2022-2023学年湖南省邵阳县中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳县中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省邵阳县中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）
1. 的值是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 某种细胞直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A. 9.5×10﹣7 B. 9.5×10﹣8 C. 0.95×10﹣7 D. 95×10﹣8
4. 下列运算正确的是
A. x2+x3="x5" B. x8¸x2="x4" C. 3x-2x="1" D. (x2)3=x6
5. “a是实数，|a|≥0”这一是（ ）
A. 必然 B. 没有确定 C. 没有可能 D. 随机
6. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图没有同的是（　　）

A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 球
7. 如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（　　）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 16的平方根是 ．
10. 某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11. 若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数图象上，则m的值为_____．
12. 已知一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个实数根，m的取值范围是_____．
13. 如图，在△ABC中AC=3，中线AD=5，则边AB的取值范围是_____．

14. 函数y=中，自变量x的取值范围是____．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为________．

16. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．
17. 边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为_________．

18. 如图，△ABC三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互没有重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互没有重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互没有重叠的小三角形；……，△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3……Pn，把△ABC分成______个互没有重叠的小三角形．

三、解 答 题（本大题共有10小题，共86分）
19. （1）计算：tan60°﹣（a2+1）0+||﹣；
（2）计算：．
20. （1）解方程：x2+3x=10；
（2）解没有等式组．
21. 为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）传球三次后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
22. 某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水没有超出基本用水量的部受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用适量数据，并绘制了如下没有完整统计图（每组数据包括右端点但没有包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：

（1）此次抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
23. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

24. 某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
25. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B两观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．

26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件
（1）写出商场这种文具，每天所得的利润（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（2）求单价为多少元时，该文具每天的利润；
（3）商场的营销部上述情况，提出了A、B两种营销
A：该文具的单价高于进价且没有超过30元；
B：每天量没有少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种的利润更高，并说明理由
27. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．









2022-2023学年湖南省邵阳县中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共8小题，每小题3分，满分24分）
1. 的值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值，依据定义即可求解．
【详解】在数轴上，点到原点的距离是，
所以，的值是，
故选：C．
本题考查值，掌握值的定义是解题的关键．

2. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合．因此，
A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意．
故选B．
3. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A. 9.5×10﹣7 B. 9.5×10﹣8 C. 0.95×10﹣7 D. 95×10﹣8
【正确答案】A

【分析】根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【详解】0.00000095=9.5×=9.5×10﹣7，
故选A．
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），是解题的关键．

4. 下列运算正确的是
A. x2+x3="x5" B. x8¸x2="x4" C. 3x-2x="1" D. (x2)3=x6
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则逐一计算作出判断：
A、x2与x3没有是同类项没有能合并，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选D．
5. “a是实数，|a|≥0”这一是（ ）
A. 必然 B. 没有确定 C. 没有可能 D. 随机
【正确答案】A

【分析】根据必然、没有确定、没有可能、随机的定义判断即可.
【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一是必然．故选A．
本题考查必然、没有确定、没有可能、随机的判定.熟练掌握定义是解题的关键.
6. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图没有同的是（　　）

A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 球
【正确答案】C

【详解】解：A、主视图是矩形，俯视图是矩形，主视图与俯视图相同，故本选项没有符合题意；
B、主视图是正方形，俯视图是正方形，主视图与俯视图相同，故本选项没有符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆及圆心，主视图与俯视图没有相同，故本选项符合题意；
D、主视图是圆，俯视图是圆，主视图与俯视图相同，故本选项没有符合题意．
故选：C
本题考查三视图．
7. 如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（　　）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
【正确答案】A

【详解】试题解析：连接OD，

∵四边形ABCO为平行四边形,
∴∠B=∠AOC，
∵点A. B. C.D在⊙O上，

由圆周角定理得,

解得,
∵OA=OD，OD=OC，
∴∠DAO=∠ODA，∠ODC=∠DCO，

故选A.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
【正确答案】C

【详解】试题解析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴，
∴AE•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG=CH，MH∥AC，
∴；，
即；，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=.
故④正确．
故选C．
考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．

