2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
柳城中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，i为虚数单位，则的共轭复数为（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.4.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.6.已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.7.如图正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.已知函数是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，若，则（）A.2 B.0 C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知，，则（）A. B. C. D.10.已知数列的前项和为，则（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，，则11.关于函数，下列说法正确的是（）A.若，则B.的图像关于点对称C.在上单调递增D.的图像向右平移个单位长度后所得图像关于轴对称12.将边长为2的正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A.存在某个位置，使直线与平面所成的角为45°B.当二面角为时，三棱锥的体积为C.当平面平面时，异面直线与的夹角为60°D.为的中点，当二面角为时，三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且，则______.14.展开式的常数项为______.15.已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为______.16.有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次.若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束.则______；该棋手获胜的概率为______.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别为，，，，且.（1）求；（2）若的周长为，求边上中线的长.18.已知数列的前项和为，若，且.（1）求的通项公式；（2）设，，数列的前项和为，求证.19.2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如下表数据：（天）1234567（秒）990990450320300240210经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度约为多少秒？（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据：（其中）18450.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20.如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于，的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值.21.已知抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.22.某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号.其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；（2）若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案。高三数学试卷答案一、选择题1.【答案】B【详解】，所以的共轭复数为，2.【答案】C解：由，得或，所以，由，得或，所以，从而.3.【答案】A【详解】因为随机变量服从正态分布，由对称性可知，，又，所以，故4.【答案】A解：设圆锥底面半径为，母线长为，则，所以，所以圆锥的高为，所以，解得，故其表面积.5.【答案】C由题意知：曲线为，于轴对称，则，，解得，，又，故当时，的最小值为.故选：C.6.【答案】C【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.7.【答案】B解：取的中点，连接交于点，连接，则，且，则为异面直线与所成的角或其补角.易求，，则，所以.8.【答案】C解：因为为奇函数，所以，又为偶函数，所以，所以，即，所以，故是以4为周期的周期函数.由，易得，，所以，所以，，解得，，所以.二、选择题9.【答案】BC解：因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A错误，B正确；因为，，所以，所以.故D错误，C正确.故选BC.10.【答案】AC解：对于A，若，则，当时，显然时也满足，故，故为等差数列，故A正确；对于B，若，则，，，显然，所以不是等比数列，故B错误；对于C，因为为等差数列，则，故C正确；对于D，对于D选项，当时，，故当时不等式不成立，故不成立，所以D错误.故D错误.故选AC.11.BD【详解】对于A，由知，是图象的两个对称中心，即，故A不正确；对于B，因为，所以是的对称中心，故B正确；对于C，由解得，当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，∴是偶函数，所以图象关于轴对称，故D正确.故选：BD.12.ACD【详解】A.当平面平面时，取的中点，连接，，∵，∴平面，∴为直线与平面所成的角，∵是等腰直角三角形，∴，故A正确；B.∵，，，∴平面，且，平面，∴平面平面，且交于，∴点在平面的射影落在上，∴点到平面的距离，三棱锥的体积，故B错误；C.取，的中点，，连接，，，则，，所以或其补角是异面直线与的夹角，根据A的证明可知，，且，所以是等边三角形，，故C正确；D.由条件可知平面，，且，所以可以将四棱锥补成底面是菱形的直棱柱因为四边形是菱形，且，所以点是底面外接圆的圆心，取侧棱的中点，则是四棱柱外接球的球心，连结，，所以四棱锥外接球的半径，外接球的表面积，故D正确.故选：ACD三、填空题13.【答案】解：，由，得，解得.则，故.14.【答案】2160通项公式为，，1，…，6，令，解得，所以展开式的常数项为，故答案为：2160.15.【答案】解：，所以，故函数的图象在处的切线为，其向上部分与轴正向的夹角为，函数的图象绕原点旋转不超过时，仍为某函数图象，若超过，轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故的最大值为.16.，【解析】由题，因为，故，由，所以，，累加可得：，.四、解答题17.解：（1）因为又，所以，由余弦定理，得.又，所以，由及正弦定理，得，所以，由，得，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，所以，由，得.因为的周长为，所以，解得.设的中点为，则.由余弦定理，得，所以边上中线的长为18.【解析】【小问1详解】由得：，则当时，，又，∴，∴，经检验：满足；∴.【小问2详解】由（1）得：当时，；∴，∵，∴，∴19.【解析】（1）由题意，，令，设关于的线性回归方程为，则，则，∴，∴关于的回归方程为，当时，，预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度约为150秒；（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，的可能取值为2、3、4.当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴.∴小明最终赢得比赛的概率为.20.（1）∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于、的点，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，，平面∴平面（2）取的中点，连接、，则，由（1）可知，∵，∴平面，又∵∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系；…由题意可得，，∵平面，∴，四边形为矩形，∴平面的一个法向量为.设平面的一条法向量为，，由得令，则，平面的一个法向量为则平面与平面的夹角的余弦值为∴平面和平面夹角的余弦值为21.【解析】（1）点，则切线方程为：，由消去并整理得：，依题意，，解得，所以抛物线的方程是.（2）设抛物线上关于对称的两点为，，则设直线方程为：，由消去并整理得：，则有，解得，，，显然线段的中点在直线上，于是得，即有，而，因此，，解得，所以实数的取值范围是.22.解：（1）要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件，则故所求的概率（2）若选择方案一，则需要付款（万元）（3）若选择方案二，设付款金额为万元，则，，，，故的分布列为67810所以（万元）所以选方案二划算.