豫东2022-2023学年高二数学(理)上学期12月质量检测试卷(Word版附解析)
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数学(理)试题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
- “”是“直线与直线”平行的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 在空间直角坐标系中,已知,,,,则直线AB与CD的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直
3. 已知,,,若不能构成空间的一个基底,则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.
- 如图,在正四棱柱中,,,动点P,Q分别在线段,AC上,则线段PQ长度的最小值是( )
A. B. C. D.
5. 如图,在棱长为a的正方体中,P为的中点,Q为上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离( )
A.等于 B.和EF的长度有关
C.等于 D.和点Q的位置有关
6. 已知点,若点C是圆上的动点,则面积的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
- 点M,N是圆上的不同两点,且点M,N关于直线对称,则该圆的半径等于( )
A. B. C.3 D.9
8. 若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9. 已知椭圆的左焦点为F,过F作倾斜角为的直线与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若(O为坐标原点),则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的一个焦点为,则双曲线C的一条渐近线方程为( )
A. B. C. D.
11. 已知,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若,则面积的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
- 设是椭圆的左,右焦点,过的直线交椭圆于两点,则的最大值为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
- 在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,,则AB与PC的夹角的余弦值为______.
- 已知椭圆的右焦点为F,y轴上的点M在椭圆外,且线段MF与椭圆E交于点N,若,则椭圆E的离心率为________.
- 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是________.
- 已知F是抛物线的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则___________.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)如图,正方体的棱长为a.
(1)求和的夹角;
(2)求证:.
18.(12分)已知的三个顶点、、.
(1)求边所在直线的方程;
(2)边上中线的方程为,且,求点的坐标.
19.(12分)如图,圆内有一点为过点且倾斜角为的弦.
(1)当时,求AB的长;
(2)是否存在弦AB被点平分?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.
20.(12分)图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水下降1 m后,水面宽多少?(精确到0.1 m)
21.(12分)设椭圆的焦点为,且该椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上的点满足,求的值.
22.(12分)已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若,求的面积.
参考答案
1、答案:A
解析:当时,,即,解得或4.
当时,直线的方程为,直线的方程为,此时;
当时,直线的方程为,直线的方程为,此时.
因为,因此,“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选:A.
2、答案:B
解析:因为,,,,所以,,可得,所以,即直线与的位置关系是平行,故选B.
3、答案:D
解析:不能构成空间的一个基底,,,共面,则,其中,则,解得故选:D.
4、答案:C
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,设点P的坐标为,,点Q的坐标为,,
,当且仅当,时,线段PQ的长度取得最小值.
5、答案:A
解析:取的中点G,连接PG,CG,DP,则,所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.又平面PGCD,所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错.
如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,
设是平面PGCD的法向量,则由得
令,则,,所以是平面PGCD的一个法向量.
设点Q到平面PEF的距离为d,则,A对,C错.
故选:A.
6、答案:D
解析:点,,
圆化为,
圆心,半径是.
直线AB的方程为,
圆心到直线AB的距离为.
直线AB和圆相离,点C到直线AB距离的最小值是.
面积的最小值为.
故选:D.
7、答案:C
解析:的圆心坐标,
因为点M,N在圆上,且点M,N关于直线对称,
所以直线经过圆心,所以,解得,
所以圆的方程为:,
即,
所以圆的半径为3.
故选C.
8、答案:A
解析:直线恒过定点,曲线表示以点为圆心,半径为1,且位于直线右侧的半圆(包括点,).如图,作出半圆C,
当直线l经过点时,l与曲线C有两个不同的交点,此时,直线记为;
当l与半圆相切时,由,得,切线记为.
由图形可知当时,l与曲线C有两个不同的交点,
故选:A.
9、答案:B
解析:设,,,由题意得,,两式相减,得
因为M为线段AB的中点,且直线AB的倾斜角为,所以.
设,则,过M作轴,垂足为,
则,,
由题易知M位于第二象限,所以,M的坐标代入AB的方程可得:,得,所以,
所以.
故选:B.
10、答案:B
解析:双曲线的一个焦点为,所以,因为,所以,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:B.
11、答案:B
解析:设直线AB的方程为,点,,直线AB与x轴的交点为,将代入,可得,
根据根与系数的关系得,.
,,又,,令,则,解得或,点A,B位于x轴的两侧,,故.
故直线AB所过的定点坐标是,
故的面积,
当时,直线AB垂直于x轴,的面积取得最小值,为8,故选B.
12、答案:A
解析:由椭圆的定义,知,,
所以的周长为,
所以当最小时,最大.
又当时,最小,此时,
所以的最大值为.
故选:A.
13、答案:
解析:,又,,.
故答案为:
14、答案:
解析:过N作x轴的垂线,记垂足为P,由已知,可知P为OF中点,因为轴所以N为MF中点,不妨设,则,,易得,为正三角形,记椭圆的左焦点为,则,所以可知,故,所以,由椭圆的定义,所以离心率,故.
15、答案:
解析:抛物线的焦点是,,,,
.所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为:.
16、答案:6
解析:如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为、,设抛物线的准线与x轴的交点为,则,.因为M为FN的中点,所以,由抛物线的定义知,从而.
17、(1)解:设,,.
由于正方体的棱长为a,
,且,,.
,,
.
又,,
.
又,,
与的夹角为60°.
(2)证明:由(1)知,,
,,.
18、(1)由、得BC边所在直线方程为,即.
(2),A到BC边所在直线的距离为,
由于A在直线上,
故,即,
解得或.
19、(1)解:当时,直线AB的斜率.
直线AB的方程为,
即.①
把①代入,得,即,
解此方程得.
所以.
(2)解:存在弦AB被点平分.
当弦AB被点平分时,.
直线的斜率为,所以直线AB的斜率为.
所以直线AB的方程为,
即.
20、解:在抛物线形拱桥上,以拱顶为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系,如答图所示.
设该拋物线的方程为.
拱顶离水面2 m,水面宽4 m,点在拋物线上,
,解得,
拋物线的方程为.
当水面下降1 m时,,代入,得,
即.故这时水面宽为4.9 m.
21、(1)由题意得,,且,
解得,所以椭圆的标准方程为.
(2)因为点满足,所以,
即,①
又点在椭圆上,所以,②
联立①②,得,所以.
22、解:(1)将点A的坐标代入双曲线方程得,
化简得,得,
故双曲线C的方程为.
由题易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,
,,
联立直线l与双曲线C的方程并整理得,
故,.
,
化简得,
故,
整理得,
又直线l不过点A,即,故.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为,由题意知,
所以,
解得或(舍去),
由,得,
所以,
同理得,所以.
因为,所以,
故.
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