重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高三上学期1月质量检测数学试题（Word版附答案）

这是一份重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高三上学期1月质量检测数学试题（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
万州二中2023年高2023届1月质量检测数学试题全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。一、单选题1．已知向量，，则（    ）A． B． C． D．2．异面直线指的是（    ）A．两条不相交的直线 B．两条不平行的直线C．不同在某个平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线3．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（    ）A．这辆小型车辆车速的众数的估计值为B．这辆小型车辆车速的中位数的估计值为C．这辆小型车辆车速的平均数的估计值为D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为4．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．5．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（    ）A． B． C． D．6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（    ）A． B． C． D．7．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面8．已知正数，满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）A．在上函数为增函数      B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值       D．是函数在区间上的极小值点10．（多选）如果函数在上单调递增，对于任意的，，下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．11．已知正数，，满足，则（    ）A． B．C． D．12．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种三、填空题13．在锐角中，内角A､B､C所对的边分别是，若，，，则____14．若随机变量，已知，则______.15．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________．16．在空间直角坐标系O-xyz上，有一个等边三角形ABC，其中点A在z轴上.已知该等边三角形的边长为2，重心为G，点B，C在平面xOy上，若在z轴上的投影是z，则___________（用字母z表示）.四、解答题17．已知点是线段的中点.（1）求点和的坐标；（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.18．已知函数．（1）若有一个零点为，求a；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围． 19．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．（Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？（Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．  20．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为B1C1，AD的中点. （Ⅰ）求证：BE平面C1FD1； （Ⅱ）求直线BE到平面C1FD1的距离.   21．已知椭圆两个焦点分别为，离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P是椭圆C上的点，且，求三角形的面积.   22．已知函数．(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；    万州二中2023年高2023届1月质量检测数学试题  参考答案1．C【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.【详解】由题设，.故选：C.2．D【分析】由异面直线定义可直接得到结果.【详解】由异面直线定义知：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.故选：D.3．C【分析】对于A：由图得众数的估计值为最高矩形的中点对应的值；对于B：由，，所对应的矩形的面积得出数据的中位数的估计值在区间内，计算可判断．对于C：根据频率直方图的平均数的估计值计算公式可判断．对于D：由频率直方图估计车速超过的概率为．【详解】解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，故A正确．对于B：，，所对应的矩形的面积分别为，，，其和为，而对应的矩形面积为，因此中位数的估计值为，故B正确．对于C：平均数的估计值为，故C错误．对于D：估计车速超过的概率为，故D正确．故选：C．4．C【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.【详解】连接，交点为，如图所示：，且是公共边，，，易得，，即，又，，，平面，平面，又平面，平面平面.过点作平面，垂足为，连接，，，平面，，，由是公共边，，即有，三点在以为直径的圆周上，，，，，，.故选：C5．A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，又该圆过线段的中点，故，所以离心率为.故答案为：.6．B【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，面积为16，故边长，即底面半径，侧棱长为，则圆柱的侧面积是，故选：B.7．C【解析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.8．D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.【详解】，令，，则，，，当且仅当且，即，时，等号成立，所以，故有最小值.故选：D.9．AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．AB【分析】根据单调性的定义得出与的关系后判断．【详解】由函数单调性的定义，可知若函数在给定的区间上单调递增，则与同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为，的大小关系无法判断，所以，的大小关系也无法判断，故C错误，故选：AB．11．ACD【分析】根据，由指数运算法则，可得A对B错；由两边取对数，可判断C正确；由两边取对数，可判断D正确.【详解】因为正数，，满足，由，所以，即A正确，B错；由两边同时取以为底的对数，可得，即C正确；由两边同时取以为底的对数，可得，即D正确；故选：ACD.12．ACD【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.【详解】对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确；对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种，由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确；对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种，抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确.故选：ACD13．【分析】利用正弦定理即得.【详解】由正弦定理可得，，∴.故答案为：.14．【分析】根据正态分布的对称性即可求出答案.【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，又因为，所以，故答案为：.15．##【分析】要使不等式对任意实数x恒成立，只需即可，求出的最小值即可得出答案.【详解】解：因为不等式对任意实数x恒成立，所以只需，，所以当时，，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：16．##【分析】画出图形，结合重心的性质，向量的数量积，模的算法和余弦定理，即可算出答案.【详解】如图，设的中点为，连接，因为等边三角形ABC的重心为G，所以，设在z轴上的投影是，则 又在z轴上的投影是z，所以，该等边三角形的边长为2，在中，，同理可得，因为，所以=       =       =故答案为：17．（1），；（2）.【分析】（1）由中点坐标公式得出M的坐标，由向量加法公式即可求得的坐标；（2）设出D的坐标，用向量共线的坐标运算即可解得.【详解】解：（1）是线段的中点，（2）设，则，∵∥，∴，解得，点的坐标是.18．（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；（2）由于当时，恒成立，等价于当时，恒成立，所以只要，从而可求出a的取值范围【详解】解：（1）因为有一零点，所以，所以．（2）因为当时，恒成立，需，即，解得，所以的取值范围是．19．（Ⅰ）当年产量为200千件时，所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．【解析】（Ⅰ）根据题意可得利润，根据二次函数性质即可求出最大值；（Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值.【详解】（Ⅰ）设所获利润为万元，则由题可得（），当时，，所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）可知平均利润为，当且仅当，即时等号成立，所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取 A1D1 的中点G ，分别连接 AG ，GE ，依题意可得，再证，即可得到，从而得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知E 到平面C1FD1的距离即为 BE 到平面C1FD1的距离， 设 E 到平面C1FD1的距离为 h ， 再利用等体积法求出点到面的距离；【详解】解：（Ⅰ）证明：取 A1D1 的中点G ，分别连接 AG ，GE ， 因为且，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为 且，所以四边形 AFD1G 为平行四边形， 所以，所以 ， 因为平面C1FD1， 平面C1FD1 . 所以 BE 平面C1FD1 . （Ⅱ）因为 BE 平面C1FD1， 所以 E 到平面C1FD1的距离即为 BE 到平面C1FD1的距离， 设 E 到平面C1FD1的距离为 h ， 因为C1D1 平面 A1ADD1，平面，所以C1D1 FD1 ，得 ， 又， 所以，解得， 所以 BE 到平面C1FD1的距离为. 21．(1)(2)【分析】（1）根据离心率为，可得，再将点代入求得，即可得出答案；（2）根据椭圆定义求得，再利用余弦定理求得，从而可得出答案.(1)解：因为椭圆的离心为，则，所以，即，又，即，所以，所以椭圆C的标准方程为；(2)解：因为，，由，即，所以，所以.22．(1)(2) 【分析】（1）由已知可得，即可求得实数的值；（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用函数的最值与极值的关系可求得实数的取值范围.（1）解：函数的定义域为，，由已知可得，解得.（2）解：因为，令.①当时，对任意的，恒成立，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；②当时，在上单调递减，则，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；③当时，方程的两根分别为，，由可知，列表如下：增极大值减 所以函数在处取得最大值，综上所述，实数的取值范围是.