二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 16的平方根是 ．
【正确答案】±4

【详解】由（±4）2=16，可得16的平方根是±4，
故±4．
10. 某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】B

【详解】根据题意得：（1×1+2×2+4×3+2×4+1×5）÷10=3（小时），
答：这10名学生周末学习的平均时间是3小时；
故选B．
11. 若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为_____．
【正确答案】6

【分析】设反比例函数解析式为y=，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=3×（﹣4）=﹣2m，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，
根据题意得k=3×（﹣4）=﹣2m，
解得m=6．
故答案为6．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
12. 已知一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个实数根，m的取值范围是_____．
【正确答案】m≥﹣4

【详解】试题解析：∵一元二次方程有两个实数根，

解得：
故答案为
13. 如图，在△ABC中AC=3，中线AD=5，则边AB的取值范围是_____．

【正确答案】7＜AB＜13

【详解】试题解析：如图，延长AD到E，使得DE=AD=5，连接EC.

∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=DC，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB，
∴即

故答案为
点睛：三角形的任意两边之和大于第三边.
14. 函数y=中，自变量x的取值范围是____．
【正确答案】x＞2

【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x﹣2≠0，解得x＞2．
故答案为x＞2．
本题考查函数自变量的取值范围．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为________．

【正确答案】75﹣

【详解】设圆弧的圆心为O，与AD切于E，
连接OE交BC于F，连接OB、OC，

设圆的半径为x，则OF=x-5，
由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，
即x2=（x-5）2+（5 ）2解得，x=10，
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积-（扇形BOCE的面积-△BOC的面积）


故答案是.
16. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．
【正确答案】120

【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），
设圆心角的度数是n度．
则=4π，
解得：n=120．
故答案为120．
17. 边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为_________．

【正确答案】

【详解】试题分析：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，

∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，
∴四边形DBEC是矩形，
∴CE=DB=，
∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=.
考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质；3.含30度角的直角三角形．

18. 如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互没有重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互没有重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互没有重叠的小三角形；……，△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3……Pn，把△ABC分成______个互没有重叠的小三角形．

【正确答案】3+2（n﹣1）

【详解】试题分析：由题及图象可知，当三角形内部有一个点时有3个三角形，以后三角形内部每增加一个点，就
会多两个三角形，所以当内部有n个点时共有3+2（n-1）=2n+1个互补重叠的三角形
考点：规律题

三、解 答 题（本大题共有10小题，共86分）
19. （1）计算：tan60°﹣（a2+1）0+||﹣；
（2）计算：．
【正确答案】(1)4，(2)2a.

【详解】试题分析：（1）原式项利用角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用值的代数意义化简，一项利用立方根法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
试题解析：（1）原式
（2）原式


20. （1）解方程：x2+3x=10；
（2）解没有等式组．
【正确答案】﹣1≤x＜3

【详解】试题分析：因式分解法解方程即可.
根据没有等式的性质求出每个没有等式的解集，然后找出它们的公共部分即可.
试题解析：（1）
原方程可化为：




∵由①得
由（2）得
∴没有等式组的解集为:
21. 为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）传球三次后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【正确答案】（1）见解析；（2）；（3）乙脚下的概率大．

【分析】(1)根据题意画出树状图，得出所有的可能情况；
(2)根据树状图得出传到甲脚下的概率；
(3)根据树状图得出传到乙脚下的概率，然后进行比较大小，得出答案.
【详解】(1)三次传球所有可能的情况如图：

(2)由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P(甲)=
(3)由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P(乙)=
∵P(乙)＞P(甲) ∴是传到乙脚下概率大.
考点：概率的计算

22. 某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水没有超出基本用水量的部受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用适量数据，并绘制了如下没有完整统计图（每组数据包括右端点但没有包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：

（1）此次抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【正确答案】（1）100户（2）直方图见解析，90°（3）13.2万户

【分析】（1）根据频数、频率和总量的关系，由用水“0吨～10吨”部分的用户数和所占百分比即可求得此次抽取的用户数．
（2）求出用水“15吨～20吨”部分的户数，即可补全频数分布直方图．由用水“20吨～300吨”部分的户所占百分比乘以360°即可求得扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．
（3）根据用样本估计总体思想即可求得该地20万用户中用水全部享受基本价格的用户数．
【详解】解：（1）∵10÷10%=100（户），
∴此次抽取了100户用户的用水量数据．
（2）∵用水“15吨～20吨”部分户数为100﹣10﹣36﹣25﹣9=100﹣80=20（户），
∴据此补全频数分布直方图如图：

扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为×360°=90°．
（3）∵×20=13.2（万户）．
∴该地20万用户中约有13.2万户居民的用水全部享受基本价格．
本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，频数、频率和总量的关系，求扇形圆心角，用样本估计总体．
23. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

【正确答案】（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．证明见解析．

【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△DEO和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF．
（2）结论：四边形EBFD是矩形．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．

本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识．
24. 某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【正确答案】（1）2400个， 10天；（2）480人．

【分析】（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程，解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数．
【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，
，
解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，
[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000,
解得，y=480．
经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．
25. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B两观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．

【正确答案】（1）(3+3)千米；（2）3小时．

【详解】试题分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC=AF+CF-AP，从而求解．
试题解析：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=PD=km，PA=3．
∴AB=BD+AD=（+）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．

根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=AB=（+）km，AF=AB=（+）km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴CF=BF=（+）km，
∴PC=AF+CF-AP=km．
故小船沿途考察的时间为÷=小时．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件
（1）写出商场这种文具，每天所得的利润（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（2）求单价为多少元时，该文具每天的利润；
（3）商场的营销部上述情况，提出了A、B两种营销
A：该文具的单价高于进价且没有超过30元；
B：每天量没有少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种的利润更高，并说明理由
【正确答案】（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即单价为35元时，该文具每天的利润；（3）A利润更高．

【分析】（1）根据利润（单价进价）量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求值；
（3）分别求出、中的取值范围，然后分别求出、的利润，然后进行比较．
【详解】解：（1）由题意得，量，
则
；
（2）．
，
函数图象开口向下，有值，
当时，，
故当单价为35元时，该文具每天的利润；
（3）利润高．理由如下：
中：，
故当时，有值，
此时；
中：，
故的取值范围为：，
函数，对称轴为直线，
当时，有值，
此时，
，
利润更高．
本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优．其中要注意应该在自变量的取值范围内求值（或最小值），也就是说二次函数的最值没有一定在时取得．
27. 我们把两条中线互相垂直三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

【正确答案】（1）2，2；2，2；（2）+=5；（3）AF=4．

【详解】（1）【思路分析】由题可知AF、BE是的中线，因此EF即为的中位线，由此可得，且EF的长是AB的一半，题中已知的度数和边AB的长，利用相似三角形的性质和勾股定理即可得解；
解：（1），；，．
解法提示：由题可得EF即为的中位线，
，且，
，
，
①当时，
，
，
，
则在中，，
，
，即，
；
②当时，
，
，
则在和中，
，
．
（2）【思路分析】连接EF，由（1）中相似三角形可知PE与PB、PF与PA的比例关系，设，由此可得AP、PB的长，依次将线段长代入和中，即可求解；
解：猜想三者之间的关系是：．
证明如下：如解图①，连接EF，
∵AF，BE是的中线，
∴EF是的中位线．
，且．
，
．

图①
方法一：设，则，
在中，①；
在中，②；
在中，③；
由①，得．
由②+③，得．
．
方法二：在和中，
，

．
．
，即．
（3）【思路分析】求AF的长，则首先想到构造“中垂三角形”，由题可知，，设AF、BE交于点P，取AB的中点H，连接FH、AC，平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解．
解：设AF，BE交于点P．

图②
如解图②，取AB的中点H，连接FH，AC．
∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，
．
又，
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是“中垂三角形”，
，即，
．

图③
一题多解：如解图③，连接AC，CE，延长CE交BA的延长线于点H．
∵在中，E，G分别是AD、CD的中点，
．
，
．
又中，，
．
．
∴BE，CA是中线，
是“中垂三角形”，
．
，
，即．
∵AF是的中位线，
．
难点突破：本题的难点在于第（2）问中求得PE与PB、PF与PA的比例关系后，利用勾股定理将其转换为三者之间的关系；第（3）问中在平行四边形中利用平行四边形的性质构造“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系进行求解．

