吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了对于数列，定义为的“优值”等内容，欢迎下载使用。
梅河口市第五中学2022~2023学年度下学期期末考试高二数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页，共6页。满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共80分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）1．设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A．充要条件        B．必要不充分条件C．充分不必要条件      D．既不充分也不必要条件2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（）A．      B．C．       D．3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A．3     B．4     C．5     D．64．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（）A．          B．此人第三天行走了一百一十里C．此人前七天共行走了九百里      D．此人前八天共行走了一千零八十里5．如图，圆内有一点，为过点的弦，若弦被点平分时，则直线的方程是（）A．  B．  C．  D．6．直线与椭圆交于，两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）A．     B．    C．     D．7．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，，则（）A．1      B．3     C．2     D．48．过直线上一点作圆的切线，切点为，．则四边形的面积的最小值为（）A．      B．    C．     D．9．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（）A．3     B．4     C．5     D．610．对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（）A．   B．   C．   D．的最小值为二、多选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请仔细审题，认真做答）11．已知点在圆上，直线，则（）A．直线过定点B．存在实数，使直线与圆相切C．直线与圆相交的弦长取值范围为D．点到直线距离的取值范围为12．已知双曲线，两个焦点记为，，下列说法正确的是（）A．B．离心率为C．渐近线方程为：D．点在双曲线上且线段的中点为，若，则13．已知圆和圆的交点为，，则（）．A．两圆的圆心距B．圆上存在两点和使得C．直线的方程为D．圆上的点到直线的最大距离为14．已知椭圆的左、右两个端点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法不正确的是（）A．的周长为6      B．的最大面积为C．存在点使得     D．的最大值为715．设数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（）A．       B．C．        D．为等比数列16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（）A．若，则B．以为直径的圆与相切C．设，则D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条第Ⅱ卷（非选择题，共70分）三、填空题（本大题共7小题，每题5分，共35分。请将答案直接填写在答题卡内指定处。）17．若，，则___________．18．若直线与直线平行，则___________．19．已知数列满足，，则___________．20．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________．21．已知动点，分别在圆和圆上，动点在直线上，则的最小值是___________．22．双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为___________．23．已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为___________．四、解答题（本大题共3小题，第24题10分，第25题10分，第26题15分，共35分。）24．在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，是的中点，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．25．已知各项均不为零的数列满足，且．（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）令，为数列的前项和，求．26．已知椭圆过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍．（1）求椭圆的方程；（2）设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，，求证为定值．     参考答案1．C直线与直线垂直则，解得或，2．D，所以．3．D4．D设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，由题意可得，解得，，，，5．D当弦被点平分时，直线与直线垂直，因为，所以，则直线的方程为，即．6．A记椭圆的左焦点为，由对称性可知：四边形为平行四边形，，；，，四边形为矩形，，又，，又，，，，，椭圆的离心率．7．B设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，则．根据抛物线定义知，，又，，所以，，设，因为，所以，则．所以，又，可得，所以，所以，可得，即．8．D如图，由切线性质可知，，，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，，要使最小，需使，故．9．A设为第一象限的交点，，，则由椭圆和双曲线的定义可知，在中由余弦定理得：即：，即：当且仅当，即时，取得最小值为3．10．B由题意可知，，则①，当时，，当时，②，①-②得，，解得，当时也成立，，A正确； ，B错误；，当时，即，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，CD正确．11．AC直线，令，解得，即直线过定点，故A正确；由，故点在圆内，则直线过圆内定点，即直线与圆相交恒成立，且点到直线距离最小值为0，圆心，，定点，则，则圆心到直线距离的最大值为，此时弦长取最小值为，弦长最大值为圆的直径为4．12．AB13．CD由圆和圆，可得圆和圆，则圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距，故A错误；将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦；圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为．14．AC对于A，因为椭圆，所以，，则，，，，所以的周长为，故A错误；对于B，当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故B正确；对于C，假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆没有交点，所以假设不成立，即不存在点使得，故C错误；对于D，由选项A易得，又，所以，所以，故D正确．．15．BCD，则，即，数列是以首项，公比的等比数列，则，又，显然不符合上式，则，16．AC取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：对于选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B，根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B选项错误；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．17．18．2因为，所以，所以或．当时，，，，重合；当时，，，，符合题意．故答案为：2．19．【详解】求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，，所以，，，，，，从而是以6为周期的周期数列20．721．解：由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，如图，设点关于直线对称的点为，所以，，解得，，即，所以，所以，，即的最小值是．故答案为：22．2联立可得则，因为点、关于轴对称，且为线段的中点，则．又因为为等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为．23．4由题意，知是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以．所以，所以，，解得．24．（1）证明见详解（2）（1）如图1，连接，设与交于点，连接．因为底面是菱形，所以为的中点，又是的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如图2，取的中点．在中，，，为的中点，所以，所以．因为平面底面，平面底面，所以底面，又底面，所以．在菱形中，，，所以与是等边三角形，所以，，．以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，．设为平面的一个法向量，则，即，令，则，，则．．所以直线与平面所成角的正弦值．25．（1）证明见解析，（2）（1）由，得，又，是首项为5，公差为3的等差数列．，故．（2）由（1）知，，所以①②，①-②得：，26．（1）（2）证明见解析（1）依题意知，椭圆的方程为，又椭圆过点，有，解得，，椭圆的方程为．（2）点与点关于原点对称，点，当直线与轴重合时，不妨设，，则直线，直线，则，，（定值）．当直线与轴不重合时，设直线，与椭圆方程联立，化简得，，解得．设，，则，．直线的方程为，则，即．直线的方程为，则，即．（定值）．综上，为定值1．