2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共54页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是，下列计算中，正确的是，比较大小，请写出一个无理数____等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）

第I卷（选一选）

评卷人
得分



一、单 选 题
1．下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（       ）
A．B． C． D．
2．下列命题是真命题的是（       ）
A．两点之间直线最短 B．多边形的外角和为360°
C．三角形的任意两边之和小于第三边 D．直角三角形的两个锐角互补
3．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字相等，则（       ）

A．-5 B．-1 C．0 D．4
4．下列计算中，正确的是（       ）
A． B．
C． D．
5．关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则m的值可能是（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个分、一个分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定没有变的是（       ）．
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
7．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象和反比例函的图象在同一坐标系中大致是（       ）

A． B． C． D．
8．如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选一选）

评卷人
得分



二、填 空 题
9．比较大小：__________．
10．请写出一个无理数____．
11．新型冠状的直径是0.00012mm．将0.00012用科学记数表示是_____．
12．分解因式_____．
13．计算：______．
14．在某公益中，小明对本年级同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的没有完整的统计图，其中捐10元的人数占年级总人数的25%，则本次捐款的总人数为______人．

15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数的图象点D，则反比例函数的解析式是_____．

16．如图，矩形AOBC的顶点A，B在坐标轴上，点C的坐标是（-10，8），点D在AC上，将沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则D点坐标是______．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图像上的一个动点，⊙A的半径长为1．已知点B（-4，0），连接AB．当⊙A与两坐标轴同时相切时，的值是______．

评卷人
得分



三、解 答 题
18．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，则桥AB的长度是____米（结果保留根号）．

19．计算：
20．计算.
21．已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程．
22．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
23．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB=DE，CF⊥DE，垂足为F．

(1)求证：CF=CB；
(2)若∠FCB=30°，且AD=2，求EF的长．
24．小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合没有少于2支．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并设计一种使费用至少的买花，写出至少费用．
25．如图，是的外接圆，是的直径，于点．

（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
26．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．

（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
27．如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点M在象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；
(3)如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．

答案：
1．A

【分析】
根据轴对称图形和对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A．既是轴对称图形，又是对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，没有是对称图形，故本选项没有合题意；
C．没有是轴对称图形，是对称图形，故本选项没有合题意；
D．是轴对称图形，没有是对称图形，故本选项没有合题意．
故选：A．

本题考查了对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
2．B

【分析】
根据相关几何知识逐个选项判断即可．
【详解】
A. 两点之间线段最短，故原命题错误，是假命题，没有符合题意；
B. 多边形的外角和为360°，故原命题正确，是真命题，符合题意；
C. 三角形的任意两边之和大于第三边，故原命题错误，是假命题，没有符合题意；
D.直角三角形的两个锐角互余，故原命题错误，是假命题，没有符合题意；
故选:B

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解两点之间线段最短、多边形的外角和为360°、三角形三边关系、直角三角形两锐角互余，难度没有大．
3．A

【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x”与面“-3”相对，面“y”与面“-2”相对，“3”与面“1”相对．
正方体的相对表面上所标的数字相等，
x=-3， y=-2
x+y=-3+(-2) =-5．
故选：A．

本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析解答问题是解题的关键．
4．D

【分析】
直接利用分式的基本性质及运算法则，对选项依次判断．
【详解】
解：A、，故选项错误，没有符合题意；
B、，故选项错误，没有符合题意；
C、，故选项错误，没有符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选：D．

本题考查了分式的基本性质，解题的关键是：掌握分式的基本性质．
5．A

【分析】
先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选：A.

本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个没有等的实数解，则，是解题的关键．
6．A

【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】
根据题意，从7个原始评分中去掉1个分、1个分，得到5个有效评分，
7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数没有变，即中位数没有变．
故选:A

此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义．
7．C

【分析】
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x=1时，y＜0，可知a+b+c＜0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】
∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵- ＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
∴直线y=bx+c一、二、四象限，
由图象可知，当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴反比例函数的图象必在二、四象限，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．

本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8．B

【分析】
连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．
【详解】
设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．

由题意可知，AM=OB，
∵
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵，，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴．
故选：B．

此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．
9．＞

【分析】
根据两负数比大小，值大的反而小；或者直接想象在数轴上比较，右边的数总比左边的数大．
【详解】
解：根据有理数大小比较的规律可得两个负数中值大的反而小，∴﹣3＞﹣4．
故答案为＞．

