河北省邢台市部分学校2023届高三数学上学期12月月考试卷（Word版附答案）

高三年级数学试题

说明：

1.考试时间120分钟，满分150分.

2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.

第I卷（选择题，共60分）

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

2. 已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（    ）

A. 2 B.  C.  D. 1

【答案】A

3. 已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】C

4. 已知等差数列的公差不为且成等比数列，则下列选项中错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

5. 已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

6. 如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

7. 如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

8. 已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题中真命题有（    ）

A. 集合，若，则实数的取值集合为

B. 数列的前项和为，若，则

C. 若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则

D. 若分别表示的面积，则

【答案】CD

10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法错误的是（    ）

A. 线段为平面外的线段，若两点到平面的距离相等，则

B. 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ABC

11. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（    ）

A. 在方向上的投影向量为

B. 若，则

C.

D. 的最小值是

【答案】ABD

12. 如图，在菱形中，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（    ）

A. 面面

B. 线段长度的取值范围为

C. 直线和所成的角始终为

D. 当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部

【答案】AC

第II卷（非选择题，共90分）

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________________．

【答案】

14. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.

【答案】

15. 已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为__________.

【答案】##

16. 如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是__________.

【答案】

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在中，角的对边分别是，满足，，过作于点，点为线段的中点.

（1）求；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

依题意，解得

【小问2详解】

由余弦定理得，

，

解得，

所以

.

18. 已知数列的前项和为，等差数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列前项和.

【答案】（1），   

（2）

【小问1详解】

当时，；

当时，，当时也符合，所以.

由题意，，

设等差数列的公差为d，则，，故.

综上，

【小问2详解】

由（1）知：，

∵

∴  ①

    ②

∴得：

即：，

∴.

19. 为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

（1）类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，求此四面体的体积；

（2）已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体（设）时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半径为；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗？给出理由.

【答案】（1）24    （2）①正确；②错误；理由见解析

【小问1详解】

如图，长方体中的四面体是对棱相等的四面体，其中，，，设，，，

则，解得：，，，

则，

【小问2详解】

设长方体同一顶点的三条棱长分别为，由（1）可知，

，即，

等腰四面体的外接球就是所在长方体的外接球，所以，则，故①正确；

假设4个面都是直角三角形，设，则是直角三角形和的斜边，取的中点，连结，则，那么，三点共线，此时，不能构成四面体，所以等腰四面体的四个面不能都是直角三角形，故②错误.

20. 已知椭圆的左､右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1）   

（2）证明过程见详解

【小问1详解】

由题意知：，

因为为锐角，故，

由题意知：，解得：，

故椭圆方程为.

【小问2详解】

根据题意，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立可得：，

则，即.

设，则，.

因为，根据向量加法与减法的几何意义可得：，

则，因为，

所以

，

也即，

整理化简可得：，

解得：或，此时均满足，

当时，直线的方程为，过定点；

当时，直线的方程为，过定点，

此时定点与点重合，故舍去，

综上，直线恒过定点，定点坐标为.

21. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.

（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；

（2）当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）总有平面平面，证明详见解析   

（2）   

（3）存在，是的中点，理由见解析.

【小问1详解】

折叠前，因为四边形是菱形，所以，

由于分别是边，的中点，所以，

所以，

折叠过程中，平面，

所以平面，

所以平面，

由于平面，所以平面平面.

【小问2详解】

当平面平面时，四棱锥体积最大，

由于平面平面，平面，，

所以平面，由于平面，所以，

由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

依题意可知，

设平面的法向量为，

则，故可设，

所以到平面的距离为.

【小问3详解】

存在，理由如下：

，，

设，则，

平面的法向量为，

，

设平面的法向量为，

则，

故可设，

设平面与平面所成角为，

由于平面与平面所成角余弦值为，

所以，

解得或（舍去），

所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调性见解析   

（2）

【小问1详解】

由题意知：的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，令有，故当，则；若，则；

在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

当时，，；，；

恒成立，不合题意；

当时，取，，

则，符合题意；

当时，若，，使得，则；

由（1）知：；

，，在上单调递增，

，

，即，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.