28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．

【分析】（1）首先利用根与系数的关系得出：，条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的值；
（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
【详解】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+3，
要构成 APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取值，值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时， APC面积的值为12；
（3）如图，连接AB，则AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时， =t，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14

本题是二次函数综合题目，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，利用分类讨论的思想和方程思想求解是解决本题的关键．















2022-2023学年湖南省邵阳县中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. -的相反数是（　　）
A. 2016 B. ﹣2016 C. D. -
2. 下列各式化简后的结果为3 的是（　　）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2x+y=2xy B. x•2y2=2xy2 C. 2x÷x2=2x D. 4x-5x=-1
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A. B. C. D.
5. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6. 小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A. 67、68 B. 67、67 C. 68、68 D. 68、67
7. 关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. 将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和没有可能是（　　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
10. 小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填 空 题：本题共8小题，每小题4分．
11. 将正比例函数y＝2x的图象向左平移3个单位，所得的直线没有第____象限．
12. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为____．
13. 如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD = 28°，则∠A的度数为_________．
14. 某学习小组为了探究函数y＝x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝_____．
x
…
﹣2
﹣15
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣025
0
m
2
…

15. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标______．
16. 如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）

17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_____________．

18. 小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是___枚．

三、解 答 题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中.
21. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：．

22. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
组（0≤x＜15）
3
015
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

23. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
24. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组合作交流，给出了下面解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．


25. 如图，顶点为A（，1）的抛物线坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

26. 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．




























2022-2023学年湖南省邵阳县中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. -的相反数是（　　）
A. 2016 B. ﹣2016 C. D. -
【正确答案】C

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】的相反数是-(=.
故答案是：C.
此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
2. 下列各式化简后的结果为3 的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A、没有能化简，故没有符合题意；
B、=2，故没有符合题意；
C、=3，故符合题意；
D、=6，故没有符合题意；
故选C．
本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2x+y=2xy B. x•2y2=2xy2 C. 2x÷x2=2x D. 4x-5x=-1
【正确答案】B

【详解】解：A．没有是同类项，没有能合并，故A错误；
B．x•2y2=2xy2 ，正确；
C．2x÷x2=，故C错误；
D．4x﹣5x=﹣x，故D错误．
故选B．
4. 没有等式组解集在数轴上表示正确的是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】分别求出各没有等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，x＞-3，
由②得，x≤2，
故没有等式组的解集为：-3＜x≤2，
在数轴上表示为：

故选A．
本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答本题的关键．
5. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【正确答案】D

【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，没有符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，没有符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，没有符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，没有一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
6. 小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A. 67、68 B. 67、67 C. 68、68 D. 68、67
【正确答案】C

【分析】根据次数出现最多的数是众数，根据中位数的定义即可解决问题．
【详解】解：因为68出现了3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是68．
将这组数据从小到大排列得到：66，67，67，68，68，68，69，71，所以这组数据的中位数为68．
故选C．
本题考查众数、中位数的定义，记住众数、中位数的定义是解决问题的关键，属于中考常考题型．
7. 关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】由一元二次方程有两个没有相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=-1，
∴方程有两个没有相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
故选A．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
8. 将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和没有可能是（　　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
【正确答案】D

【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
【详解】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；

②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
【正确答案】D

【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案．
【详解】解：；
A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说确，所以本选项没有符合题意；
B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有交点，说确，所以本选项没有符合题意；
C、抛物线的对称轴是直线，说确，所以本选项没有符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意．
故选：D．
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键．
10. 小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【正确答案】C

【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．
【详解】解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故选C．
本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
二、填 空 题：本题共8小题，每小题4分．
11. 将正比例函数y＝2x的图象向左平移3个单位，所得的直线没有第____象限．
【正确答案】四

【详解】根据上加下减自变量，得： ，过一、二、三象限. 即所得的直线没有第四象限．
故答案：四.
12. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为____．
【正确答案】

【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
【详解】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：
甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，
有4种甲没在中间，
所以甲没排在中间的概率是．
故．
本题考查列举法求概率，正确理解题意列举出所有的情况是解题关键．
13. 如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD = 28°，则∠A的度数为_________．
【正确答案】124°

