湖南省常德市2022-2023学年高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022-2023学年度上学期常德市高三检测考试

数学（题卷）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

命题人：佘智辉（桃源一中）熊彬（澧县一中）谌兴明（芷兰实验学校）张国平（市教科院）

注意事项：

1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．

2．考试结束后，只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求,再应用交集运算,得出即可.

【详解】因为,所以

所以

故选: .

2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由题知，再根据复数的几何意义求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限.

故选：A

3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.

【详解】解：因为满足，且，

所以，向量在向量上的投影向量为

故选：D

4. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟．设经过t分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则t的值为（）

A. 10 B. 20 C. 60 D. 70

【答案】D

【解析】

【分析】上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一半，进而计算下方沙漏沙子的体积，计算即可.

【详解】解：因为沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等

所以上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一半，

所以可以单独研究上方圆锥，其高度为一个圆锥的一半，沙子形成的圆面的半径为圆锥底面圆半径的一半，

设圆锥的高为，底面半径为，

则上方沙子的体积为，

所以，上方此时剩的沙子占总沙子的，下方圆锥中的沙子占总沙子的

因为一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟，

所以，当的沙子从一个沙漏中漏到另一个沙漏中，需要分钟，

所以，经过分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等

故选：D

5. 在平面直角坐标系中，已知点为角终边上的点，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数定义得，再根据二倍角公式计算即可.

【详解】解：因为点为角终边上的点，

所以，由三角函数的定义知，

所以

故选：A

6. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交的弦长为，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准方程，的圆心坐标及半径，由弦长，圆心到直线的距离，半径的关系建立方程，解出a.

【详解】圆C：，即，圆心，半径，

圆心到直线的距离为，

直线与圆相交的弦长为，得.

故选：A.

7. 已知，，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先比较的大小关系，然后构造函数，利用导数判断的单调性，由此求得的大小关系，进而求得正确答案.

【详解】，

，，所以，

所以.

构造函数，，

所以在区间，递减，

所以，即，

，

，

即.

故选：C

8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可.

【详解】解：如图，设，因为,

所以，

由双曲线的定义得：，

所以，，，，，

所以，在中，，

在中，

因为，

所以，即，

所以

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知抛物线，为坐标原点，点P为直线上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则（）

A. 抛物线焦点坐标为（0，1）

B. 抛物线的准线方程为

C. 直线AB一定过抛物线的焦点

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可.

【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A不正确，选项B正确；

设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，

与抛物线方程联立，得，

因为是该抛物线的切线，

所以，

且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，

设直线存在斜率且不为零，设为，

同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，

显然、是方程的两个不等实根，所以

因为，

所以，因此选项D正确；

由上可知：的斜率为，

直线的方程为：，

，

所以有，

所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项C不正确，

故选：BD

【点睛】关键点睛：根据一元二次方程的根与系数关系、判别式是解题的关键.

10. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（）

A. 函数的周期为

B. 函数的图象关于对称

C. 函数为偶函数

D. 函数的图象关于对称

【答案】BC

【解析】

【分析】由得函数的一个周期，由是奇函数得函数的对称中心，两条件结合得函数的奇偶性.

【详解】由，得，

将代入，，即，

所以函数的一个周期为7，A项错误；

由是奇函数得，

因为和，

所以，

即，所以的图象关于中心对称，B项正确，D项错误；

因为，，

所以，将代入，

得，即函数为偶函数，C项正确.

故选：BC.

11. 下列说法正确的是（）

A. 数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数为7

B. 若，且函数为偶函数，则

C. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立

D. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，若总的样本方差为，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据偶函数的定义及正态曲线的对称性即可判断B,根据百分位数的概念即可判断A，根据对立事件的概率公式，条件概率公式，独立事件的积事件的乘法公式即可求解C；根据平均数和方差的计算公式即可化简求解D.

【详解】对A，数据6，5，3，4，2，7，8，9按从小到大排列为：

2，3，4，5，6，7，8，9一共8个数，又，

该数据的上四分位数为，故A错误；

对于B,函数为偶函数，，

，又，

区间与区间关于对称，

，故B正确；

对C，，，且，

，

，，

故相互独立，所以C正确；

对D，第一部分样本数据的平均数为，方差为；则第二部分样本数据的平均数为，方差为，则，若总的样本方差为，若,即，、

故D正确，

故选：BCD

12. 如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A. 若直线与平面平行，则三棱锥的体积为

B. 若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直

C. 若，则的最小值为

D. 若，则的最大值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】取棱的中点，连接，进而证明平面平面得的轨迹即为线段，再讨论AB选项即可得判断；当时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，再分别讨论CD选项即可.

【详解】解：取棱的中点，连接，

因为棱的中点，分别是棱的中点，

所以，，

因为，所以，

所以，四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，平面，

因为平面，

所以平面平面，

所以，直线与平面平行，的轨迹即为线段，

故对于A选项，，三棱锥的体积为，故A正确；

对于B选项，要使得与始终垂直，则面，故如图建立空间直角坐标系，则，

所以，，

所以且，解得，即，

所以，直线上存在唯一的点（中点），使得与始终垂直，故B正确；

当时，所以，解得，

所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，

对于C选项，由于，故的最小值为，故C正确；

对于D选项，，当且仅当时等号成立，

所以，的最大值为，故D错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据切线的斜率求得，从而求得切点坐标，进而求得切线方程.

【详解】直线的斜率为，所以切线的斜率为.

，

所以，

所以切线方程为，即.

故答案为：

14. 的展开式中的常数项为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】的展开式的常数项由与的展开式中的项的乘积，和-1与的展开式中的常数项的乘积组成，分别求出即可.

