2023届河北省衡水中学高三上学期四调数学试题（解析版）

这是一份2023届河北省衡水中学高三上学期四调数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省衡水中学高三上学期四调数学试题 一、单选题1．已知，则在复平面内对应的点位于（    ）A．实轴上 B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上【答案】C【分析】根据复数的四则运算得出，然后在利用复数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一、三象限的角平分线上．故选：.2．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据及相关公式求出，再根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由，得，则，即，则，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：.3．在直角三角形中，，则（    ）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为为直角三角形，且，所以,且,所以.故选:A.4．设，，为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设与的夹角为，，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设与的夹角为（），，当与的夹角为钝角时，因为，，所以，当时，所以，所以，所以，所以为钝角或，所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，故选：B5．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由黄金分割比可得，结合矩形的特征可用表示出，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，因，由黄金分割比可得，于是得，即有，同理有，而，即，从而有，所以.故选：D6．已知复数z满足，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.【详解】设，则，整理得：,所以，消去得,因为方程有解，所以，解得：.故选：D.7．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：；    乙：；丙：；    丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B．8．对于给定的正整数，设集合，，且∅．记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据 的定义，推出 的表达式，再计算即可.【详解】根据题意知A为集合的非空子集，满足的集合只有1个，即；满足的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足的集合有个，所以，则，两式相减得，所以 ，所以；故选：D. 二、多选题9．设非零向量的夹角为 为任意非零向量，定义运算，则下列结论正确的是（    ）A．若，则  B． C．  D．若，则的最大值为1【答案】ACD【分析】根据 的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A，因为，并且 ，所以，解得或，所以，故选项A正确；对于B，不妨取，设 与 的夹角 ， 与的夹角为， 与的夹角为 ，则 ， ，此时，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，当时，，当且仅当时取等号，所以，故选项D正确；故选：ACD.10．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设则，不满足，也不满足，故选项AC错误；对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；对于D，设，则，所以， ，故选项D正确；故选：BD.11．如图放置的边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设，由边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，可得出的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.【详解】设，因为，所以，，，故，，所以．同理可得，所以，所以．因为，所以，则，故的值可能是，2．故选：12．已知函数及其导函数的定义域均为R，对任意的，，恒有，则下列说法正确的有（    ）A． B．必为奇函数C． D．若，则【答案】BCD【分析】赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.【详解】对于A，令，则由可得，故或，故A错误；对于B,当时，令，则，则 ，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，为偶函数，则为奇函数；综合以上可知必为奇函数，B正确；对于C，令 ，则，故。由于,令,即，即有，故C正确；对于D，若，令 ，则，则 ，故令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即， 由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，故，故D正确，故选：BCD【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定的周期性. 三、填空题13．已知，则的虚部是_______．【答案】##【分析】由复数的概念与四则运算求解【详解】由题意化简得，故故z的虚部是，故答案为：14．若函数的图像关于直线对称，则___________.【答案】【分析】由题知，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，所以函数在时取得最值，所以，结合辅助角公式得：，即，整理得：，解得.故答案为：15．在中，，是线段上的动点，有下列三个结论： ①；②；③．则所有正确结论的序号是__________．【答案】①【分析】根据条件知 是等边三角形，建立直角坐标系，用平面向量逐项分析.【详解】因为，所以是等边三角形，取BC的中点为O，连接AO，以O为坐标原点，BC所在的直线为轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图，设，则，所以， ，  ，即，故①正确；，故②错误；，故③错误；故答案为：①.16．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的最大值是_______．【答案】##【分析】根据条件化简整理可得，然后利用向量的夹角公式和均值不等式即可求解.【详解】由，得．又由，得，则，即，即，所以，当且仅当时取等号，所以向量与的夹角的最大值是.故答案为：. 四、解答题17．设复数，，其中.(1)若复数为实数，求的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得，再列出等量关系，求解即可；（2）先计算，结合和余弦函数的性质，分析即得解【详解】（1）由题意，若复数为实数，则故，解得：（2）由题意，，由于，故故故故的取值范围是18．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．(1)求B和b的值；(2)求面积的最大值．【答案】(1)，b=2；(2) 【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案.【详解】（1）解：因为，所以，，即，因为，所以，又，所以，所以，又的外接圆半径，所以由正弦定理得；（2）解：由余弦定理得，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故面积的最大值为．19．如图，在平行四边形ABCD中，，，，E为CD中点，，．(1)若，求实数的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，依题意可得，从而得到的坐标，再根据，即可得到，根据平面向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得的坐标，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．【详解】（1）在平行四边形中，，，，建立如图坐标系，则，，，，为中点，故，，故，，，，，所以，；（2）由（1）可知，，，，所以，，，对称轴为．，当时，的最大值为，当时，最小值为，所以．20．若函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减．(1)求函数的解析式；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出，，由函数单调性，利用导函数求出，确定函数解析式；（2）点不在曲线上，设切点为，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到，设，通过研究其单调性，极值情况，求出的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，则，故，，又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，因为，所以，即，解得：，经检验符合题意，所以．（2），因为曲线方程为，，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足，因为，故切线的斜率为，整理得：，因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根．设，则，由，得，，得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极值点为，，所以关于的方程有三个实根的必要条件是，解得：，又当时，，当时，，所以时，必有三个实根，故所求的实数的取值范围是．【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.21．治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】(1)(2)有效，理由见详解 【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；（2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【详解】（1）设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.当时，是首项为，公差为的等差数列，所以；当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为（2）设为数列的前项和，则．由于 由（1）知，时，，所以为递减数列， 时，，所以为递减数列，且，所以为递减数列，于是因此，所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的22．已知函数(1)求证：；(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）将所证不等式转化为，再构造函数，求导分析函数的单调性，并求出最小值证明即可；（2）令，再求导分，和三种情况讨论可得的单调性，结合零点存在性定理可得的零点区间，进而判断出有最大值即可.【详解】（1）要证明，只要证明设，则，令，则；令，则，    所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，即，即．（2）由题可得，令，则，①当时，，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，②当时，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．③当时，由，可得，∴，在上单调递增，，在上单调递减；由（1）知：．所以当时，．取，则，且．又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．综上，实数a的取值范围为．【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式的问题，同时也考查了构造函数求导分析单调性与最值的问题，在遇到极值点不能直接求出的情况，可设极值点，根据零点存在性定理确定极值点所在的区间，再根据不等式适当放缩得出极值的范围进行求解.属于难题.