2022-2023学年山东省泰安市宁阳县高二上学期期末考试（线上）数学试题（含解析）

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宁阳县2022-2023学年高二上学期期末考试（线上）数 学 试 题 2023.1.9一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标是(　　)A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)2.已知平面α∥平面β，n＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是(　　)A．(1,1,1) B．(－1,1，－1)C．(－1，－1，－1) D．(1,1，－1)3.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（　　）A. y2=-4xB. y2=4xC. x2=-4yD. x2=4y4.等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　B．12　　　C．16　　　D．245.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若eq \o(BE,\s\up7(→))＝eq \o(AA1,\s\up7(→))＋xeq \o(AB,\s\up7(→))＋yeq \o(AD,\s\up7(→))，则(　　)A．x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)B．x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)C．x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)D．x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)6.在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝(　　)A．3B．－3C．±3 D．无法确定7.已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）A. -1B. C. +1D. 68.已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则eq \o(FE,\s\up7(→))·eq \o(CD,\s\up7(→))等于(　　)A．eq \f(1,4)　　B．－eq \f(1,4)　　C．eq \f(\r(3),4)　　D．－eq \f(\r(3),4)二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的有(　　)A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2C．直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为30°D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为710.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－4n11. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（）A. 双曲线的离心率为2B. C. 双曲线的渐近线为D. 点P到抛物线焦点的距离为612.已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)A.数列{aeq \o\al(2,n)}是等比数列B.若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C.若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列D.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1＋r，则r＝－1三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）13.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为.14.若双曲线的一条渐近线方程为.则.15.已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=.16.已知P(1,1)为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．四、解答题（本题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分15分)已知圆心为M的圆经过A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)三个点．(1)求△ABC的面积；(2)求圆M的方程．18.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD．19.(本小题满分18分)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．20.(本小题满分18分)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝eq \f(an,3n)的前n项和为Tn，求Tn.宁阳县2022-2023学年高二上学期期末考试（线上）数学试题参考答案 2023.1.9一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标是(　　)A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)【答案】C【解析】由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，故焦点为(0，±12)．2．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是(　　)A．(1,1,1) B．(－1,1，－1)C．(－1，－1，－1) D．(1,1，－1)【答案】B　【解析】因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B选项符合．3. 焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（　　）A. y2=-4xB. y2=4xC. x2=-4y D. x2=4y【答案】B【解析】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2．∴抛物的标准方程是y2=4x．故选B．4．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　B．12　　　C．16　　　D．24【答案】C【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16．故选C．5.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若＝＋x＋y，则(　　)A．x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)B．x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)C．x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)D．x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)【答案】A【解析】＝＋＋＝－＋＋eq \f(1,2)(＋)＝－＋＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)＋＋eq \f(1,2)，∴x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)．6．在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝(　　)A．3B．－3C．±3 D．无法确定【答案】C【解析】∵a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，∴a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝aeq \o\al(2,7)＝9，∴a7＝±3．故选C．7. 已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）A. -1B. C. +1D. 6【答案】A【解析】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.8.已知空间四面体DABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则·等于(　　)A．eq \f(1,4)　　B．－eq \f(1,4)　　C．eq \f(\r(3),4)　　D．－eq \f(\r(3),4)【答案】B　【解析】如图：∵点E，F分别是AB，AD的中点，∴＝eq \f(1,2)，∵空间四面体DABC的每条棱长都等于1，∴每个面都是等边三角形，∴·＝·＝eq \f(1,2)·＝－eq \f(1,2)·＝－eq \f(1,2)·||·||·cos eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)×1×1×eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)，故选B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的有(　　)A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2C．直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为30°D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7【答案】ACD　【解析】对于A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A正确；对于B，直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；对于C，直线x－eq \r(3)y＋1＝0的斜率为eq \f(\r(3),3)，故倾斜角θ满足tan θ＝eq \f(\r(3),3)，0°≤θ<180°，则θ＝30°，故C正确；对于D，因为直线x＝－2垂直于x轴，故点(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D正确．故选ACD．10.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－4n【答案】AD【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝0，a5＝5，所以根据等差数列前n项和公式和通项公式得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5,4a1＋6d＝0))，解方程组得：a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝n2－4n.