【详解】由题，的展开式中得常数项，则的展开式中的y的指数应为0，

与的展开式中的项的乘积为，

-1与的展开式中的常数项的乘积为，

所以的展开式的常数项为，

故答案为：96.

15. 若函数在内存在唯一极值点，且在上单调递减，则的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】由题知，解得，进而根据，结合题意得，解得，综合即可得答案.

【详解】解：当时，，

当时，

因为函数在内存在唯一极值点，，

所以，解得，

因为函数在上单调递减，

所以，，解得

综上，的取值范围为

故答案为：

16. 已知数列满足首项，，则数列的前2n项的和为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】当为奇数时，由递推关系得，构造为等比数列，可求出通项，结合即可分组求和.

【详解】当为奇数时，，即，此时为以为首项，公比为3的等比数列，

故，即.

.

故答案为：

【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当为奇数或为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n项的和．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，求满足条件的最大整数的值．

【答案】（1）证明见解析

（2）33

【解析】

【分析】（1）由化简出与间的关系，证明结论；

（2）利用第一问的结果对求和，令其小于101，解出n.

【小问1详解】

证明：由，得，即，

，所以是以为首项，为公比的等比数列.

【小问2详解】

由（1）可得：，，

令，即，

设，当n时，，所以单调递增，

又，，所以满足不等式的最大整数.

18. 如图，在梯形中，AD//BC，且，.

（1）若，，求梯形的面积；

（2）若，证明：为直角三角形．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理列方程求得，求得，进而求得求梯形的面积；

（2）设，，利用正弦定理列方程，结合三角恒等变换的知识求得，从而证得为直角三角形.

【小问1详解】

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

由有，，解得，

，又，，

同理可求得，

梯形面积：

.

【小问2详解】

设，，则，，，

中，由正弦定理得，即①，

在中，由正弦定理得，即②，

由①②得：，

化简得，，

又，

所以，

又，

所以，，为直角三角形.

19. 如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点为的中点，为半个圆柱上底面的直径，且，．为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若是线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）证明平面，平面即可证明结论；

（2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【小问1详解】

证明：取的中点，连接，

且

∴四边形为平行四边形，

，又平面，平面

平面

，又平面，平面

平面，

平面

∴平面平面

【小问2详解】

解：如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则

设面的法向量，

所以，即，令得，故

因为是线段上一动点，

所以，设，则

设所求线面角为，

所以，

所以，当时，取得最大值为

20. 常益长高铁的试运营，标志着我省迈入“市市通高铁”的新时代.常益长高铁全线长157公里，共设有常德站、汉寿站、益阳南站、宁乡西站、长沙西站5个车站. 在试运营期间，铁路公司随机选取了乘坐常德开往长沙西站G6575次复兴号列车的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：

（用频率代替概率）

（1）从这200名乘客中任选一人，求该乘客仅乘坐一站的概率；

（2）在试营运期间，从常德上车的乘客中任选3人，设这3人到长沙西站下车的人数为X，求X的分布列，及其期望；

（3）已知德山经开区的居民到常德站乘车的概率为0.6，到汉寿站乘车的概率为0.4，若经过益阳南站后高铁上有一位来自德山经开区的乘客，求该乘客到长沙西站下车的概率.

【答案】（1）0.3（2）分布列见解析，

（3）

【解析】

【分析】（1）根据仅乘坐一站的乘客有人，并根据古典概型计算即可；

（2）由题知，这3人到长沙西站下车的人数，进而根据二项分布求解即可；

（3）根据条件概率公式和全概率公式计算求解即可；

【小问1详解】

解：由表中数据可知，仅乘坐一站的乘客有人，

所以，这200名乘客中任选一人，该乘客仅乘坐一站的概率；

【小问2详解】

解：从常德上车的乘客到长沙西站下车的概率，

所以，根据频率估计概率，从常德上车的乘客中任选3人，设这3人到长沙西站下车的人数，，

所以其概率分布列如下：

；

【小问3详解】

解：记事件A：该乘客在过益阳南站后到长沙西站下车，

记事件:该乘客常德站上车，记事件:该乘客在汉寿站上车.

所以，，

由表中数据可知，经过益阳南站后，从常德站上车的乘客还有50人，40人在长沙西站下车；

从汉寿站上车，经过益阳南站后，乘客还有30人，其中在长沙西站下车的有20人；

所以，，，

所以，，

所以该乘客到长沙西站下车的概率.

21. 已知点为椭圆上的一点，椭圆C的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过点P作直线l1、l2，分别交椭圆于另一点M、R，直线l1，l2交直线l：x=3于N，S，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=0，若面积是面积的2倍，求直线l1的方程.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可得关于的方程组，从而可求出，进而可求出椭圆C的方程；

（2）记，设，，直线l1：；直线l2：，将直线方程与椭圆方程联立，化简再利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，则可表示出，同理可表示出，然后由面积是面积的2倍，可得，从而可求出的值，进而可求出直线方程.

【小问1详解】

由题可知

解得：，

椭圆C的方程为；

【小问2详解】

记，设，，

则直线l1：；直线l2：，

联立消y得：，

则，即，

，

又，

同理

，，

；即，

，解得，

直线l1的方程为：即.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的零点个数；

（2）证明：当，.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间，从而可求出其零点的个数；

（2）令，利用导数可求得，即，则有，然后利用累加法可证得结论.

【小问1详解】

由题意的零点即为方程的实数解，即

令，

则

令，；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

，在单调递减，

又，，

∴，

所以当，与函数有一个交点，有一个零点；

当，与函数没有交点，无零点

【小问2详解】

令，

在单调递减，

∴，

，

∴

即.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是构造函数，再利用导数可得，则，从而可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题.