2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题 一、单选题1．集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用并集运算即可求解.【详解】，所以故选：.2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角的正切公式，化简求值.【详解】.故选：D3．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ）A．10米/秒 B．9米/秒C．7米/秒 D．5米/秒【答案】B【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度.【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.故选：B4．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据选项，代入求的范围，根据正弦函数的性质，判断选项.【详解】A.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故A错误；B. 当时，，函数在区间单调递增，在区间单调递减，故B错误；C. 当时，，函数在区间单调递增，故C正确；D.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故D错误.故选：C5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据外接球半径求法和球的表面积公式即可求解.【详解】根据题意，体对角线的长度为外接球的直径，所以，故该球的表面积为.故选：A.6．若随机变量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果.【详解】因为，，则，解得，所以.故选：D.7．设，，，，则，，的大小关系是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】通过作差法分别比较与，与的大小，从而得出，，的大小关系.【详解】因为，所以，所以，，所以，即.故选：C.8．如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（    ）A．直线与直线相交 B．直线与直线平行C．直线平面 D．直线平面【答案】C【分析】根据中位线定理证明平行，再由线面平行的判定定理即可求解.【详解】直线与直线既不平行，也不相交，故选项A错误，选项B错误；根据题意，是中位线，所以，面，而面，所以直线平面，故选项C正确，选项D错误.故选：C.9．用清水冲洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过，则至少要洗的次数是（    ）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】设洗的次数是，根据题意列出关于n的不等式，再解不等式即可作答.【详解】设洗的次数是，令原有污垢为1，因为每次能洗去污垢的，则每次洗后留存的污垢为，于是得次冲洗后存留的污垢为，由得：，而，则，所以至少要洗的次数是10.故选：B10．“，”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】求出不等式恒成立的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为，，则有，解得，而，所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A11．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（    ）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在处取得最大值 D．在处取得极大值【答案】D【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，当时，，当且仅当时取等号，因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.故选：D12．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在椭圆上，则周长的最大值为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】设椭圆的左焦点为，连接，进而结合椭圆定义得的周长为，再根据求解即可.【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接由椭圆定义知，故，所以的周长为，因为当且仅当三点共线时，等号成立，所以，，所以周长的最大值为，故选：D 二、填空题13．双曲线的焦点坐标是______．【答案】，【分析】将方程化为双曲线的标准方程，再求焦点坐标.【详解】双曲线方程化简为标准方程为，由方程可知焦点在轴，其中，则，所以焦点坐标是.故答案为：14．已知是正项等比数列，且，则______．【答案】3【分析】根据等比数列的下标和性质结合对数的定义与运算求解.【详解】.故答案为：3.15．函数的部分图像如图所示，则=______．【答案】1【分析】根据函数的最值，周期，最小值点等信息代入即可求解.【详解】根据函数图像，，,解得所以.又，所以，所以，所以，又因为，所以令，则，所以，所以.故答案为：1.16．若某几何体为一个棱长为2的正方体被过顶点P的平面截去一部分后所剩余的部分，且该几何体以图①为俯视图，其正视图和侧视图为图②③④⑤中的两个，则正视图和侧视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】②⑤(答④③也正确)【分析】根据点P的位置排除不可能为正视图的选项③和⑤，分正视图为②④时，分别讨论即可.【详解】由截面过顶点可知，正视图不可能为③和⑤，正视图为②时，侧视图为⑤，其直观图如图所示：当正视图为④时，侧视图为③，其直观图如图所示：故答案为：②⑤(答④③也正确) 三、解答题17．已知是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和的最小值．【答案】(1)(2)-30 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项性质即可求解；（2）根据等差数列的求和是二次函数即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则．∵是和的等比中项，∴，解得．∴．（2）由（Ⅰ）可知，当n=5或6时的最小值为．18．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828  【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,乙机床生产的产品中的一级品的频率为.（2）,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.19．如图，四边形是正方形，平面，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理作答.（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.【详解】（1）四边形是正方形，有，而平面，平面，则，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，两两垂直，以为原点分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，即有，，，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，令，得，设平面与平面夹角为，则有所以平面与平面夹角的余弦值为.20．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点． 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合，即可进一步求解.【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离为4，得，解得，∴抛物线的标准方程为．（2）由消去得．∴，．设直线和直线的斜率分别为，，以线段为直径的圆过原点，∴，∴．∵，，∴，．∴，即．∴直线．∴直线恒过定点．21．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上只有一个零点，求实数的值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；（2）分和两种情况讨论，根据题意结合导数与单调性的关系分析求解.【详解】（1）∵，∴，则，．即切点坐标为，切线斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．（2）∵，，则有：当，则在上恒成立，故函数在上单调递增，则，即在无零点，不合题意，舍去；当，令，则在上单调递增，则，令，则在上恒成立，则在上单调递增，则，故在上恒成立，∴，（ⅰ）当，即时，则，则函数在上单调递增，则，故函数在上单调递增，则，即在无零点，不合题意，舍去；（ⅱ）当，即时，则函数在存在唯一的零点，可得：当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，则，∵，即，∴，①当，即时，则在上恒成立，故函数在上单调递增，则，即函数在无零点，不合题意，舍去；②当，即时，结合①可得：若时，在上恒成立，故，故在内有两个零点，不妨设为，可得：当或时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上只有一个零点，且，∴，又∵，即，∴，解得，故；综上所述：.【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线极坐标方程为．(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知射线与曲线的交点为，求点的直角坐标．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式即可将参数方程化为普通方程，再利用极坐标方程方法即可求解；（2）根据极坐标方程代入即可求解.【详解】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，根据转化为极坐标方程为，∴曲线的极坐标方程为．（2）当时，，∴．∴点的极坐标为．∴点的直角标为．23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由题知，进而平方解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式得，进而解即可得答案.【详解】（1）解：因为即为，所以，即，解得，所以，不等式的解集为（2）解：因为对任意实数恒成立，，所以对任意实数恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，解得或，所以，实数的取值范围为.