高中数学（北师大版）必修一知识点总结

高一数学必修一（北师大版）知识点总结
第一章:预备知识
² 1 集合
1.1 集合的概念与表示
知识点一　元素与集合
(1)集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
知识点二　元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A
a∈A
a属于
集合A
不属
于
如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A
a∉A
a不属于
集合A
知识点三　集合中元素的特性
(1)确定性：一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了．
(2)互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复．
(3)无序性：组成集合的元素间无先后顺序之分．
知识点四　常用的数集及其记法
常用的
数集
自然
数集
正整
数集
整数
集
有理
数集
实数
集
正实
数集
符号
N
N＋(N*)
Z
Q
R
R＋
知识点四 集合的表示
(1)列举法(2)描述法
按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集．
知识点五 区间概念
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|ab⇒a＋c>b＋c(同加保序性)
性质3：①⇒ac>bc(乘正保序性)
②⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d(同向相加保序性)
性质5：①⇒ac>bd(正数同向相乘保序性)
②⇒acb>0⇒an>bn(n∈N＋，n≥2)(非负乘方保序性)
性质6：a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2)(非负开方保序性)

3.2基本不等式
知识点　基本不等式
(1)如果a≥0，b≥0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
(2)变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点　用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2.

² 4一元二次函数与一元二次不等式
4.1一元二次函数
知识点一　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
一元二次函数的图象叫作抛物线，一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
知识点二　一元二次函数的性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
图象
a>0
a0，或ax2＋bx＋c0
Δ＝0
Δ0)的图象



ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根(x10(a>0)的解集
{x|x>x2或x0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac0，m，n均为正整数，m，n互素
结论
＝

＝0，
无意义
知识点二　实数指数幂
(1)定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，定义一个实数aα，规定a－α＝.这样，指数幂中的指数的范围就扩展到了全体实数．
(2)实数指数幂的性质
①给定一个正数a，对任意实数α，指数幂aα都大于0；
②0的任意正实数指数幂都等于0；
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义；
④1的任意实数次幂都等于1，即1α＝1.

² 2 指数幂的运算性质
知识点一　整数指数幂的运算性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝ambm，其中a，b是正数，m，n是正整数．
知识点二　实数指数幂的运算性质
对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质：
(1)aα·aβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aαβ；
(3)(ab)α＝aαbα.
一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．但化简结果，形式上要统一，不能既含根号，又含分数指数幂．
化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数化为正指数幂的倒数．
条件求值问题的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤

(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，注意应用平方差公式或立方差公式．

² 3 指数函数
知识点一　指数函数的概念
(1)定义：根据指数幂的定义，当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
(2)指数函数y＝ax具有以下基本性质：
①定义域是R，函数值大于0；
②图象过定点(0,1)．
知识点二　指数函数的图象和性质

a>1
01)：
①当xg(x)；
当00，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)范围
底数a的范围：a>0，且a≠1.
真数N的范围：N>0.
(3)常用对数：以10为底，记作lg_N.
自然对数：以无理数e＝2.718 281…为底，记作ln_N.
知识点二　对数与指数的关系

知识点三　对数的性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga1＝0(a>0且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0且a≠1)．
知识点四　对数恒等式
alogaN＝N.
1.关于指数式与对数式的互化
(1)互化的关键是，准确应用定义式．
(2)求值问题需化为指数式，利用指数运算求值．
2．对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值．
1.用对数基本性质求值的基本思路是：根据loga1＝0和logaa＝1，按照从外到内的顺序层层求解．
2．应用对数恒等式求解的步骤

² 2 对数的运算
知识点　指数与对数的运算性质
ab＝N
logaN＝b
as·at＝as＋t
＝as－t
(as)t＝ast
(s，t∈R)
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝n_logaM
(M>0，N>0，n∈R)
a>0，且a≠1
底数相同的对数式的化简和求值的原则与方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

2.2 换底公式
知识点一　换底公式
换底公式
条件
logaN＝
a>0，a≠1，
c>0，c≠1，N>0
在近似计算中，通常取c＝10或c＝e.
知识点二　常用结论
(1)logab·logba＝1⇔logab＝.
(2)logambn＝logab.
应用换底公式应注意的两个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式
² 3 对数函数
3.1 对数函数的概念
知识点一　对数函数
(1)定义：函数y＝logax(a>0且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，a称为底数．
(2)基本性质
①定义域是(0，＋∞)；
②图象过定点(1,0)．
(3)两类特殊的对数函数
①常用对数函数：以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg_x.
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln_x.
知识点二　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．
求函数定义域的三个步骤
(1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)．
(2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围．
(3)结论：写出函数的定义域．
提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2) 当对数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论．
反函数的求法
(1)由y＝ax(或y＝logax)，解得x＝logay(或x＝ay)．
(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)．
(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．

3.2 对数函数的图像和性质
知识点一　函数y＝log2x的图象和性质
图象特征
函数性质
过点(1,0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图象从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
知识点二　互为反函数的函数图象间的关系
(1)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
(2)推广：互为反函数的两个函数，图象关于直线y＝x对称．反之，图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
² 4 指数函数,幂函数,对数函数增长的比较
1.y＝log2x左移1个单位长度,y＝log2(x＋1)．
2．y＝log2xy＝log2(x－1)．

3．y＝logaxy＝loga|x|.

4．y＝logaxy＝|logax|.

比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性
(1)若底数为同一常数2，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数不是2，则可以先用换底公式，再借助1,0等中间量进行比较
1.解对数不等式的技巧

2． 函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．
知识点　y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质

a>1
00；
当0