2022-2023学年重庆市渝高中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年重庆市渝高中学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量，那么（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：D.2．已知直线与垂直，则为（    ）A．2 B． C．-2 D．【答案】A【分析】利用一般式中垂直的系数关系列式计算即可.【详解】由已知得，解得故选：A.3．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线标准方程对应的渐近线方程即可知的渐近线方程【详解】根据双曲线的渐近线方程：，知：的渐近线方程为故选：D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，根据双曲线标准方程对应渐近线方程求题设给定双曲线的渐近线方程4．已知直线始终平分圆的周长，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆心坐标，根据题意直线过圆心从而得出答案.【详解】由题意得圆M的标准方程为，则圆心M的坐标为．因为直线l始终平分圆M的周长，所以直线l过圆M的圆心，所以，即．故选：A5．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．A．10层 B．11层 C．12层 D．13层【答案】C【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层，即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，则．该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，则有，又，则有，即，解得或（舍去），则．故选：C．6．椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为(　　)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由S△ABF2＝·4a·r＝·2c·|y1－y2|，即可得解.【详解】若△ABF2的内切圆周长为2π，则半径r=1.由S△ABF2＝·4a·r＝·2c·|y1－y2|，所以|y1－y2|=．故选：B.【点睛】本题考查焦点三角形内切圆面积的求法和椭圆定义的运用，解题的关键一是采取“算两次”的方法，根据三角形面积的唯一性得到等式后求解，二是合理运用椭圆的定义进行计算．考查转化能力和计算能力，属于基础题．7．数列满足，且，则等于（　　）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】根据题意，将原式变形可得，由累加法分析可得﹒【详解】根据题意，数列满足，且，即，变形可得，则有，则，故；故选：B．8．已知F为抛物线的焦点，过点F作两条直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，若，则四边形ADBE面积的最小值为（    ）A．48 B．32 C．16 D．8【答案】B【分析】依题意，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程，结合抛物线定义得到两段弦长，进而表示面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】依题意，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，，，直线，直线.联立消去y整理得，所以，同理，从而，当且仅当时等号成立，故选:B.二、多选题9．如果，且，那么直线通过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【解析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.【详解】由直线方程，可化为，因为，且，可得，所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．故选：ABD.10．已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（    ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】BD【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】解：对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；对于C，若，，，则或，故C错误；对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.故选：BD.11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（    ）A．an＝－B．an＝C．数列为等差数列D．－5050【答案】BCD【分析】利用数列通项和前n项和的关系求解.【详解】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，故an＝故B正确，A错误；所以，故D正确．故选：BCD12．已知O为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，过点的直线交双曲线C的左支于M，N两点，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（　　）A．直线被C的两条渐近线所截线段的长度等于C的焦点到渐近线的距离B．关于C的渐近线的对称点落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上C．以MN为直径的圆过点BD．【答案】BCD【分析】由双曲线方程求点的坐标及渐近线方程，设，证明，判断D；再求的坐标和F1为圆心，OF1为半径的圆的方程，根据点与圆的位置关系判断方法判断B；利用设而不求法证明，判断C；求双曲线C的焦点到渐近线的距离及直线被C的两条渐近线所截线段的长度判断A.【详解】对于D，设位于第一象限，由题意得，当时，点的坐标为，所以，又，所以为等腰直角三角形，，当不垂直于时，即时，由题意得，因为，，又，，所以，故D正确；对于B，设关于直线的对称点为，则，，所以，故，以为圆心，为半径的圆的方程为，且满足方程，故点在圆上，同理关于渐近线的对称点也落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，B正确；对于C，，当直线l的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线方程可得，所以，则，故以MN为直径的圆过点B.当直线l的斜率存在时，设其方程为，代入双曲线方程，整理得，方程的判别式，设，由根与系数的关系得，因为都在双曲线的左支，所以，，故，由圆的性质知以MN为直径的圆过点B，故C正确；对于A，直线被双曲线C的两条渐近线所截线段的长度为，到渐近线的距离为，故A错误；故选：BCD.