合抛物线的定义在梯形中求，即得结果.【详解】依题意，是抛物线的焦点，故，则，.根据已知条件如图所示，在轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，过B作的垂线，垂足为P，设，根据抛物线的定义知，所以直角梯形中，，，又直线AB的倾斜角，故，解得，即，故选：A.8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】连接，，推出，，，在中利用余弦定理可得，即可得出，由，得，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围．【详解】解：连接，，设为双曲线的半焦距），在直角三角形中，，，则，，，所以，在中，，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，即故选：D．二、多选题9．过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ）A．B．四边形的外接圆方程为C．直线方程为D．三角形的面积为【答案】BCD【分析】求出，由勾股定理求解，即可判断选项；利用为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项；利用，求出直线的斜率，即可判断选项；求出直线和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项.【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，故的面积为，所以的面积为，故选项正确，故选：.10．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（    ）A．平面B．三棱锥的体积为C．异面直线与所成的角的余弦值为D．过点作正方体的截面，所得截面的面积是【答案】AD【分析】对于A，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案；对于B，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案；对于C，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案；对于D，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案.【详解】，连接、、，如下图：分别为的中点，且为正方形的对角线，，在正方体中，平面，且平面，，，平面，平面，平面，，同理可得，分别是的中点，，，即，，，平面，平面，故A正确；对于B，取中点，连接，，，，如下图：分别为的中点，平面，设正方形的面积，，，故B错误；对于C，连接，，，，，如下图：分别为的中点，，，则，故为异面直线与所成的角或其补角，，，，，异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；对于D，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，，如下图：易知，，，且正六边形为过点作正方体的截面，则其面积为，故D正确.故选：AD.11．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ）A．若，，则是数列中绝对值最小的项B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】ABD【分析】利用等差数列的性质以及前项和得到，进而判定选项A；利用，，为等差数列可判定选项B；先利用方程思想求出通项公式，再求出前8项的绝对值的和即可判定选项C；利用等差数列的求和公式判定选项D.【详解】对于A：因为为等差数列，且，所以，即，所以，即是数列中绝对值最小的项.故选项A正确；对于B：因为为等差数列，所以，，为等差数列， 设，由得：，故，，为等差数列解得，所以，故选项B正确；对于C：因为为等差数列，且，，所以，，则.则 .故选项C错误；对于D：因为为等差数列，且，，所以，，则.故选项D正确；故选：ABD.12．已知，是双曲线：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（    ）A．B．的渐近线方程为C．垂直于轴D．若A，B为上的两点且关于原点对称，则，的斜率存在时其乘积为2【答案】BCD【分析】由题意作图，根据中位线性质即可得出轴，在Rt中，可求，根据双曲线的定义求出离心率，利用a，b，c求得，可知渐近线方程，A，B关于原点对称，可设，求出斜率计算乘积即可.【详解】如上图所示，因为分別是的中点，所以中，，所以 轴，C选项正确；因为直线的倾斜角为，所以，A选项错误；Rt中，，所以，则，而，所以的渐近线方程为，B选项正确；A，B关于原点对称，可设，根据，得，所以当斜率存在时，, 因为A，B在双曲线上，所以，即，得，所以，D选项正确；故选：BCD.三、填空题13．过点且与直线垂直的直线方程为_____.【答案】【分析】根据垂直直线斜率之积为，结合点斜式求解即可.【详解】直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.故答案为：14．已知数列的前项和为，，则_______【答案】【分析】直接利用即可求的通项公式.【详解】由已知条件，知当时，；当时，；当时不满足上式，∴，故答案为：.15．已知动点，分别在圆：和圆：上，动点在直线上，则的最小值是_______【答案】##【分析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为,进而根据对称性得，再结合题意得【详解】解：由题知圆：的圆心为，半径为，圆：的圆心为，半径为，如图，设点关于直线对称的点为，所以，，解得，即，所以，所以，，即的最小值是.故答案为：四、双空题16．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，则直线方程为_____，的内切圆半径为________.【答案】          ##【分析】根据抛物线的性质可知从而当最小，即与抛物线相切时，的值最小．求出抛物线过点的切线方程得出点坐标，即可求出的方程，代入面积公式得出面积即可内切圆的半径．【详解】解：抛物线的准线方程为，焦点为，则，设到准线的距离为，则，，当与抛物线相切时，最小，即取得最小值，设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得，，解得，即，解得，把代入得，或，此时直线方程为，，所以，，，设的内切圆半径为，所以，所以．故答案为：，．五、解答题17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足(1)求动点的轨迹的方程(2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，根据动点满足，用两点间距离公式化简求解.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【详解】（1）设，则由，即，化简得，所以P点的轨迹方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；当直线l的斜率存在时，设，即， 由到l的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上，l的方程为或.18．已知数列的前项和为满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用，，可求得通项公式；（2）用错位相减法求和．【详解】（1）当时，当时，由可得于是取时有，即满足所以（2）由（1），，则，两式相减得，所以．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和错位相减法求和，错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法是数列求和的特殊方法，务必掌握．19．如图所示四棱锥中，平面平面，，四边形为等腰梯形，，，(1)求证(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，取BC的中点M，连接，以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明垂直.（2）用向量法求出两平面的法向量，求二面角的余弦值，再求正弦值即可．【详解】（1）取中点，连接，，则，又平面平面，又平面平面，所以平面，取BC的中点M，连接，是等腰梯形，则，建立如图所示的空间直角坐标系，由于，，则，，，所以，即，所以.（2）由（1）知，,设平面PCD的一个法向量为，则，不妨令x＝1，则，则，设平面PAB的一个法向量为，则，不妨令，则，则，∴，则．20．已知椭圆：，A为椭圆与y轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆C交于，N两点，点，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，当时，求证直线恒过一定点？【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解出即可得结果；（2）设直线的方程为，，，联立直线的方程与椭圆方程，通过韦达定理将化简得，即可求出直线恒过的定点.【详解】（1）由题意得，解得所以求椭圆的方程为.（2）由题意易知直线的斜率不为0，故可设，，，联立得，由得，所以，，，即，所以直线的方程为，即，所以证直线恒过一定点.21．设数列满足.(1)求的通项公式(2)记数列的前项和为，求【答案】(1)，(2)【分析】（1）让条件中的递推式的取，然后将两式做差可得答案；（2）由（1），然后直接求和，抵消可得答案.【详解】（1）①则时，②，①-②得，即，当时，，符合，故，；（2）由（1）得，22．已知曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍.(1)求曲线的方程；(2)直线交x轴于N，与曲线C在第一象限的交点为E，过点N的直线与曲线C交于F，G两点，与直线交于点K，记EF，EG，EK的斜率分别为，，，求证：是，的等差中项【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设，根据条件建立方程求出即可；（2）由题意可得，设，分直线的斜率为0、直线的斜率不为0两种情况讨论，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，联立直线与曲线的方程消元，韦达定理求出，然后分别算出、，即可证明.【详解】（1）设，因为曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍，所以，所以，化简得，所以曲线的方程为；（2）由题意可得，设，则，当直线的斜率为0时，，，，，所以此时有当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，联立，可得，所以，所以，同理，所以，由可得，所以，所以，综上可得： ，是，的等差中项.