规律总结：（1）在以向右方向为正方向的数轴上两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
（3）两个正数中值大的数大．
（4）两个负数中值大的反而小．
10．（答案没有）

【详解】
试题分析：是无理数．故答案为答案没有，如：．
考点：无理数．
11．

【分析】
确定所有零的个数n，省略所有的零，把小数点点在个非零数字的右边，得到a，把小数写成即可．
【详解】
∵0.00012=，
故．

本题考查了小于1的数的科学记数法，熟练掌握a，指数的确定方法是解题的关键．
12．

【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
【详解】
解：原式

故．

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．

【分析】
根据负整指数幂与零次幂进行计算即可求解．
【详解】
解：原式＝．
故．

本题考查了负整指数幂与零次幂，正确的计算是解题的关键．
14．80

【分析】
根据总数=，将数据代入进行计算即可．
【详解】
根据题意：捐款总人数==（人）
故80．

本题考查了条形统计图，从条形图中读取有用数据是关键．
15．

【分析】
根据平行四边形的性质求出点D的坐标代入反比例函数即可求解．
【详解】
解：设D，反比例函数为，
四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．
，，
，，
，解得，
．

本题主要考查了平行四边形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（-10，3）

【分析】
根据矩形的性质以及翻折性质可知，CD=DE，BC=OA=BE=10，OB=AC=8，∠BDE=∠DBC，由勾股定理可知，OE=6，则AE=4，令CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt中，，进而求出D点坐标．
【详解】
解：在矩形AOBC中，点C的坐标是（-10，8），
∴BC=OA=10，OB=AC=8，∠C=90°，
由翻折性质可知，
CD=DE，BC= BE=10，∠C=∠BED=90°，
在Rt中，
由勾股定理可知，OE===6，
∴AE=4，
令CD=DE=x，则AD=8-x，
在Rt中，，
∴x=，
解得x=5，
∴，
∴D（-10，3）
故（-10，3）．

本题考查矩形的性质、翻折与勾股定理的运用以及求点的坐标，熟练掌握翻折的性质并利用勾股定理求解是解决问题的关键．
17．或

【分析】
当圆A在第二象限时，A(-1，1)，设与x轴切于点D，AD=1，DB=-1-（-4）=3，计算tan∠ABD即可；当圆A在第四象限时，A(1，-1)，设与x轴切于点E，AE=1，EB=1-（-4）=5，计算tan∠ABE即可．
【详解】
当圆A在第二象限时，A(-1，1)，设与x轴切于点D，AD=1，DB=-1-（-4）=3，
∠ADB=90°，
∴tan∠ABO=tan∠ABD=；


当圆A在第四象限时，A(1，-1)，设与x轴切于点E，AE=1，EB=1-（-4）=5，∠AEB=90°，
∴tan∠ABO=tan∠ABE=；
故或．

本题考查了函数的性质，切线的性质，三角函数，熟练掌握切线的性质，灵活运用三角函数是解题的关键．
18．##

【分析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=60°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角懂得三角函数求解即可．
【详解】
如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，


由题意得，∠MCA=∠A=60°，∠NCB=∠B=45°，CD=120（米），
在Rt△ACD中，（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=120（米），
∴AB=AD+BD=（+120）（米）．
答：桥AB的长度为（+120）米．
故答案是：

本题考查了角的三角函数的运算，熟悉角的三角函数值是解题的关键．
19．

【分析】
根据乘方、值及二次根式的加减运算可直接进行求解．
【详解】
解：原式

本题主要考查乘方、值及二次根式的加减运算，熟练掌握乘方、值及二次根式的加减运算是解题的关键．
20．

【分析】
利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则展开后，合并同类项即可.
【详解】
原式                                                                   
.

本题考查整式的乘法公式，熟记公式是解题的关键.
21．，

【分析】
先根据，得出，，得出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：∵，，且，
∴a－4＝0，b+2=0，
∴，，
∴，
，
，
，
∴，．

本题主要考查了二次根式的非负性，二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据题意得出，，是解题的关键．
22．（1）(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况；（2）没有公平．

【分析】
（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况；
（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平.
【详解】
（1）树状图，如图所示：