故选AD．11. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（）A. 双曲线的离心率为2B. C. 双曲线的渐近线为D. 点P到抛物线焦点的距离为6【答案】CD【解析】焦点坐标为，离心率，A正确；的焦点坐标为，故，解得：，B正确；双曲线渐近线方程为，C错误；点在抛物线上，故点P点抛物线焦点的距离为，故D错误.故选：CD12.已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)A．数列{aeq \o\al(2,n)}是等比数列B．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1＋r，则r＝－1【答案】AC【解析】设等比数列{an}公比为q(q≠0)，则eq \f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))eq \s\up12(2)＝q2，即数列{aeq \o\al(2,n)}是等比数列，即A正确；因为等比数列{an}中a4，a8，a12同号，而a4＞0，所以a8>0，即B错误；若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＞0,q＞1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＜0,0＜q＜1))，即数列{an}是递增数列，C正确；若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1＋r，则a1＝S1＝31－1＋r＝1＋r，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，所以q＝eq \f(a3,a2)＝3＝eq \f(a2,a1)，∴2＝3(1＋r)，r＝－eq \f(1,3)，即D错误．故选AC．三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）13.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为.【答案】18　　　　 【解析】因为等比数列的首项为2，公比为3，所以an＝2·3n－1，所以a3＝2·33－1＝18．14.若双曲线的一条渐近线方程为.则.【答案】2【解析】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以.15.已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=.【答案】【解析】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：因为16.已知P(1,1)为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x＋2y－3＝0　【解析】法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为A，B，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝eq \f(4kk－1,2k2＋1)，又∵x1＋x2＝2，∴eq \f(4kk－1,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq \f(1,2)．故此弦所在的直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0．法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k．设弦的两端点为A，B，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\o\al(2,1),4)＋eq \f(y\o\al(2,1),2)＝1①，eq \f(x\o\al(2,2),4)＋eq \f(y\o\al(2,2),2)＝1②，①－②得eq \f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq \f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0．四、解答题（本题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分15分)已知圆心为M的圆经过A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)三个点．(1)求△ABC的面积；(2)求圆M的方程．【解析】(1)由A(0,4)，B(2,0)得直线AB的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,4)＝1，即2x＋y－4＝0．点C到直线AB的距离d＝eq \f(|2×3＋1－4|,\r(4＋1))＝eq \f(3\r(5),5)，A(0,4)，B(2,0)，则|AB|＝eq \r(4＋16)＝2eq \r(5)，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(5),5)＝3，即△ABC的面积为3．(2)根据题意，A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)，得kAC＝eq \f(4－1,0－3)＝－1，kBC＝eq \f(1－0,3－2)＝1，则kAC·kBC＝－1，故直线AC与BC垂直，则△ABC为直角三角形，故圆M的圆心M为边AB的中点，即M(1,2)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)＝eq \r(5)，故圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5．18.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD．【解析】如图，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)．(1)设BA＝a，则A(a,0,0)．所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)．所以·＝0，·＝0＋4－4＝0．所以B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD．(2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，4))，F(0,1,4)，所以＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，1))，＝(0,1,1)．所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0．所以B1D⊥EG，B1D⊥EF．又EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF．由(1)，知B1D⊥平面ABD，故平面EGF∥平面ABD．19.(本小题满分18分)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．【解析】(1)联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．∵直线与双曲线有两个不同的交点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋81－k2＞0，))解得－eq \r(2)＜k＜eq \r(2)，且k≠±1．∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－eq \r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq \r(2))．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq \f(2k,1－k2)，x1x2＝－eq \f(2,1－k2)，∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,1－k2)))eq \s\up12(2)＋\f(8,1－k2))＝eq \r(\f(1＋k28－4k2,1－k22))．又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝eq \f(1,\r(1＋k2))，∴S△AOB＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(1,2)eq \r(\f(8－4k2,1－k22))＝eq \r(2)，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±eq \f(\r(6),2)．∴实数k的值为±eq \f(\r(6),2)或0．20.(本小题满分18分)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝eq \f(an,3n)的前n项和为Tn，求Tn.[解](1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0．∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4．又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴aeq \o\al(2,2)＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2．(2)bn＝eq \f(an,3n)＝eq \f(3n－2,3n)＝(3n－2)×eq \f(1,3n)，∴Tn＝1×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,32)＋7×eq \f(1,33)＋…＋(3n－2)×eq \f(1,3n). ①①×eq \f(1,3)得eq \f(1,3)Tn＝1×eq \f(1,32)＋4×eq \f(1,33)＋7×eq \f(1,34)＋…＋(3n－5)×eq \f(1,3n)＋(3n－2)×eq \f(1,3n＋1).②①－②得，eq \f(2,3)Tn＝eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,32)＋3×eq \f(1,33)＋3×eq \f(1,34)＋…＋3×eq \f(1,3n)－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)＝eq \f(1,3)＋3×eq \f(\f(1,32)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1))),1－\f(1,3))－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)＝eq \f(5,6)－eq \f(1,2)×eq \f(1,3n－1)－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)，∴Tn＝eq \f(5,4)－eq \f(1,4)×eq \f(1,3n－2)－eq \f(3n－2,2)×eq \f(1,3n)＝eq \f(5,4)－eq \f(6n＋5,4)×eq \f(1,3n).