2022届上海市高桥中学高三上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022届上海市高桥中学高三上学期9月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市高桥中学高三上学期9月月考数学试题 一、填空题1．已知，，且，则实数的范围是___________．【答案】【详解】由题意，当时，，所以实数的范围是．2．直线与直线互相平行，则实数________．【答案】2【详解】，解得．3．已知，，则________．【答案】【详解】，所以．4．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____________【答案】12【分析】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，从而求得结果.【详解】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，所以抽取男运动员的人数为.【点睛】本题考查简单随机抽样分层抽样，属于基础题.5．已知函数 ，则_________．【答案】-2【详解】，则．6．从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为___________.【答案】【分析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可.【详解】因为方程表示双曲线,所以.因此可以分成两类：第一类：从集合中取一个正数,从集合取一个负数,有种不同的取法；第二类：从集合中取一个负数,从集合取一个正数,有种不同的取法.所以一共有种不同的方法.所以故答案为：7．已知是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q＝_____．【答案】或1【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.【详解】在等比数列中，成等差数列，则，即，而，整理得，解得或，所以或.故答案为：或18．若将函数表示成，则a3的值等于__【答案】20【分析】由，根据二项展开式的通项理解求解.【详解】∵，则∴当时，则故答案为：20．9．如图，长方体的边长 ， ，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于_________． 【答案】【详解】由题意，，所以，所以．10．椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.【答案】【详解】由题意，椭圆的标准方程为，矩形第一象限内的一点为，所以矩形面积，所以．点睛：本题考查椭圆的应用．本题中利用三角换元进行解题．三角换元在圆锥曲线中是比较重要的技巧，在解决最值问题中，往往能起到很好的效果．本题利用三角换元就得到，显然．11．已知非负实数x、y满足，则的最小值为_________.【答案】【分析】先画出非负实数x、y满足所表示的平面区域，然后求点到直线的距离即可.【详解】非负实数x、y满足所表示的平面区域如下图所示的阴影部分：所表示的意义为平面区域内的点到直线的距离，从上图可知点到直线的距离最小，其值为.故答案为：.12．已知两定点和，若对于实数，函数（）的图像上有且仅有6个不同的点，使得成立，则的取值范围是________【答案】【分析】画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．【详解】解：函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4，（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27，∵x∈[﹣4，﹣2]，∴由二次函数的性质可得：当时有两解；（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．∴x2﹣9+4＝x2﹣5，∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，∵2＜x≤4， ∴∴由二次函数的性质可得：当时有两解；综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题． 二、单选题13．“”是“不等式成立”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分亦非必要条件【答案】D【分析】解出不等式，判断两个不等式之间的推出关系，再根据既不充分也不必要条件的定义即可得出结论．【详解】不等式成立，化为，解得，由不可以得到，反之也不可以，故“”是“不等式成立”的既不充分也不必要条件.故选：D.14．给出下列命题，其中正确的命题为A．若直线和共面，直线和共面，则和共面；B．直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；C．直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；D．异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直.【答案】D【详解】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，但平面内存在无数条直线与已知直线平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知，∴假设不成立，故D正确，故选D．【解析】空间中点、线、面的位置关系及其判定．15．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由向量垂直的条件可得，运用向量的平方即为模的平方，可得，再由运用向量数量积的定义化简得，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【详解】由题意得，， 有，得，，即，当，即与同向时，的最大值是.故选：C.16．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用抛物线定义及两点间距离公式列式，再借助均值不等式求解作答.【详解】抛物线的准线方程为，，则，，，当时，，当时，，当且仅当时取等号，而，所以的最小值是.故选：B 三、解答题17．如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，，，，.（1）求直线与平面所成角的正切值；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由面，可得即为直线与平面所成的角，在中，即可求解；（2）由三棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】（1）因为正方体的棱长为，，所以，，连接，则，因为面，所以即为直线与平面所成的角，在中，，所以直线与平面所成角的正切值为；（2）因为面，所以即为三棱锥的高，所以三棱锥的体积为.18．已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及函数在上单调递减区间【答案】（1）（2）周期为，【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．【详解】解：（1） 因为，且,所以，所以 （2），，所以的最小正周期为当时，，再由得，，函数在上的递减区间为【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．19．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】（1）是，理由见解析，（2）【分析】（1）根据的单调性求得在区间上的取值范围，由此得出，进而判断出在在上是有界函数，并由此求得所有上届的集合.（2）根据的上界得到，令进行换元、分离常数，将问题转化为，然后利用导数求得在区间上，函数的最大值以及函数的最小值，由此求得实数的取值范围.【详解】（1），，则在上是增函数，故，即，故，所以是有界函数． 所以，上界满足，所有上界的集合是． （2）由题意，对恒成立，即， 令，则，原不等式变为，故， 故，令，当时，，即函数在区间上是增函数，故.令，当时，，即函数在区间上是减函数，故．综上，实数的取值范围是．【点睛】本小题主要考查新定义函数概念的理解和运用，考查利用导数证明函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立问题的求解，综合性较强，属于难题.20．按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）23,54,6,6,85,7,7,9,7,9,9,11……………………………………若第行所有的项的和为．（1）求；（2）试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；（3）设，求和的值．【答案】（1）   （2），  （3），【分析】（1）根据已给数据可计算，写出第5行后可计算；（2）根据数表的形成过程，可得递推关系：，化简后，构造新数列是等差数列，通项公式可求；（3）计算，并裂项得，即用裂项相消法求得和，然后可求得极限．【详解】（1）第5行数据是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．∴ ． （2）由题意，第行共有项，于是有等式两边同除，得，即为等差数列，公差为，首项为所以，即． （3）因为 所以所以， ．【点睛】本题考查数列创新题，考查数列递推公式，考查等差数列的通项公式，裂项相消法求和，难度较大．由数表的形成过程，可得数列的递推公式，但由递推公式构造新数列，这实质是递推公式的应用，对一些特殊的递推公式可通过构造新数列为等差数列或等比数列来求通项公式．对复杂的数列求和时要对项进行变形，变形后如裂项相消，分组求和，并项求和等等．这既考查学生的运算能力，又考查学生的推理能力．要求较高．21．设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知.(1)求抛物线的方程；(2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域；(3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)，值域为(3)存在，的取值范围为 【分析】（1）由抛物线通径的长，可求的值，得抛物线方程； （2）用点和方向向量表示出直线，与抛物线联立方程组，由结合韦达定理求解. （3）设出直线方程代入抛物线方程，因为为钝角，所以，结合韦达定理列出不等式，由不等式恒成立，由此可得m的取值范围．【详解】（1）抛物线的焦点为，不妨设点在x轴上方，由题意可得，得，所以抛物线的方程为；（2）直线方程为，由，得，△恒成立.设，则，由（1）知，，所以，，所以.，，所以的值域为.（3）设所作直线的方向向量为，则直线方程为由，得，设，则，.又，则，因为为钝角，所以，所以，即，所以，该不等式对任意实数恒成立，因此，所以.又点与焦点不重合，有，因此，当时满足条件，即的取值范围为.