(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿) 共9种情况；
（2）


所以游戏没有公平．

此题主要考查树状图列举的画法以及概率的应用，熟练掌握，即可解题.
23．(1)见解析
(2)EF＝4－

【分析】
（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，求出∠CDF＝∠AED，然后证明△DAE≌△CFD，即可解决问题；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出CD，再由勾股定理求出DF即可解决问题．
(1)
证明：∵CF⊥DE，
∴∠DFC＝90°，
∵在矩形ABCD中，AB＝CD，∠DAE＝90°，AB∥CD，
∴∠CDF＝∠AED，
∵AB=DE，
∴CD=DE，
在△DAE和△CFD中，，
∴△DAE≌△CFD（AAS），
∴CF＝AD，
∵CB＝AD，
∴CF＝CB；
(2)
解：∵∠FCB=30°，AD=2，
∴∠FCD＝60°，AD＝CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，
∴DF＝，
∵△DAE≌△CFD，
∴DF＝AE＝，
∵DE＝AB＝CD＝4，
∴EF＝DE－DF＝4－．

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，能够灵活运用各性质是解题的关键．
24．（1）买一支康乃馨需4元，一支百合需5元；（2），，当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用至少，至少费用为46元．

【分析】
（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可直接列出与之间的函数关系式，进而可得，然后根据函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，由题意得：
，
解得：，
答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元．
（2）由（1）及题意得：百合有（11-x）支，则有，
，
∵百合没有少于2支，
∴，解得：，
∵-1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=9时，w取最小值，最小值为，
∴当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用至少，至少费用为46元．

本题主要考查函数的应用及一元没有等式与二元方程组的应用，熟练掌握函数的应用及一元没有等式与二元方程组的应用是解题的关键．
25．（1）见详解；（2），

【分析】
（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．

本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．(1)；(2)，图见解析

【分析】
（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的没有等式，解没有等式即可得．
【详解】
解：（1）=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：


本题主要考查解一元没有等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元没有等式及解一元没有等式的步骤
27．(1)
(2)
(3)存在P或，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，

【分析】
（1）根据顶点坐标设顶点式计算即可；
（2）根据点C在BM的垂直平分线上得CM=CB，用距离公式列方程计算即可；
（3）分别求出B、E、F、H的坐标，再利用相似三角形的性质计算即可，注意分类讨论．
(1)
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），
∴设抛物线解析式为
把C（0，3）代入得：
解得
∴抛物线解析式为
(2)
令y=0得
解得
∴A点坐标为（2,0），B点坐标为（6,0）
∵抛物线对称轴为
∴设M点坐标为
∵点C在BM的垂直平分线上，
∴CB=CM
∴
解得：
∵M在象限
∴
∴M点坐标为
(3)
∵B（6,0），C（0,3）
∴直线BC的解析式为
∵对称轴与直线BC交于点E，
∴E点坐标为（4,1）
∵过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，
∴H坐标为
∵F点坐标为（4,0）
∴EF=1,BF=2,EH=
设x轴上方的对称轴上的P点坐标为（4，n），n>0

∴PE=n-1
当时
∴
解得：
此时P点坐标为：
当时
∴
解得：
此时P点坐标为：
综上所述，存在P或，使以E，H，P为顶点的三角形与相似．

本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求二次函数的解析式、垂直平分线的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点P．




















2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选
1. 下列运算，结果正确的是（　　）
A. m2+m2=m4 B. （m+）2=m2+
C. （3mn2）2=6m2n4 D. 2m2n÷=2mn2
2. 为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了，下表是这10户居民2014年4月份用电量的结果，那么关于这10户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是(　　)
居民(户)

1

3

2

4

月用电量(度／户)

40

50

55

60


A. 中位数是55 B. 众数是60 C. 方差是29 D. 平均数是54
3. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是【 】．

A. B. C. D.
4. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D.
5. 线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
6. 如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（ ）

A. （，3）、（，4） B. （，3）、（，4）
C. (，)、（，4） D. (，) 、（，4）
7. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 ( )

A. B. C. D.
8. 如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为（　　）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
9. 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后，按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，已知妈妈驾车速度是小明的3倍．
下列说确的有（　　）个
①小明骑车的速度是20km/h，在甲地游玩1小时
②小明从家出发小时后被妈妈追上
③妈妈追上小明时离家25千米
④若妈妈比小明早10分钟到达乙地，则从家到乙地30km．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1、Rt△OA2C2、Rt△OA3C3、Rt△OA4C4…斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3…=30°，若点A1的坐标（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…则依此规律OA2016的长为（　　）

A. 3×（）2013 B. 3×（）2014 C. 3×（）2015 D. 3×（）2016
二、填 空 题（3’×6=18’）
11. 因式分解：9bx2y﹣by3=______．
12. 计算|3﹣|+（2016﹣）0﹣3tan30°=______．
13. 如图．在正方形ABCD边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2=______．