【点睛】设而不求法是解决直线与双曲线交点问题的常用方法，注意考虑直线的斜率是否存在.三、填空题13．在由正数组成的等比数列中，则=___________.【答案】8【分析】根据等比数列的通项公式求解.【详解】设公比为，因为，所以，所以，所以，则，故答案为:8.14．圆的过点的切线方程为___________.【答案】【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.【详解】圆心，因为，所以在圆上，则直线与切线垂直，,所以切线的斜率为，由点斜式整理得，故答案为: .15．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系．令两正方形边长均为2．则,,,设异面直线与所成的角为,．【解析】异面直线所成的角．16．如图，已知斜率为—3的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C且，则该双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】设直线与轴交于点，取的中点，连接，，即可得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到，再根据离心率公式计算可得.【详解】解：如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，，由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，因为，所以，由直线的斜率，得，则直线的斜率，设，，则，两式相减得，化简得，，所以该双曲线的离心率.故答案为：.四、解答题17．已知数列的前项和.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）现根据已知条件求解出的通项公式，然后根据等差数列的定义证明为等差数列；（2）先将的通项公式分段书写，然后对分类讨论，由此求解出的最终结果.【详解】（1）由题意得①若，则，②若，则，经检验满足上式.故，由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列.（2）易得：①若，，②若，，综上.【点睛】思路点睛：已知为等差数列，求解的前项和的思路：（1）先根据项的正负将的通项公式分段书写；（2）根据分段的通项公式，分别考虑在对应的范围下的计算方法，由此求解出结果.18．如右图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．(1)求证：BD1∥平面C1DE；(2)求三棱锥D－D1BC的体积【答案】(1)见解析；(2).【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积，即可求得三棱锥D﹣D1BC的体积．【详解】（1）证明：连接D1C交DC1于F，连接EF，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形DCC1D1为矩形，∴F为D1C的中点．又E为BC的中点，∴EF∥D1B．∴BD1∥平面C1DE．（2）解：连接BD，又△BCD的面积为．故三棱锥D﹣D1BC的体积． 【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，为抛物线弧上的动点．（1）若，求抛物线的方程；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，分析易得直线的方程，将其与联立，得，由根与系数的关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得的值，即可得抛物线的方程；（2）设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，进而可得与直线平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．【详解】解：（1）由条件知，与联立，消去，得，则．由抛物线定义得．又因为，即，则抛物线的方程为；（2）由（1）知，且，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得．由，得．与直线平行且与抛物线相切的直线方程为两直线间的距离为，故的最大值为．20．已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的基本量和，列出方程，即可解得和的值，进而可得通项公式.（2）根据裂项相消求和的方式得到，然后根据不等式成立，分参后求最值，即可求解.【详解】（1）设等差数列首项为，由题意可得即又因为，所以 故．（2）∵，∴ ．因为存在，使得成立．即存在，使得成立．即存在，使得成立．（当且仅当时取等号）．故，即实数的取值范围是．21．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.(1)求证：BD⊥PA；(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，N为PM的中点【分析】（1）先证明AD⊥BD，PE⊥BD，即可证明BD⊥平面PAD，从而BD⊥PA；（2）建立坐标系，用向量法求解即可【详解】（1）取AD的中点E，连接PE，CDAB，，，，，∴∠DBA=45°，，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∴PA=PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD∵平面PAD⊥半面ABCD，平面平面ABCD=AD，半面PAD，PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PE⊥BD又平面PAD，平面PAD，∴BD⊥平面PAD，又平面PAD∴BD⊥PA.（2）延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM，以B为原点，以BM､BA､平面ABCD的过点B的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz，则，，设，则，设平面PCD的法向量为，则，，即令可得，设平面CDN的法向量为，则，，即，令可得，，若二面角P-DC-N的余弦值，则解得：或，令可得，解得，故当时，二面角P-DC-N为锐二面角，当时，二面角P-DC-N为钝二面角，，即在直线l上存在点N，当N为PM的中点时，二面角P-DC-N的余弦值为.22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【分析】(1)由椭圆离心率结合化简方程，设，由最大值为4即可作答；(2)设直线AB斜率k，写出直线AB方程，联立直线AB与椭圆C的方程组，消去y得关于x的一元二次方程，用判别式和求出k的范围，再借助及点P在椭圆上建立起t与k的关系而得解.【详解】（1）椭圆C的半焦距c，，即，则椭圆方程为，即，设，则，当时，有最大值，即，解得， ，故椭圆方程是；（2）设，，，直线AB的方程为，由，整理得，则，解得，，，因且，则，于是有，化简，得，则，即，所以，由得，则，，而点P在椭圆上，即，化简得，从而有，而，于是得，解得或，故实数t的取值范围为或.