河南省TOP二十2023届高三数学（理）上学期12月调研考试试卷（Word版附解析）

2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考

高三理科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则（    ）

A． B．1 C． D．2

3．已知，，，则（    ）

A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b

4．将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．180种 D．360种

5．下列点中，曲线的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，若输出的S为1，则判断框内应该填入的条件是（    ）

A． B． C．i＜5 D．i＞5

7．有一组样本数据，，，，，该样本的平均数和方差均为2，在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据，则两组样本数据相同的为（    ）

A．平均数和中位数 B．中位数和方差 C．方差和极差 D．平均数和极差

8．已知数列满足，，，则的前n项积的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知四面体ABCD的各顶点都在球O的表面上，，E，F分别为AB，CD的中点，O为EF的中点．若，直线AC与BD所成的角为60°，AB＜EF，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

10．已知O为坐标原点，，，则（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为1 D．的最大值为2

11．已知抛物线C：的焦点为F，A是C的准线与x轴的交点，P是C上一点，∠APF的平分线与x轴交于点B，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为______．

14．已知双曲线C：，直线x＝a与C的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则C的离心率为______．

15．在中，D为BC边上一点，∠BAD＝90°，∠B＝∠CAD，若，则______．

16．在空间中，如果将几何体绕着某条直线l旋转一定角度后与原来重合，我们称这个变换过程为l轴旋转对称变换，并称的最小值为最小旋转角．已知三棱锥A－BCD的所有棱长均为1，将三棱锥A－BCD进行轴旋转对称变换，最小旋转角为180°，若将三棱锥A－BCD绕着直线l旋转90°得到三棱锥，则两个三棱锥的公共部分的体积为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

已知数列为等差数列，数列满足，且，．

（1）求，的通项公式；

（2）证明：．

18．（本小题满分12分）

电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：

某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：℃），其频率分布直方图如下：

（1）若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；

（2）若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1件，用频率估计概率，求2件产品中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．以AC为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且二面角D－AC－B的大小为120°．

（1）求BD；

（2）设P为BD上一点，求直线CP与平面ABD所成角的正弦值的最大值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的长轴比短轴长2，焦距为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知，，过点P的直线l与C交于A，B两点，延长AQ到D，延长BQ到E，且满足轴．证明：D，E两点到直线的距离之积为定值．

21．（本小题满分12分）

已知a＞0，函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若曲线与直线y＝1有且只有一个交点，求a．

（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线，的参数方程分别为：（t为参数），：（为参数）．

（1）将，的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设，的第一象限的交点为A，求以OA为直径的圆的极坐标方程．

23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）

已知函数．

（1）设m＝1，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求m的取值范围．

2022－2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考

高三理科数学参考答案

1．【答案】C

【解析】，，则．故选C．

2．【答案】A

【解析】因为，所以，所以．故选A．

3．【答案】D

【解析】，，，所以a＜c＜b．

4．【答案】D

【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有种．故选D．

5．【答案】C

【解析】．令，则，即，故对称中心可以是．故选C．

6．【答案】C

【解析】执行该程序框图，i＝1，K＝0，S＝130，执行第1次循环i＝1，K＝1，S＝65；执行第2次循环i＝2，K＝3，S＝13；执行第3次循环i＝5，K＝8，S＝1；当i＝5时不满足i＜5，输出S＝1．故选C．

7．【答案】D

【解析】新样本的平均数为，方差；因为加入的2是原样本数据的平均值，故不是最大和最小的数，所以极差不变但中位数有可能发生改变．故选D．

8．【答案】B

【解析】由类比得，两式相除得，即．由，，得，设的前n项积为，则有，，，，…，则数列是以3为周期的数列，的最大值为2．故选B．

9．【答案】B

【解析】依题意，作出球O的内接正四棱柱IDJC－AHBG，，因为，所以∠AKG＝60°或120°，又AB＜EF，则∠AKG＝60°．因为，则AG＝2，，在中，，，则，则球O的表面积．故选B．

10．【答案】D

【解析】由，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示．当点B在坐标原点位置时，取最小值0，当点B在射线OA与圆A的交点位置时，取最大值2，A，B选项错误．根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，在方向上的投影取最小值0，此时取最小值0，当点B在射线OA与圆A的交点位置时，在方向上的投影取最大值2，此时取最大值2，C选项错误，D选项正确．故选D．

11．【答案】B

【解析】不妨设点P在第一象限，作垂直准线于点，则有，由角平分线定理得，当直线AP与抛物线相切时，最大，最大，设直线AP的方程为x＝my－1（m＞0），由整理得，由，得m＝1，则当直线AP与抛物线相切时，则，设O为原点，则，由上可知，，整理得，则，当直线AP与抛物线相切时取最大值．故选B．