14. 如果关于的一元二次方程有两个实根，且其中一个根为另一根的2倍，则称这样的方程为“倍根方”，以下关于倍根方程的说确的是_______(填正确序号)
①方程的倍根方程.
②若是倍根方程，则.
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程.
④若方程倍根方程且相异两点、都在抛物线上，则方程必有一个根为.
15. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2），当t=______时，△ABE与△BQP相似．

16. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________．

三、解 答 题（共72分，写演算过程）
17. （1）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7；
（2）先化简再求值（﹣）÷，其中a=﹣1．
18. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．

19. 为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：
（1）在这项了多少名学生？
（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

20. 已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+=0.
（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22=|x1x2|+，求实数m值．
21. 如图所示，小鹏准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20 m，在斜坡坡面上的影长CD=8 m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面CD互相垂直，请你帮小鹏求出旗杆AB的高度.(到1 m)


22. 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

23. 为鼓励大学生毕业后自主创业,我市出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主,成本价与之间的差价由政府承担.赵某按照相关政策本市生产的一种新型“儿童玩具”.已知这种“儿童玩具”的成本价为每件10元,为每件12元,每月量y(件)与单价x(元)之间的关系近似满足函数：y=−10x+500.
(1)赵某在开始创业的个月将单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设赵某获得利润为W(元)，当单价定为多少元时，每月可获得利润?
(3)物价部门规定，这种“儿童玩具”的单价没有得高于28元.如果赵某想要每月获得的利润没有低于3000元，那么政府为他承担的总差价至少为多少元?
24. 如图，直线AB交x轴于点B（2，0），交y轴于点A（0，2），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=3，连接DA，∠DAC=90°．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求D点坐标及过O、D、B三点的抛物线解析式．
（3）若点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交AB于F，交（2）中抛物线于E，连CE，是否存在P使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出P点坐标；若没有存在说明理由．




2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 下列运算，结果正确的是（　　）
A. m2+m2=m4 B. （m+）2=m2+
C. （3mn2）2=6m2n4 D. 2m2n÷=2mn2
【正确答案】D

【详解】试题解析： ∴选项A错误；
∴选项B错误；
∴选项C错误；
∴选项D正确．
故选D．
2. 为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了，下表是这10户居民2014年4月份用电量的结果，那么关于这10户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是(　　)
居民(户)

1

3

2

4

月用电量(度／户)

40

50

55

60


A. 中位数是55 B. 众数是60 C. 方差是29 D. 平均数是54
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据中位数的意义可知中位数是55，众数是60，平均数是，方差为=39，因此C错误．
故选C
考点：数据的分析
3. 如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是【 】．

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题分析：从左边看列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，
故选C．
考点：简单组合体的三视图．
4. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D.
【正确答案】D

【分析】化简分式方程得，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，，代入即可算出的值，当等式没有成立时，使分母为0，则．
【详解】解：，
化简得：，
当分式方程有增根时，
代入得，
当分母为0时，，
值为-1或1，
故选：D．
本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式没有成立时，此方程无解．
5. 线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
【正确答案】B

【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°﹣55°=35°，
∴∠2=35°．
故选：B．

本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
6. 如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（ ）

A. （，3）、（，4） B. （，3）、（，4）
C. (，)、（，4） D. (，) 、（，4）
【正确答案】B

【分析】先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，

∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE=CF=4-1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴，
即，
∴OE=，
∴点B（，3），
∴AF=OE=，
∴点C的横坐标为：-（2-）=-，
∴点C（-，4）．
故选：B．
此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用．

7. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 ( )

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC，∴tan∠DBC===．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
8. 如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为（　　）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵的面积为8，