【详解】试题分析：根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，
故答案为124°．
考点：平行线的性质
14. 某学习小组为了探究函数y＝x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝_____．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…

【正确答案】0.75

【详解】当x＞0时，函数=，当x=1.5时，y==0.75，则m=0.75．故答案为0.75．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及值，解题的关键是找出当x＞0时，函数的关系式．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据值的性质找出当x＞0时y关于x的函数关系式是关键．
15. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标______．
【正确答案】（答案没有）如（1，-3）等

【详解】解：根据整点的定义可得x、y均为整数，即x是3的约数，
当x=3时，y=-1
3、-1均为整数，故图象上的整点为（3，-1），
故（答案没有）如（1，-3）等
16. 如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）

【正确答案】24π

【详解】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．
点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_____________．

【正确答案】115°

【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，，连接点C和圆心O，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC，如图所示，

由题意可得， ，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∴，
故115°．
本题考查切线的性质、圆内接四边形对角互补，解题的关键是连接圆心和切点，构造直角三角形，求出四边形的一个角，找出所求问题需要的条件．
18. 小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是___枚．

【正确答案】13

【详解】设第n个图形有an个棋子，
观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，
a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数），
当n=4时，a9=3×4+1=13，
故答案为13．
三、解 答 题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19. 计算：．
【正确答案】

【详解】分析：原式利用乘方意义，值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果．
详解：原式===．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中.
【正确答案】，4.

【分析】先括号内通分，然后计算除法，代入化简即可．
【详解】原式= .
当时，原式=4.
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
21. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：．

【正确答案】见解析

【分析】先依据ASA判定△ADE≌△CBF，即可得出AE=CF，AE∥CF，进而判定四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=CE．
【详解】证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
22. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？


【正确答案】（1）0.3，4，图见解析；（2）99；（3）

【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为0.3，4；
补全统计图得：


（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．
本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
【正确答案】（1）女生15人，男生27人；（2）至少派22人

【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】（1）设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：，
解得：．
∴该班男生有27人，女生有15人．
（2）设派m名男学生，则派女生为（30-m）名，
依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：至少需要派22名男学生.
本题考查了一元没有等式的应用以及二元方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出二元方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元没有等式．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据数量关系列出没有等式（方程或方程组）是关键．
24. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．




【正确答案】84.

【详解】解：作AD⊥BC于D，


如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
25. 如图，顶点为A（，1）的抛物线坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣x2+x；（2）证明见解析；（3）P（﹣，0）．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出直线OA对应的函数的表达式为y=x．再求出直线BD的表达式为y=x﹣2．求出交点坐标C，D即可；
（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．
【详解】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）2+1
∴a=﹣，
∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．
（2）令y=0，得 0=﹣x2+x，
∴x=0（舍），或x=2
∴B点坐标为：（2，0），
设直线OA的表达式为y=kx．∵A（，1）在直线OA上，
∴k=1，∴k=，
∴直线OA对应的函数的表达式为y=x．
∵BD∥AO，设直线BD对应的函数的表达式为y=x+b．∵B（2，0）在直线BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，
∴直线BD的表达式为y=x﹣2．

由
得交点D的坐标为（﹣，﹣3），
令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2），
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．
△OAB与△OCD中，，
∴△OAB≌△OCD．
（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，
∴，∴，∴PO=，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和全等，解答本题的关键是确定函数解析式．
26. 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．

【正确答案】（1）；（2）矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）

【详解】分析：（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤），列出方程解得x；
（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．
详解：（1）如图①，

在中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,
又∵D是AB的中点，∴AD=1，．
又∵EF是的中位线，∴，
在中，AD=CD, ∠A=60°,
∴∠ADC=60°．
在中,60°，
∴矩形EFGH的面积．
（2）如图②，设矩形移动的距离为则，

当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
则，
， ∴．（舍去）．
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，
重叠部分的面积S=, ∴．
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．
（3）如图③，作于．

设，则，又，．
在Rt△H2QG1中， ，
解之得（负的舍去）．
∴．
点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．