2023届福建省厦门第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2023届福建省厦门第一中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的单调性求出集合，一元二次不等式求出，再利用集合的交并补运算即可求解.

【详解】由，则，

又，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查了集合的交并补运算、对数函数的单调性解不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.

2．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．9

【答案】B

【解析】根据函数，先求得，再求即可.

【详解】因为函数，

所以，

所以，

故选：B

3．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是

A．样本中的女生数量多于男生数量

B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量

C．样本中的男生偏爱理科

D．样本中的女生偏爱文科

【答案】D

【详解】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.

4．如图，是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得两两垂直，且，所以以为棱构造一个长方体，则四面体的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此可求出球的半径，从而可求出球的表面积

【详解】因为是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使三点重合于点，

所以两两垂直，且，

所以以为棱构造一个长方体，如图所示，

则四面体的四个顶点在这个长方体的外接球上，

则这个球的半径为，

所以球的表面积为 ，

故选：C.

5．已知，若，则等于（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】先结合解析式得出，再代入计算可得答案.

【详解】，

，

，，

故选：A.

6．数列满足，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将递推式化为，从而得到是常列数，进而得到是等差数列，由此求得，据此解答即可.

【详解】因为，，

所以，即，则，故，

又，，所以，

所以是以首项为的常数列，则，

又，，所以是以首项为，公差为的等差数列，

故，则，

所以.

故选：A.

7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】假设直线方程，与抛物线联立后，利用韦达定理求解出和；再利用在圆上得到与垂直，构造方程解出，从而求解出圆心和半径，得到圆的方程.

【详解】由抛物线方程可知：，准线方程为：

设直线方程为：，代入抛物线方程得：

设，，则，

又，，在圆上    

即    

即    

圆心坐标为：，即；半径为：

圆的方程为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、圆的方程的求解，关键在于能够利用直线与抛物线的关系得到圆心坐标，再利用圆的性质求解出参数，从而顺利求解出方程.

8．已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：∵方程恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴，设切点为，∴切线方程为，

而切线过原点，∴∴直线的斜率为，又∵直线与y=x+1平行，

∴直线的斜率为，∴实数a的取值范围是

【解析】分段函数的应用

二、多选题

9．设、为复数，且，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若为纯虚数，则为实数

C．若，则的实部与的虚部互为相反数

D．若，则、在复平面内对应的点不可能在同一象限

【答案】CD

【分析】本题可通过令、得出A错误，通过令、得出B错误。然后设、，、、、均是实数，通过得出，C正确，最后通过得出，根据当、在复平面内对应的点在同一象限时即可得出D正确.

【详解】A项：若，，则满足，不满足，A错误；

B项：若，，则满足为纯虚数，不满足为实数，B错误；

C项：设，，、、、均是实数，

因为，所以，即，，，

故的实部与的虚部互为相反数，C正确；

D项：设，，、、、均是实数，

则，

因为，所以，

若、在复平面内对应的点在同一象限，则，

故、在复平面内对应的点不可能在同一象限，D正确，

故选：CD.

10．四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（    ）

A．四人中奖概率与抽取顺序无关

B．在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为

C．事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥

D．事件甲中奖与事件乙中奖互相独立

【答案】ABC

【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、条件概率公式可判断各选项的正误即可.

【详解】对于A,根据题意，每个人中奖的概率都为，与抽奖的顺序无关，故A正确；

对于B,记“甲未中奖”为事件A，“乙或丙中奖”为事件B，

则,

在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率, ,故B正确；

对于C,事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖不可能同时发生，故它们互斥，故C正确；

对于D,设“甲中奖”为事件M，“乙中奖”为事件N，则，

由于只有一张奖券可以中奖，事件M,N不可能同时发生，故，

,不相互独立，故D不正确.

故选：ABC.

11．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．的对称中心的坐标是

B．的图象是由的图象向右移个单位得到的

C．在上单调递减

D．函数在内共有7个零点

【答案】ABD

【分析】先运用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐一判断可得选项．

【详解】因为，所以

对于A：令，得，所以的对称中心的坐标是，故A正确；

对于B：因为，所以的图象是由的图象向右移个单位得到的，故B正确；

对于C：当时，所以，而当时，单调递增，故C不正确；

对于D：令，所以，即，所以，在内有，

所以函数在内共有7个零点，故D正确，

故选：ABD．

【点睛】关键点睛：解决三角函数性质相关问题时，关键在于运用三角恒等变换将函数的解析式化简为一个角一个三角函数名的形式，再运用整体代换的思想得以解决．

12．在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在某个位置，使得

B．不存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得平面平面

D．存在某个位置，使得

【答案】BC

【分析】取中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，可得，利用线线垂直的向量表示、向量夹角的坐标表示、面面垂直的向量证明、线面角的向量求法来构造方程，根据方程是否有解来确定结果.