∵点D为斜边AC的中点，


又



∴
故选C．
9. 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后，按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，已知妈妈驾车速度是小明的3倍．
下列说确的有（　　）个
①小明骑车的速度是20km/h，在甲地游玩1小时
②小明从家出发小时后被妈妈追上
③妈妈追上小明时离家25千米
④若妈妈比小明早10分钟到达乙地，则从家到乙地30km．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【分析】根据速度=路程÷时间可得出小明骑车的速度，由与x轴平行的线段端点的横坐标可得知小明在甲地玩了0.5小时，故①没有成立；
根据小明的速度可求出妈速度，妈妈出发的时间可算出此时小明离家的路程，由时间=路程÷速度差即可得知妈妈追上小明的时间，加上妈妈出发的时间可得出②成立；
由妈妈追上小明的时间妈速度可求出妈妈追上小明时离家的距离从而得出③成立；
设总路程为S，根据从相遇到到达终点妈妈比小明少用10分钟，即可列出关于S的一元方程，解方程求出S即可判断出④成立．上面各结论可得知结论．
【详解】解：小明骑车速度为10÷0.5=20（km/h），
1﹣0.5=0.5（h），即①没有成立；
妈妈驾车的速度为20×3=60（km/h），
妈妈出发时小明离家的路程为
妈妈追上小明需要时间为
此时小明离家时间为 （h），即②成立；
妈妈追上小明时离家的距离为（km），③成立；
10分钟小时，
设总路程为S，由题意可知：
，
解得：S=30．
从家到乙地的距离为30km，④成立．
故选C.
本题考查了函数的应用，解题的关键是图形利用各数量间的关系求出未知量再与4个说法进行比较．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，图形是关键．
10. 在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1、Rt△OA2C2、Rt△OA3C3、Rt△OA4C4…斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3…=30°，若点A1的坐标（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…则依此规律OA2016的长为（　　）

A. 3×（）2013 B. 3×（）2014 C. 3×（）2015 D. 3×（）2016
【正确答案】C

详解】试题解析：：

同理：



…

故选C．
点睛：本题考查了规律型，点的坐标：通过从一些的点的坐标发现没有变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
二、填 空 题（3’×6=18’）
11. 因式分解：9bx2y﹣by3=______．
【正确答案】by（3x+y）（3x﹣y）

【详解】试题解析：原式
故答案为
12. 计算|3﹣|+（2016﹣）0﹣3tan30°=______．
【正确答案】﹣2．

【详解】试题解析：原式
故答案
13. 如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2=______．

【正确答案】

【详解】先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧、以D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可．
解：如图所示，

∵S正方形=3×3=9，
S扇形ADC=，
S扇形EAF=，
∴S1﹣S2=S扇形EAF﹣（S正方形﹣S扇形ADC）=π﹣（9﹣）=﹣9．
故答案为﹣9．
“点睛”本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
14. 如果关于的一元二次方程有两个实根，且其中一个根为另一根的2倍，则称这样的方程为“倍根方”，以下关于倍根方程的说确的是_______(填正确序号)
①方程的倍根方程.
②若是倍根方程，则.
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程.
④若方程是倍根方程且相异两点、都在抛物线上，则方程必有一个根为.
【正确答案】②③④．

【详解】试题解析：①解方程得：
∴方程没有是倍根方程，故①错误；
②是倍根方程，且
∴或

故②正确；
③∵点在反比例函数的图象上，

解方程 得：
故③正确；
④∵方程 是倍根方程，
∴设
∵相异两点都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴


故④正确．
故答案为②③④．
15. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2），当t=______时，△ABE与△BQP相似．

【正确答案】

【详解】试题解析：：由图象可知，
∵△ABE与△BQP相似，
∴点E只有在CD上，且满足



故
16. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________．

【正确答案】．

【分析】由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果．
【详解】解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小．
所以线段DH长度的最小值是．
故．
本题考查正方形中的动点问题，此类问题是初中数学的和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大．
三、解 答 题（共72分，写演算过程）
17. （1）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7；
（2）先化简再求值（﹣）÷，其中a=﹣1．
【正确答案】（1）x1=2，x2=4；
（2）原式==1

【详解】试题分析：用因式分解法解方程即可.
根据分式混合运算顺序进行化简，再把字母的值代入计算即可.
试题解析：
（1）原方程可化为 即
解得
（2）原式





当时，原式
18. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）2

【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，AG=AG得到三角形全等；
（2）根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据勾股定理得出x的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，
∴∠AFG=∠B，
又AG=AG，
∴△ABG≌△AFG；
（2）、∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=，则GC=，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=，
∴， 解得，
∴BG=2．

19. 为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：
（1）在这项了多少名学生？
（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

【正确答案】（1）在这项了150名学生；
（2）本项中喜欢“立定跳远”的学生人数是45人，所占百分比是30%，图形见解析；
（3）刚好抽到同性别学生的概率是．

【详解】试题分析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出的学生数；
（2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；
（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
试题解析：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
答：在这项了150名学生；
（2）本项中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），
所占百分比是：×=30%，
画图如下：

（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：

共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．
20. 已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+=0.
（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22=|x1x2|+，求实数m的值．
【正确答案】（1）m≥﹣；（2）m=2．

【详解】试题分析：（1）根据根的判别式，可得没有等式，根据解没有等式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
试题解析：(1)由关于x的方程 得
解得
(2)由根于系数的关系,得


解得(没有符合题意,舍),
21. 如图所示，小鹏准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20 m，在斜坡坡面上的影长CD=8 m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面CD互相垂直，请你帮小鹏求出旗杆AB的高度.(到1 m)


【正确答案】m.

