福建省龙岩第一中学2023届高三数学上学期第二次月考试卷（Word版附答案）

龙岩一中2023届高三上学期第二次月考

数学试题

考试时间：120分钟   试卷满分：150分

第I卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）

A. {0，1} B. {－1，1，3} C. {－1，0，1} D. {3，5}

【答案】D

2. 若，则p成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

3. 已知函数，则下列区间中含零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

4. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

5. 已知，且，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

6. 已知，则函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

7. 已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】A

8. 已知，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

10. 已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】AB

11. 已知函数的图像关于直线对称，则（    ）

A. 函数奇函数

B. 函数在上单调递增

C. 函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是

D. 若方程在上有个不同实根，则的最大值为

【答案】AC

12. 已知，则（    ）

A.  B.  

C.  D. 若，则

【答案】BC

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分．

13. 已知角的终边经过点，则___________.

【答案】

14. 函数的单调递减区间是__________.

【答案】和（或写成 和）

15. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.

【答案】

16. 已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为___________.

【答案】13

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．

（1）求；

（2）若的周长为，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【详解】解：（1）因为，所以；

（2）因为，所以．

由余弦定理得，则，

因为的周长为，所以，解得，

所以的面积为.

18. 已知函数.

（1）求的对称中心，并求当时，的值域；

（2）若函数的图像与函数的图像关于y轴对称，求在区间上的单调递增区间.

【答案】（1）对称中心：，，值域：   

（2）

【小问1详解】

因为函数

令，解得，即对称中心

当时，则，

再结合三角函数图像可得

所以，函数对称中心：，，值域：.

【小问2详解】

因为函数的图像与函数的图像关于y轴对称，

则，

令，，解得

当时，即为

所以当时，的单调递增区间：.

19. 为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；

（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）选择，理由见解析   

（2）当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元   

（3）

【小问1详解】

由题表知，随着时间x的增大，y的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．

【小问2详解】

把，，分别代入，得

解得，，

∴，．

∴当时，y有最小值，且．

故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．

【小问3详解】

令，

因为存在，使得不等式成立，

则．

又在上单调递减，在上单调递增，

∴ 当时，取得最小值，且最小值为，

∴．

20. 己知函数．

（1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；

（2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【小问1详解】

由，可得．

因为，，

所以切点坐标为，切线方程为：，

因为切线经过，所以，解得．

【小问2详解】

由题知的定义域为，，

令，解得或，

因为所以，所以，

令，即，解得：，

令，即，解得：或，

所以增区间为，减区间为．

因为，所以函数在区间的最大值为，

函数上单调递增，故在区间上，

所以，即，故，

所以的取值范围是.

21. 如图，在三棱柱中，，D是棱的中点.

（1）证明：；

（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【小问1详解】

取BC中点O，连接AO，,,

因为,所以,

因为，，所以，

所以，所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以；

【小问2详解】

连接，则平面即为平面，

由（1）知平面，因为平面ABC，且平面，

故平面平面ABC，平面平面，

过O作于M，则平面ABC，过作于H，则平面，

因为知，

中：，

所以，

所以，

所以，

法一：设，则，

在中，

所以，

又，所以点M为线段的中点，

以O为原点，分别以分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

，

，

设面的法向量为，

则有，

两式相减得：，所以，

令，可得：，

所以，

设面的法向量为，则有，

解得：，令，解得：

所以，

设锐二面角为，则有.

法二：过H做，连接，面，

，则面，

，则即为所求二面角.

在中，，则，

在中，，

由可得：，

，则，

.

22. 己知函数在区间内有唯一极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：在区间内有唯一零点，且．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【小问1详解】

，

①当时，因为，所以，，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；

②当时，令，则，因为，所以，所以在上递增，又因为，，

所以在上有唯一零点，且，所以，；，，所以在上有唯一极值点，符合题意.

综上，.

【小问2详解】

由（1）知，所以时，，所以，，单调递减；，，单调递增，

所以时，，则，又因为，

所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.

因为，由（1）知，所以，

则，构造，

所以，

记，则，显然在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，

所以，由前面讨论可知：，，且在单调递增，所以.