12．【答案】A

【解析】因为为奇函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以的图象关于直线x＝1对称．因为为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以函数的图象关于点对称．则有，，所以．故选A．

13．【答案】－1

【解析】设切点的坐标为，由题意得，则该切线的斜率，解得，则切线的斜率k＝－1．

14．【答案】

【解析】双曲线C的一条渐近线为，令x＝a，则有y＝b，则，由双曲线的性质可知为等腰三角形，其面积，则a＝b，即，所以C的离心率．

15．【答案】

【解析】在中，由正弦定理可得，又∠B＝∠CAD，可得，且，则有①．又②，①②联立，得，即，则，整理得，解得或（舍去）．故．

16．【答案】

【解析】经过三棱锥不共面的两条棱的中点作一条直线，三棱锥绕着这条直线最小旋转180°后与原三棱锥重合．如图所示，三棱锥A－BCD与三棱锥的公共部分为正八面体EFGHIJ．在四棱锥E－GHIJ中，底面GHIJ为边长为的正方形，高为，则四棱锥E－GHIJ的体积，正八面体EFGHIJ的体积为，故两个三棱锥的公共部分的体积为．

17．【答案】见解析

【解析】（1）∵为等差数列，设公差为d．，∴，．

∵，即，∴．

，即，∴，

∴，∴，．

（2）由（1）可知，

则

．

18．【答案】见解析

【解析】（1）由频率分布直方图可知，

65万件产品中，耐热等级达到C级的产品数为（万件），

故耐热等级达到C级的产品数约为52万件．

（2）设采用甲工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为X，采用乙工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为Y，则耐热等级达到C级的产品总数为X＋Y．由频率分布直方图可知，

随机选择1件采用甲工艺的产品耐热等级达到C级的概率为，

随机选择1件采用乙工艺的产品耐热等级达到C级的概率为．

X＋Y所有可能的取值为0，1，2，则，

，

．

分布列如下表所示：

．

19．【答案】见解析

【解析】（1）在MC的延长线上取点Q，因为，，

所以∠DCQ即为二面角D－AC－B的平面角，则∠DCQ＝120°，且∠DCM＝60°．

因为，，，所以平面CDM，

又因为平面ABCM，所以平面平面ABCM．

作DH垂直CM于H，连接BH，所以平面ABCM，又平面ABCM，

所以，且H为CM的中点．

由题意可知，，在中，．

（2）以C为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则有，，，，

，，，．

设，则．

设平面ABD的一个法向量，

由得可取．

则．

所以直线CP与平面ABD所成角的正弦值，

当时，t取最大值．所以直线CP与平面ABD所成角的正弦值的最大值．

20．【答案】见解析

【解析】（1）由长轴比短轴长2，则2（a－b）＝2，即a－b＝1①，

由焦距为，则，即②，①②联立，得a＋b＝3，

则a＝2，b＝1，所以C的方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率不为0．当l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，

由对称性可知，四边形ABDE为矩形，则D，E两点到直线的距离之积为．

当l的斜率存在时，设l的方程为，，，

结合题意可设，．由，可得，

整理得，，．

由A，Q，D三点共线，可知，即①，

由B，Q，E三点共线，可知，即②，

①×②得：，

又，则．

，

则．故D，E两点到直线的距离之积为定值．

21．【答案】见解析

【解析】（1）当时，，，

易知在上单调递增，且．

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

（2）依题意，a＞0，的定义域为．．

令，，

易知在上单调递增，，

，，，则，

故存在，使得．

当时，，当时，．

因为x＞0，所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当，取极小值，也是唯一的最小值点．

由得，即，①

两边同时取自然对数，则有，则．②

由①②得，当且仅当时，等号成立．

当时函数取最小值1，函数过点，函数与有且只有一个交点．

由，可得，解得a＝1．所以曲线与直线y＝1有且只有一个交点时，a＝1．

22．【答案】见解析

【解析】（1）由的参数方程得，，

两式相减得，所以的普通方程为．

由的参数方程得的普通方程为．

（2）由得到所以A的直角坐标为．

以OA为直径的圆的圆心的极坐标为，半径为1，

则OA为直径的圆的极坐标方程为，

所以所求圆的极坐标方程为．

23．【答案】见解析

【解析】（1）由m＝1，则，当时，，则；

当x＜1时，成立，则x＜1，综上，不等式的解集为．

（2）因为恒成立，所以恒成立，

设

当时，在上单调递增，当x＜m时，．

所以函数的最小值为m，所以，故m的取值范围为．