【详解】试题分析：将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
试题解析：延长交的延长线于点，如图所示，

在Rt△CDE中，

在中，



∴旗杆高
答：旗杆的高度是20米．
点睛：将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
22. 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）圆的半径为3；.

【详解】分析:（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
本题解析：（1）证明：连接CD，


∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90° ∴∠CAD+∠ADC=90°．
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC．∴∠CAD+∠PAC=90° ∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线．
（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA．∴∠GCA=∠PAC．
又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA．
又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC． ∴，即AC2=AG•AB．
∵AG•AB=12，∴AC2=12.∴AC=．
（3）设AF=x， ∵AF：FD=1：2，∴FD=2x．∴AD=AF+FD=3x．
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12．
解得；x=2∴AF=2，AD=6.∴⊙O半径为3.
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
∴根据勾股定理得：
由（2）知，AG•AB=12
连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=6，∴sin∠ADB= ．
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=.
23. 为鼓励大学生毕业后自主创业,我市出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主,成本价与之间的差价由政府承担.赵某按照相关政策本市生产的一种新型“儿童玩具”.已知这种“儿童玩具”的成本价为每件10元,为每件12元,每月量y(件)与单价x(元)之间的关系近似满足函数：y=−10x+500.
(1)赵某在开始创业的个月将单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设赵某获得的利润为W(元)，当单价定为多少元时，每月可获得利润?
(3)物价部门规定，这种“儿童玩具”的单价没有得高于28元.如果赵某想要每月获得的利润没有低于3000元，那么政府为他承担的总差价至少为多少元?
【正确答案】(1)政府这个月为他承担的总差价为600元；(2)当单价定为30元时，每月可获得利润4000元；(3)单价定为28元时，政府每个月为他承担的总差价至少为440元.

【分析】（1）求出量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题．
（2）利用二次函数的性质即可解答问题．
（3）根据条件确定出自变量取值范围，求出y的最小值即可解决问题．
【详解】（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元；
（2）由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000．
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，W有值4000元．
即当单价定为30元时，每月可获得利润4000元；
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000．
又∵x≤28，∴当20≤x≤28时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=28时，p有最小值440元．
即单价定为28元时，政府每个月为他承担的总差价至少为440元．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．

24. 如图，直线AB交x轴于点B（2，0），交y轴于点A（0，2），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=3，连接DA，∠DAC=90°．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求D点坐标及过O、D、B三点的抛物线解析式．
（3）若点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交AB于F，交（2）中抛物线于E，连CE，是否存在P使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出P点坐标；若没有存在说明理由．

【正确答案】（1）直线AB的解析式为y=﹣x+2；（2）D点坐标是（1，3），抛物线的解析式为y=﹣3x（x﹣2）；（3）P（，0）；（，0）或（，0）．

【详解】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的判定与性质，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得E点坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得E点坐标，可得P点坐标．
试题解析：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将A. B点坐标代入函数解析式，得
解得
直线AB的解析式为y=−x+2；
(2)如图1，

过D作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∵AD⊥AB,
即△ADG是等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG−OA=DM−OA=3−2=1，
∴D点坐标是(1,3)；
设抛物线的解析式为y=ax(x−2)，将D点坐标代入，得
a×1×(1−2)=3,解得a=−3,抛物线的解析式为y=−3x(x−2)；
(3)由(2)得 则 设P(x,0)，MP=x−1，PB=2−x，
①当时,△BPF∽△FCE，
过C作CH⊥EF,即EF=2CH=MP，
∴PE=PF+EF=BP+2MP=2−x+2(x−1)=x,即E(x,x).
将E点坐标代入抛物线，得
x=−3x(x−2)，
解得（没有符合题意,舍） ,即
②如图2，

当时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，PE=MC=1，
∴E(x,1)，
将E点坐标代入函数解析式，得
−3x(x−2)=1，
解得
此时或
综上所述：或