【详解】取中点，连接；过作平面，

由正四面体的性质知：为等边的中心，即且，

以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为，则，，，，

，，，；

设，又，，；

对于A，假设存在点，使得，

，，

，解得：（舍），

不存在点，使得，A错误；

对于B，假设存在点，使得，

，，

，

即，整理可得：，方程无解，

不存在点，使得，B正确；

对于C，，，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

假设存在点，使得平面平面，

则，解得：，符合题意；

存在点，使得平面平面，C正确；

对于D，，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

假设存在点，使得，

则，

即，整理可得：，方程无解，

不存在点，使得，D错误.

故选：BC.

【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的点的存在性问题，本质是考查利用空间向量法求解线线角、线面角和面面角的问题，解题基本思路是建立空间直角坐标系，假设动点存在，利用线线角、线面角和面面角的向量求法构造方程，根据方程是否有解来得到结论.

三、填空题

13．据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为______.

附：若，则：，，.

【答案】0.9987

【分析】根据可求出结果.

【详解】由可知，，，

所以

.

故答案为：.

14．若，则的值为__．

【答案】125

【详解】分析：令可得；令，可得；又

，故可得的值．

详解：在中，

令，可得；

令，可得；

又，

∴．

点睛：对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．

15．已知抛物线的焦点为，，为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为______．

【答案】##

【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积．

【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示，

设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，

则，所以直线的倾斜角为，

又，故直线的方程为，

联立，消整理得，即，解得或，

则，，所以，

又原点到直线的距离为，所以．

当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求．

故答案为：．

16．已 知 数 列与满足，若，且对一切恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】化简条件式得，使用累加法求出的通项公式，代入条件式得出．利用数列的单调性得出右侧数列的最大值即可得出的范围．

【详解】解：，，代入，化简得，

，

又符合上式，故

故可化为．

令，则，

当，单调递减，当时，单调递增，

当时取得最大值，

．

实数的取值范围是.

故答案为：．

四、解答题

17．如图，在中，点在边上，，，．

（1）求的值；

（2）若的面积为，求的长．

【答案】(1) ;(2) .

【详解】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求，由，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求的值，再利用三角形面积公式求得，与余弦定理即可得解的长度.

试题解析：（1）因为，所以，

又因为，所以，

所以 ．

（2）在中，由正弦定理，

故 ．

又，解得．

在中，由余弦定理得

.

18．如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，且，且∥．

（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为，理由见解析．

【详解】（1）证明：由已知，平面平面，且，则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为轴轴,轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .

则，所以.

易知平面的一个法向量等于，所以，所以，

又平面，所以平面.

（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.

理由如下：

因为，设平面的法向量为，

由，得，

即，得平面的一个法向量等于，

假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于.

设，

则.

所以

.

所以，解得或(舍去)

因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于.

19．已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为；

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得；运用等差数列的定义和通项公式可得；

（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和.

【详解】（1）由已知，得，

即，也即，解得，，

故；

，，可得是首项为1，公差为的等差数列，

，，

当时，，

经检验时也符合上式.

则，；

（2），

设，

所以，

两式相减得

=

所以，

所以.

【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和.要根据具体情况灵活选择合适的方法求解.

20．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（1）是否可以犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：

①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；

②求的数学期望和方差．

【答案】（1）犯错误概率不超过%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①分布列见解析；②，.

【详解】试题分析：（1）由题意填写好联表，计算，故可以在犯错误概率不超过%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且，是二项分布，由二项分布的知识写出分布列，并求出期望与方差.

试题解析：

（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表：

，

可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．

（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，5．其中；

的分布列为：

由于，则；

【解析】1.独立性检验；2.二项分布.

21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，当轴时，．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求四边形面积的最小值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）根据题意列出方程即可求得的值.

（Ⅱ）首先对和是否垂直于轴分类讨论，设直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系分别求出和的长度，再表示出四边形的面积，利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】（Ⅰ）当垂直于轴时，令，代入，得，

所以，又，所以，，

所以椭圆的标准方程为:.

（Ⅱ）当直线或垂直于轴时，四边形的面积为6.

设直线的方程为（），

与椭圆的方程联立得

整理得．

设，，

则，，

∴．

同理可求得，

所以

，

当且仅当时等号成立．　

综上，四边形面积的最小值等于．

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．已知函数，．

(1)若在上有两个不等实根，求实数的取值范围；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析．

【分析】（1）依据题设条件用分离参数法先将方程问题转化为函数问题，再运用导数知识求解；

（2）先将不等式进行转化再构造函数运用导数知识求两个函数的最值.

【详解】（1）由题意知方程在上有两个不等实根，

设（），．

令，得，则在上单调递增，在上单调递减，

所以在上的最大值为．

又，，所以的取值范围为．

（2），即，等价于，

设，则，

所以当时，，单调递减；当时，单调递增．　

所以在上的最小值为．

设，则，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以在上的最大值为．

因为，且最值不在同一处取得，所以，故．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）的有效而重要的工具，求解本题的第一问时，依据题设条件将方程问题转化为函数问题，再构造函数运用导数知识分析求解而获解；解答第二问时，则首先将不等式进行等价转化，然后再构造函数运用导数知识及转化化归的思想方法进行分析推证，从而使得问题 简捷、巧妙获证．